第11章-动静法习题课(2学时)-王

1、第十一章 动静法习题课惯性力的概念惯性力的概念质点的达朗贝尔原理质点的达朗贝尔原理 质点系的达朗贝尔原理质点系的达朗贝尔原理刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化达朗贝尔原理的应用达朗贝尔原理的应用 基本内容复习基本内容复习 ppt/3823实例：人用手推车，F、F 为一对作用力和反作用力，所以aFFm-质点惯性力定义为质点惯性力定义为 惯性力等于加速运动的质点，对迫使其产生加速运动惯性力等于加速运动的质点，对迫使其产生加速运动的物体的反作用力。如果将惯性力加在加速运动的质点上，的物体的反作用力。如果将惯性力加在加速运动的质点上，那么，该质点处于形式上的平衡，即那么，该质点处于形式上的平衡，即F

2、aF mI-一、惯性力的概念一、惯性力的概念 ppt/380IFF4222222=dtzdmmaFdtydmmaFdtxdmmaFzIzyIyxIx-0=222bIbnInImaFvmmaFdtsdmmaF-质点惯性力不是作用在质点上的真实力，加上惯性力之后，质点处于形式上的平衡，这就是质点的达朗贝尔原理。二、质点的达朗贝尔原理二、质点的达朗贝尔原理 设M为受约束的非自由质点，质量m，加速度a，惯性力FI=-ma，受主动力F，约束反力FN作用，则0INFFF ppt/385例1 列车在水平轨道上行驶，车厢内悬挂一单摆，当车厢向右作匀加速运动时，单摆左偏角度q ，相对于车厢静止。求车厢的加速度a

3、。 ppt/386 解：选单摆的摆锤为研究对象惯性力为 由动静法, 有解得 = maFI q角随着加速度 a的变化而变化，当a不变时， q角也不变。只要测出q角，就能知道列车的加速度 a。这就是摆式加速计的设计原理。0cossin , 0qqIFmgX-qtanga ppt/387三、质点系的达朗贝尔原理三、质点系的达朗贝尔原理 , 0IieiFF 000IieiFFMM 对整个质点系来说，动静法给出的平衡方程，只包括惯性力与外力，而与质点系的内力无关。 用动静法求解动力学问题时，与静力学一样，可以任意选取研究对象，再加上惯性力，列平衡方程求解。)(ddiiCiiIimtMmvaaF-tmtm

4、OiiOiiOIiOdd)(dd)()(LvmamFm- ppt/388 简化方法就是采用静力学中的力系简化的理论。将虚拟的惯性力系视作力系向任一点O简化而得到一个惯性力和一个惯性力偶。 无论刚体作什么运动，惯性力系主矢都等于刚体质量与质无论刚体作什么运动，惯性力系主矢都等于刚体质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反。 )( ,IOIOCIRIMFmMaFF-四、刚体惯性力系的简化四、刚体惯性力系的简化 ppt/389刚体惯性力系简化的三种情况：平动：惯性力系简化为一个通过质心的合力定轴转动：如果刚体有对称平面，该平面与转轴z垂直，则惯性力系向

5、对称平面与转轴的交点O简化，得到在对称平面内的一力和一力偶平面运动（平行于对称平面）：惯性力系向质心C简化，得到在对称平面内的一力和一力偶 ppt/38CImaF-OZIOCIJMm-,aFCICCIJMm-,aF10讨论：讨论：刚体作匀速转动，转轴不通过质心C 。2meFI ppt/3811讨论：讨论：转轴过质心C， 0，惯性力偶 （与反向）CICJM- ppt/3812讨论：讨论：刚体作匀速转动，且转轴过质心，则0= , 0=ICIMF（惯性力系的主矢、主矩均为零） ppt/3813练习1 均质杆长l ，质量m，与水平轴A铰接，杆由与平面成j0角位置静止落下。求开始落下时杆AB的角加速度及

6、A点支座反力。2mlFI3 , 02mlJMmaFAIAnnI根据动静法，有 解：选杆AB为研究对象 惯性力系向A点简化结果： ppt/3814(3) 02/cos : 0)(2) 0sin :0(1) 0cos : 0000IAAnInAnIAMlmgFmFmgRFFmgRF-jjj. cos4 :(1) ; cos23 :)3( ; sin :)2( 000jjjmgRlgmgRAnA-得代入得由得由 ppt/3815jjcos23cos2lgJlmgA0 , cos23g , , 000jjj此时时lt用动量矩定理+质心运动定理求解此题：解：选AB为研究对象2coslmgJA由得：由质心

7、运动定理：nAnARmgmaglamgRma-000sin0cos432 cosjjj00cos4= ,sin= mgRmgRAnA- ppt/3816 练习2 牵引车的主动轮质量为m，半径为R，沿水平直线轨道滚动，设车轮所受的主动力可简化为作用于质心的两个力 S、T及驱动力偶矩M，车轮对于通过质心C并垂直于轮盘的轴的回转半径为r，轮与轨道间摩擦系数为f , 试求在车轮滚动而不滑动的条件下，驱动力偶矩M 之最大值。 解：取轮为研究对象 惯性力为：由动静法，得：r2mJMmRmaFCICCI ppt/3817(3) 0 : 0)(2) 0 : 0(1) 0 : 0ICCIMFRMFmSPNYFT

8、FX-由(1)得TFmRFI-得代入-所以(3) mRTF(4) )()(222RTRRFTFRFRMrrr-由(2)得 N= P +S，要保证车轮不滑动，必须 F Fmax=f N =f (P+S) (5)将上式代入(4)得：RTRRSPfMM22max)+)(+(=- ppt/3818 根据达朗贝尔原理，写出形式上的平衡方程求解动力学问题的方法，称为动静法。应用动静法既可求运动，例如加速度、角加速度；也可以求力，并且多用于已知运动，求质点系运动时的动约束反力。 应用动静法求解动力学问题，可以利用建立静力学平衡方程的一切形式上的便利。例如，矩心可以任意选取，二矩式，三矩式等等。因此当问题中有

9、多个约束反力时，应用动静法求解尤其方便。 达朗贝尔原理的应用 ppt/3819选取研究对象：原则与静力学相同。受力分析：画出全部主动力和外约束反力。运动分析：主要是刚体质心加速度，刚体角加速度，标出 方向。加惯性力：在受力图上画上惯性力和惯性力偶，一定要 在 正确进行运动分析的基础上。熟记刚体惯 性力系的简化结果。应用动静法求动力学问题的步骤及要点： ppt/3820列动静方程：选取适当的矩心和投影轴。建立补充方程：运动学补充方程。求解求知量。注：FI，MIO的方向及转向已在受力图中标出，建立方程时，只需按FI=maC， MIO =JO 代入即可。 ppt/3821 例1 质量为m1和m2的两

10、重物，分别挂在两条绳子上，绳又分别绕在半径为r1和r2并装在同一轴的两鼓轮上，已知两鼓轮对于转轴O的转动惯量为J，系统在重力作用下发生运动，求鼓轮的角加速度。 取系统为研究对象解：方法1 用达朗贝尔原理求解 ppt/3822虚加惯性力和惯性力偶：OIOIIJMamFamF , , 222111由动静法：列补充方程代入上式得00 :0)(222111221122112211OIOIIOJramramgrmgrmMrFrFgrmgrmFm-2211 ,raragJrmrmrmrmO2222112211- ppt/38取系统为研究对象根据动量矩定理：23方法2 用动量矩定理求解 2211)(2222

11、11222111=)+(= +=grmgrmMJrmrmJrvmrvmLeOO-gJrmrmrmrmO2222112211 -2211222211)(dd grmgrmJrmrmtO- ppt/38研究系统，任一瞬时系统的动能为两边除以dt，并求导数，得24)+(2= 21+21+21=22221122222211JrmrmJvmvmTjd)()(2d 22112222112grmrmJrmrmWdT-得由 )grmr(m grmgrmsgmsgmWjjjd dd dd 221122112211-元功gJrmrmrmrm2222112211 -方法3 用动能定理求解 ppt/3825例2 在图

12、示机构中，沿斜面向上作纯滚动的圆柱体和鼓轮O均为均质物体，各重为P和Q，半径均为R，绳子不可伸长，其质量不计，斜面倾角q，如在鼓轮上作用一常力偶矩M， 试求：(1)鼓轮的角加速度？ (2)绳子的拉力？ (3)轴承O处的支反力？ (4)圆柱体与斜面间的摩擦力（不计滚动摩擦）？ ppt/3826解：方法1 用达朗贝尔原理求解取轮O为研究对象，虚加惯性力偶221RgQJMOI列出动静方程：(3) 0 sin:0(2) 0cos:0(1) 0 : 0)(qqTQY YTX XMMTRmOOIO-FAIAAIRgPMagPF221 , 取轮A为研究对象，加上惯性力FI和惯性力偶MIA如图示。 ppt/3

13、827列出动静方程：运动学关系联立求解得(5) 0sin : 0(4) 0sin :0)(qqPFFTXMRTRFRPFmIIAIC-AAARRa ,RPQQRMPTgRPQPRM)3()sin3( )3()sin(22qq- ppt/38 )3()sin( sin)3()sin3(cos)3()sin3(RPQPRMP FQRPQQRMPYRPQQRMPXOOqqqqq-28方法2 用动力学普遍定理求解用动能定理求鼓轮角加速度 取系统为研究对象，当O轮顺时针转过dj角度时，外力元功为：系统动能为在dt时间里动能增量为由动能定理的微分形式，得到jqd)sin(PRMW-2222222)3(4

14、22121221RPQgRgPvgPRgQTOAOgRPQPRMtOO2)3()sin(2ddq- ppt/38 2/d)3(d2gRPQTOO29(2) 用动量矩定理求绳子张力 取轮O为研究对象，由动量矩定理得(3) 用质心运动定理求解轴承O处支反力 取轮O为研究对象，根据质心运动定理：,22TRMRgQO-RPQQRMPT)3()sin3(q0sin, 0cosqqTQYTXOO-QRPQQRMPYRPQQRMPXOO sin)3()sin3( , cos)3()sin3(qqqq ppt/3830(4) 用刚体平面运动微分方程求摩擦力 取圆柱体A为研究对象， 根据刚体平面运动微分方程)(

15、 ,OAAAFRJRPQPRMPgRPQPRMRgPRRJFAA)3()sin()3()sin(22122qq-方法3：用动能定理求鼓轮的角加速度 用达朗贝尔原理求约束反力（绳子拉力T 、轴承O处 反力XO和 YO及摩擦力 F）。 ppt/3831例3 均质圆柱体重为P，半径为R，无滑动地沿倾斜平板由静止自O点开始滚动。平板对水平线的倾角为 ，试求OA = S时平板在O点的约束反力。板的重力略去不计。解：(1) 用动能定理求速度，加速度圆柱体作平面运动。在初始位置时，处于静止状态，故T1=0；在末位置时，设角速度为，则vC = R , 动能为： ppt/38322222243=221+21=C

16、CvgPRgPvgPT 主动力的功：动能定理对 t 求导数，得到(2) 用达朗贝尔原理求约束反力取系统为研究对象，虚加惯性力FI和惯性力偶MIC为：sinqPSW 12WTT-qqsin34 sin04322gSvPSvgPCC-qqsin32 , sin32RggaC ppt/3833qqsin3sin32PRJMPagPFCCICCI 0sincossin32sin3 : 0)(0sinsin32 : 00cossin32 : 0qqqqqqqqPRPSPRRPMm ,PPYY , P XXOOOO-F列出动静方程：qcosPS MOq2sin3P XO)sin321 (2q-P YO p

17、pt/3834例4 绕线轮重P，半径为R及 r ，对质心O转动惯量为JO，在与水平成q 角的常力T 作用下纯滚动，不计滚阻，求：(1)轮心的加速度；(2)分析纯滚动的条件。解：用达朗贝尔原理求解绕线轮作平面运动 （纯滚动）,惯性力为由达朗贝尔原理，得将FI 、MIO代入上式，得到) ( , RaaRJMagPFOOOIOOI0cos :0)(qTRTrRFMFmIIOC-gPRJrRTRaOO/)cos(2-q ppt/38350cos:0IFFTX-q22)cos(/)cos(cos cosPRgJPRrgJTgPRJrRTRgPTFTFOOOIqqqq-qqsin 0sin , 0TPNTPNY-由F Fmax=f N，得纯滚动的条件为： )(sin()cos(2PRgJTPPRrgJTfOOqq- ppt/38361. 物体系统由质量均为m的两物块A和B组成，放在光滑水平面上，物体A上作用一水平力F，试用动静法说明A物体对B物体作用力大小是否等于F ？思考题：思考题：解：研究物块AFNNFmaFNNFFI=0=-