微积分 第六章 定积分

1、第一节第一节 定积分的概念定积分的概念第二节第二节 微积分基本公式微积分基本公式第三节第三节 定积分的积分方法定积分的积分方法第四节第四节 广义积分广义积分第六章第六章 定积分定积分 一、一、定积分的实际背景定积分的实际背景 二、二、定积分的概念定积分的概念三、三、定积分的几何意义定积分的几何意义四、四、定积分的性质定积分的性质第一节第一节 定积分的概念定积分的概念第一节第一节 定积分的概念定积分的概念 1. 曲边梯形的面积曲边梯形的面积 曲边梯形曲边梯形:若图形的三条边是直线段，其中有两条垂直若图形的三条边是直线段，其中有两条垂直 于第三条底边，而其第四条边是曲线，这样的图形称为曲于第三条底

2、边，而其第四条边是曲线，这样的图形称为曲 边梯形，如左下图所示边梯形，如左下图所示.yOMPQNBxCAA推广为推广为一、定积分的实际背景一、定积分的实际背景 曲边梯形面积的确定方法：把该曲边梯形沿着曲边梯形面积的确定方法：把该曲边梯形沿着 y轴方向切割成许多窄窄的长条，把每个长条近似看作轴方向切割成许多窄窄的长条，把每个长条近似看作一个矩形，用长乘宽求得小矩形面积，加起来就是曲一个矩形，用长乘宽求得小矩形面积，加起来就是曲边梯形面积的近似值，分割越细，误差越小，于是当边梯形面积的近似值，分割越细，误差越小，于是当所有的长条宽度趋于零时，这个阶梯形面积的极限就所有的长条宽度趋于零时，这个阶梯形

3、面积的极限就成为曲边梯形面积的精确值了成为曲边梯形面积的精确值了. .如下图所示：如下图所示： 0 x1x2xxn Oxy y = f (x)0 x= axn=b 曲边梯形面积的确定步骤：曲边梯形面积的确定步骤： (1)(1)分割分割 任取分点任取分点bxxxxxann1210, ,把底边把底边 a, ,b 分成分成 n 个小区间个小区间 1x, , 2x(), 2 , 1ni. . 小区间长度记为小区间长度记为 );, 2 , 1(1nixxxiii (2) (2) 取近似取近似 在每个小区间在每个小区间 iixx,1 上任取一点上任取一点 i 竖起高线竖起高线)(if, ,则得小长条面积则

4、得小长条面积iA的近似值为的近似值为 iiixfA)( ( (ni, 2 , 1) ); ; (3) (3) 求和求和 把把 n 个小矩形面积相加个小矩形面积相加( (即阶梯形面积即阶梯形面积) )就得到曲边梯形面积就得到曲边梯形面积 A 的近似值的近似值 iniinnxfxfxfxf)()()()(12211; ; (4) (4) 取极限取极限 令小区间长度的最大值令小区间长度的最大值inix1max 趋于零趋于零, ,则和式则和式 iniixf)(1的极限就是曲边梯形面积的极限就是曲边梯形面积 A的精确值，即的精确值，即 01lim( ).niiiAfx 2变速直线运动的路程变速直线运动的

5、路程 设设某某物物体体作作直直线线运运动动，已已知知速速度度)(tvv 是是时时间间间间隔隔21,TT上上的的连连续续函函数数，且且)(tv0，要要计计算算这这段段时时间间内内所所走走的的路路程程. . 解解决决这这个个问问题题的的思思路路和和步步骤骤与与上上例例类类似似： (1)分割分割 任取分点任取分点212101TtttttTnn，把，把 21,TT分成分成 n个小段，每小段长为个小段，每小段长为 1iiittt （ni, 2 , 1）; (2)取近似取近似 把每小段把每小段 iitt,1上的运动视为匀速，上的运动视为匀速，任取时刻任取时刻iiitt,1，作乘积，作乘积iitv)(，显然

6、这小段时间，显然这小段时间所走路程所走路程 is可近似表示为可近似表示为 iitv)(（ni, 2 , 1）; (3)求和求和 把把 n 个小段时间上的路程相加，就得到总个小段时间上的路程相加，就得到总 路程路程 s 的近似值，即的近似值，即 iniitvs)(1; (4)取极限取极限 当当 0max1init 时，上述总和的极限时，上述总和的极限就是就是s的精确值，即的精确值，即iniitvs)(lim10. 321xxxannxx1b,分分,ba为为 n 个小区间个小区间,1iixx), 2 , 1(ni. .记记 iniiiixnixxx11max), 2 , 1(, 再在每个小区间再在

7、每个小区间,1iixx上任取一点上任取一点 i，作乘积，作乘积iixf)( 的和式：的和式： 定定义义 设设函函数数)(xfy 在在ba,上上有有定定义义，任任取取分分点点 ,)(1iniixf二、定积分的概念二、定积分的概念 如如果果0时时,上上述述极极限限存存在在 （即即， 这这个个极极限限值值与与 ,ba的的分分割割及及点点i的的取取法法均均无无关关） ，则则称称此此极极限限值值为为函函数数)(xf在在区区间间,ba上上的的定定积积分分，记记为为 ,)(limd )(10iniibaxfxxf其其中中称称)(xf为为被被积积函函数数,xxfd)(为为被被积积式式，x为为积积分分变变量量，

8、,ba为为积积分分区区间间，ba,分分别别称称为为积积分分下下限限和和上上限限. . 定积分定义的说明：定积分定义的说明： (1)定积分表示一个数，它只取决于被积函数与积分上、定积分表示一个数，它只取决于被积函数与积分上、 下限，而与积分变量采用什么字母无关，例如：下限，而与积分变量采用什么字母无关，例如：102102ddttxx .一般地，一般地，babattfxxfd)(d)(. (2)定义中要求积分限定义中要求积分限 ba ，我们补充如下规定：，我们补充如下规定： 当当 ba 时，时，baxxf0d)(, 当当 ba 时，时，baabxxfxxfd)(d)( . (3)定积分的存在性：当

9、定积分的存在性：当)(xf 在在 ,ba上连续或只有有上连续或只有有 限个第一类间断点时限个第一类间断点时,)(xf在在,ba上的定积分存在（也称可上的定积分存在（也称可积）积）. . 如果如果 0)(xf ，则，则( )d0baf xx , 此时此时( )dbaf xx表示由曲线表示由曲线( )yf x，,xa xb及及 x轴所围成的曲边轴所围成的曲边梯形的面积梯形的面积 A，即，即baAxxfd)( . . x O y a b A y=f(x) 三、定积分的几何意义三、定积分的几何意义如果如果)(xf0， 则则( )d0baf xx ， 此时此时( )dbaf xx表示由曲线表示由曲线(

10、)yf x，,xa xb及及 x轴所围成的曲轴所围成的曲边梯形的面积边梯形的面积 A 的的负值负值，即，即( )dbaf xxA . . x O y a b -A y=f(x) 123( )d.baf xxAAA如果如果)(xf 在在,ba上有上有正有负时，则正有负时，则( )dbaf xx表示由表示由曲线曲线)(xfy ，直线，直线,xa xb及及 x 轴所围成的平面图形的轴所围成的平面图形的面积位于面积位于 x 轴上方的面积减去轴上方的面积减去位于位于 x 轴下方的面积，如右图轴下方的面积，如右图所示，即所示，即 3 A ) ( x f y O a b x y 2 A 1 A 性质性质 1

11、 1 函数的代数和可逐项积分，即函数的代数和可逐项积分，即 bababaxxgxxfxxgxfd)(d)(d)()(. 性质性质2 2 被积分函数的常数因子可提到积分号外面，被积分函数的常数因子可提到积分号外面，即即babaxxfkxxkfd)(d)(（k为常数）为常数）. 性质性质 3 3 （积分区间的分割性质）（积分区间的分割性质） 若若 bca，则，则 bacabcxxfxxfxxfd)(d)(d)(. 注： 对于注： 对于 cba, 三点的任何其他相对位置， 上述性三点的任何其他相对位置， 上述性质仍成立，譬如：质仍成立，譬如：cba ，则，则 cabacbbabcdxxfdxxfdx

12、xfdxxfdxxf)()()()()(, 四、定积分的性质四、定积分的性质.d)(d)(d)(bacabcxxfxxfxxf仍有仍有性质性质 4 4 （积分的比较性质）（积分的比较性质） 在在, a b 上若上若)(xfg(x)，则，则baxxfd)( baxxgd)(. 性质性质 5 5 （积分估值性质）（积分估值性质） 设设 M 与与 m 分别是分别是)(xf在在, a b上的最大值与最小值，则上的最大值与最小值，则 ()m babaxxfd)()(abM. 证证 因为因为 m)(xfM（题设） ，（题设） ，由性质由性质 4 得得baxmdbaxxfd)(baxMd，再将常数因子提出，

13、并利，再将常数因子提出，并利用用 abxbad， 即可得证即可得证. . 性质性质 6 6 （积分中值定理）（积分中值定理） 如果如果)(xf在在ba,上连续，上连续，则至少存在一点则至少存在一点ba,，使得，使得 baabfxxf)(d)(. 证证 将性质将性质 5 中不等式除以中不等式除以 ab，得，得 mbaxxfabd)(1M. 设设baxxfabd)(1,即即mM.由于由于)(xf为为ba,区间上的连续函数区间上的连续函数,所以所以,它能取到介于其最小值与最大它能取到介于其最小值与最大值之间的任何一个数值 （这就是连续函数的介值定理）值之间的任何一个数值 （这就是连续函数的介值定理）

14、 . .因因此在此在ba,上至少有一点上至少有一点 ，使得，使得)(f，即，即 , )(d)(1bafxxfab. )(d)(baabfxxf中值定理的几何意义： 曲边中值定理的几何意义： 曲边)(xfy 在在ba,底上所围成底上所围成的曲边梯形面积，等于同一底边而高为的曲边梯形面积，等于同一底边而高为)(f的一个矩形面的一个矩形面积，如下图所示积，如下图所示. . 从从几几何何角角度度容容易易看看出出，数数值值baxxfabd)(1表表示示连连续续曲曲线线)(xfy 在在ba,上上的的平平均均高高度度，也也就就是是函函数数)(xf在在ba,上上的的平平均均值值， 这这是是有有限限个个数数的的

15、平平均均值值概概念念的的拓拓广广. . 例例 估估计计定定积积分分 xxde112 的的值值. . 解解 先求先求 2e)(xxf在在-1,1上的最大值和最小值上的最大值和最小值. . 因为因为2e2)(xxxf, ,令令 0)( xf ，得驻点，得驻点 x=0 ，比较，比较 )(xf 在驻点及区间端点处的函数值在驻点及区间端点处的函数值 , 1e)0(0f e1e) 1 () 1(1ff, 故最大值故最大值 1M , 最小值最小值 m = e1 . . 由估值性质得，由估值性质得，e2xxde112 2 . 思考题思考题 1.如如何何表表述述定定积积分分的的几几何何意意义义？根根据据定定积积

16、分分的的几几何何意意义义推推证证下下列列积积分分的的值值： (1) 11dxx; (2) xxRRRd22; (3) 20dcosxx; (4) 11dxx. 2.若若当当axb,有有)(xf)(xg，问问下下面面两两个个式式子子是是否否均均成成立立，为为什什么么？ （1） baxxfd)(baxxgd)(; （2） xxfd)(baxxgd)(. 一、一、变上限的定积分变上限的定积分 二、二、牛顿牛顿- -莱布尼茨莱布尼茨 （Newton- -Leibniz）公式）公式 第二节第二节 微积分基本公式微积分基本公式引引例例 设设物物体体以以速速度度)(tvv 作作直直线线运运动动，要要求求计计

17、算算,21TT时时间间内内的的路路程程 s. . 若 从 不 定 积 分 概 念 出 发 ， 则 知 道 函 数 为若 从 不 定 积 分 概 念 出 发 ， 则 知 道 函 数 为,)(d)(Ctsttv其中其中 )()(tvts，于是，于是 21,TT 时间内所走时间内所走路程就是路程就是)()(12TsTs . . 综合上述两个方面，得到综合上述两个方面，得到21)()(d)(12TTTsTsttv. . 这这个个等等式式表表明明速速度度函函数数 )(tv在在 21,TT 上上的的定定积积分分, ,等等于于其其原原函函数数)(ts在在区区间间 21,TT 上上的的改改变变量量. .那那么

18、么，这这一一结结论论有有没没有有普普遍遍的的意意义义呢呢？ 第二节第二节 微积分基本公式微积分基本公式 设函数设函数)(xf在在 ba, 上连续上连续, ,x ba, ，于是积分，于是积分xaxxfd)(是一个定数， 这种写法有一个不方便之处，就是是一个定数， 这种写法有一个不方便之处，就是x既表示积分上限，又表示积分变量既表示积分上限，又表示积分变量. .为避免混淆，我们为避免混淆，我们把积分变量改写成把积分变量改写成 t，于是这个积分就写成了，于是这个积分就写成了xattfd)(. . 当当x在在 ba, 上上变变动动时时，对对应应于于每每一一个个 x值值, ,积积分分xattfd)( 就

19、就有有一一个个确确定定的的值值， 因因此此xattfd)(是是变变上上限限 x的的一一个个函函数数，记记作作 )(x= =xattfd)(（ a x b）通通常常称称函函数数 )(x为为变变上上限限积积分分函函数数或或变变上上限限积积分分，其其几几何何意意义义如如图图所所示示( (见见下下页页) ). . 一、变上限的定积分一、变上限的定积分y ) ( x f y x O x a b ) ( x 定定理理 1 1 如如果果函函数数)(xf在在区区间间 ba, 上上连连续续，则则变变上上限限积积分分)(x= =xattfd)(在在 ba, 上上可可导导，且且其其导导数数是是 xaxfttfxx)

20、(d)(dd)(（ a x b）. . 证证 当上限当上限x获改变量获改变量x时，函数时，函数)(x获得改变量为获得改变量为 .d)(xxxttf由由积积分分中中值值定定理理得得xf)(（ 在在 x 及及xx之之间间） , , )(fx. .再再令令 0 x, ,从从而而x， 由由)(xf的的连连续续性性，得得 0limxx)()(limxffx, , 即即)()(xfx ，证证毕毕. . 如右图所示如右图所示:y O x a b x x x ) ( x (x) 推论推论 连续函数的原函数一定存在连续函数的原函数一定存在. . 且函数且函数)(x= =xattfd)(即为其原函数即为其原函数.

21、 . 例例 1 1 计算计算)(x= =xtt02dsin 在在x= =0 , ,2处的导数处的导数. . 解解 因因为为xttx02dsindd= =2sin x, ,故故 00sin)0(2；224sin)2(. . 例例 2 求下列函数的导数：求下列函数的导数： ( (1 1) )xaatttxe)0(dln)(； 解解 这里这里)(x是是x的复合函数，其中中间变量的复合函数，其中中间变量xue，所以按复合函数求导法则，所以按复合函数求导法则， 有有 xxtttuxxxxxuaeeelnd)e (d)dln(dddd. . ( (2 2) )0(dsin)(12xxx. . 解解 21d

22、sinddddxxx )(sin22xx xxxxxsin22sin2. 定定理理 2 2 设设函函数数)(xf在在闭闭区区间间,ba上上连连续续，又又 )(xF是是)(xf的的任任一一个个原原函函数数，则则有有)()(d)(aFbFxxfba. . 证证 由定理由定理 1 1 知，变上限积分知，变上限积分 xattfxd)()(也是也是)(xf的一个原函数，于是知的一个原函数，于是知0)()(CxFx, , 0C为一常为一常数数, , 即即 xaCxFttf0)(d)(. . 我们来确定常数我们来确定常数 0C的值，为此，令的值，为此，令 ax ，有，有 aaCaFttf0)(d)(，得，得

23、)(0aFC. . 因此有因此有 xaaFxFttf)()(d)(. . 二、二、牛顿牛顿- -莱布尼茨莱布尼茨（Newton-LeibnizNewton-Leibniz）公式）公式 再再令令bx ，得得所所求求积积分分为为 baaFbFttf)()(d)(. . 因因此此积积分分值值与与积积分分变变量量的的记记号号无无关关，仍仍用用 x 表表示示积积分分变变量量，即即得得 baaFbFxxf)()(d)(, ,其其中中)()(xfxF. . 上上式式称称为为牛牛顿顿- -莱莱布布尼尼茨茨公公式式，也也称称为为微微积积分分基基本本公公式式. .为为计计算算方方便便，该该公公式式常常采采用用下下

24、面面的的格格式式： babaaFbFxFxxf)()()(d)(. . 例例1 求定积分：求定积分： (1)(1)212d1)(xxx ； （2 2）3221)1 (dxxx ； （； （3 3）112dxx . . 解解 （1 1）212122d)12(d12)(xxxxxx 654)123(213xxx. . （2 2）3221322111)1 (dxxxx.x1xd )(d)(11232212xx 3221arcsin2x.3398. 0)21arcsin32(arcsin2 （3 3）xx 2在在 1 , 1上写成分段函数的形式上写成分段函数的形式 ,10, 01,)(xxxxxf 于

25、是于是1101102dd)(dxxxxxx 101210222xx. . 例例 2 2 计计算算2cos10delim2xtxtx. . 解解 因为因为 0 x时时, ,1cosx, ,故本题属故本题属 00 型未型未定式定式, ,可以用洛必达法则来求可以用洛必达法则来求. .这里这里xttcos1de2是是 x的复的复合函数合函数, ,其中其中xucos, ,所以所以 xxxtxxtxcos1coscos222esin)(cosededd, , 于是有于是有 xxxxxtxxxxxxt222cos0cos02cos10e2sinlim2esinlimdelim e21e211. 思考题思考题

26、 1.1.若若2dsin)(2xxttxf ，?)( xf 2.2.在牛顿在牛顿- -莱布尼茨公式中，要求被积函数莱布尼茨公式中，要求被积函数)(xf在积分在积分区间区间,ba上连续上连续. . 问当问当)(xf 在在,ba区间上有第一类区间上有第一类间断点时，还能否用牛顿间断点时，还能否用牛顿- -莱布尼茨公式计算定积分？莱布尼茨公式计算定积分？并计算并计算 22,d)(xxf 其中其中 . 20, 12, 01, 1,10, 12,)(22xxxxxxxxf 一、一、定积分的换元积分法定积分的换元积分法 二、二、定积分的分部积分法定积分的分部积分法 第三节第三节 定积分的积分方法定积分的积

27、分方法 例例 1 1 求求401dxx . . 解一解一 xx1d tx 令ttt1d2 ttd)111 (2Ctt)1ln(2 回代Cxx1ln 2 于是于是4040)1ln( 21dxxxx = = 3ln24 . . 第三节第三节 定积分的积分方法定积分的积分方法一、定积分的换元积分法一、定积分的换元积分法解二解二 设设 tx ，即，即)0(2ttx. . 当当0 x时时, ,0t; ;当当 4x 时，时，2t. . 于是于是)3ln2(2)1ln(2d)111 (21d21d40202020tttttttxx. . 上述方法，要求求得的不定积分、变量必须还原，但上述方法，要求求得的不定

28、积分、变量必须还原，但是，在计算定积分时，这一步实际上可以省去，这只要将是，在计算定积分时，这一步实际上可以省去，这只要将原来变量原来变量x的上、下限按照所用的代换式的上、下限按照所用的代换式)(tx换成新变换成新变量量t的相应上、下限即可的相应上、下限即可. .本题可用下面方法来解本题可用下面方法来解. . 解二要比解一来得简单一些， 因为它省掉了变量回代解二要比解一来得简单一些， 因为它省掉了变量回代的一步，而这一步在计算中往往也不是十分简单的的一步，而这一步在计算中往往也不是十分简单的. . 以后在定积分使用换元法时， 就按照这种换元同时变以后在定积分使用换元法时， 就按照这种换元同时变

29、换上下限的方法来作换上下限的方法来作. . 一一般般地地，定定积积分分换换元元法法可可叙叙述述如如下下： 设设)(xf在在,ba上连续上连续, ,而而)(xx满足下列条件：满足下列条件： （1 1）)(tx在在,上有连续导数；上有连续导数； （2 2）ba)(,)(, ,且当且当 t 在在,上变化上变化时时, ,)(tx的值在的值在,ba上变化，则有换元公式：上变化，则有换元公式： tttfxxfbad)()(d)(. . 上述条件是为了保证两端的被积函数在相应区上述条件是为了保证两端的被积函数在相应区间上连续，从而可积间上连续，从而可积. .应用中，我们强调指出：换元应用中，我们强调指出：换

30、元必须换限必须换限. .（原）上限对（新）上限， （原）下限对（原）上限对（新）上限， （原）下限对（新）下限（新）下限. . 例例 2 2 求求2ln0d1exx. . 解解 设设tx1e，即，即tttxtxd12d),1ln(22. . 换积分限：当换积分限：当 0 x 时，时，0t, , 当当 2lnx时，时，1t, ,于是于是 1022ln0102d)111 (2d12d1ettttttxx 22)arctan(210tt. . 例例 3 3 求求xxaxaad2422. . 解解 设设taxsec，则，则 tttaxdtansecd . . 换积分限换积分限: :当当ax 时，时，0

31、t; ; ax2 时，时，3t, ,于是于是 30442422dtansecsectandtttatataxxaxaa = =tttadcossin12302 23201sind(sin )tta 21a. .0333sin t283a. . 例例 4 4 求求20sin1dxxI. . 解一解一 （换元法） 令（换元法） 令221d2d,12sin,2tanttxttxxt ，所以，当所以，当0 x 时，时，0t；当；当2x时，时，1t，于是，于是112)1 (d2d21201102102ttttttI. . 解二解二 （凑微分法）（凑微分法） 20202222cos) 12(tand)2c

32、os2(sindxxxxxxI 22020dtan12221(tan1)tan122xxx . 注意注意:求定积分一定要注意定积分的存在性求定积分一定要注意定积分的存在性. . 例例 5 5 设设 )(xf在在对对称称区区间间 aa, 上上连连续续，试试证证明明 aaaxxfxxf, 0,d)(2d)(0.)(,)(为为奇奇函函数数时时当当为为偶偶函函数数时时当当xfxf 证证 因为因为 aaaaxxfxxfxxf00d)(d)(d)(对积对积分分0d)(axxf作变量代换作变量代换tx，由定积分换元法，得，由定积分换元法，得0000( )d()d()d()daaaaf xxfttfttfxx

33、 , , 于 是于 是 aaaaaxxfxfxxfxxfxxf000d)()(d)(d)(d)(. . （1 1）若若)(xf为为偶偶函函数数, ,即即)()(xfxf, ,由由上上式式得得 aaaxxfxxf0d)(2d)(; ; （2 2）若若)(xf为为奇奇函函数数, ,即即)()(xfxf, ,有有 0)()(xfxf, ,则则0d)(aaxxf. . 该该题题几几何何意意义义是是很很明明显显的的，如如图图所所示示: : O a x y -a O a a x y 例例 6 6 证明证明 2020d)(cosd)(sinxxfxxf . . 证证 令令tx2. .换积分限：换积分限： 当

34、当0 x时，时，t= = 2；x= = 2时，时，0t, , 于是于是 2002d)2sin(d)(sinttfxxf 2020d)(cosd)(cosxxfttf. 设设)(xu, ,)(xv在在 a, ,b 上有连续导数，则有上有连续导数，则有 babaabuvuvvudd. . 该该公式公式称为称为定积分定积分分部分部积分积分公式公式，使用使用该该公式公式时时要要注意注意，把先积出来得那一部分代上下限求值，余下的部把先积出来得那一部分代上下限求值，余下的部分继续积分分继续积分. .这样做比完全把原函数求出来再代上下限这样做比完全把原函数求出来再代上下限简便一些简便一些. . 二、定积分的

35、分部积分法二、定积分的分部积分法例例 7 7 求求xxxdcos202. . 解解 202022)(sinddcosxxxxx 20022dsin2sinxxxxx 20200222dcos2cos24)(cosd24xxxxxx 24sin242022x. 例例 8 8 求求ee1dlnxx. . 解解 ee1e11e1dlndlndlnxxxxxx. .因为因为1e1 x时时, , 0lnx, ,这时这时xxlnln; ;x1 1时时, ,xln0, ,这时这时xxlnln. .于是于是ee11e1e1dlndlndlnxxxxxx, ,分别用分部积分求右分别用分部积分求右端两个积分得端两

36、个积分得 1e11e1e11e11e21e1lne1d1lndlnxxxxxxxx, , e11e1e1lndlnxxxxx, , 最后得最后得ee1e22dlnxx . . 例例 9 9 计计算算2232d)4()2(xxx. . 解解 因为积分区间因为积分区间 - -2,22,2 为对称区间，考查被积为对称区间，考查被积函数有否奇偶性，于是有函数有否奇偶性，于是有 2232d)4()2(xxxI 22322232d)4(2d)4(xxxxx 2032d)4(40 xx, , 用换元法，令用换元法，令ttxtxdcos2d,sin2, , 则则 tttttIdcos64dcos2)cos2(

37、4202043 122214364. . 思思考考题题 2 2. .下面的计算是否正确，请对所给积分写出正确结下面的计算是否正确，请对所给积分写出正确结果：果： （1 1）xxxxxxdsin)(cosdcoscos2221223 2221)cosd()(cosxx 0cos322223x. 1 1. .定定积积分分与与不不定定积积分分的的换换元元法法有有何何区区别别与与联联系系？ ( (2) 2) 112112)sind()(sin1d1ttxx 11dcoscosttt 111022d)(cos2d)(costttt 10d22cos12tt 01)2sin21(tt 2sin211. 一

38、、一、无穷区间上的广义积分无穷区间上的广义积分二、二、无界函数的广义积分无界函数的广义积分 第四节第四节 广广 义义 积积 分分定定义义 1 1 设设函函数数)(xf在在 , a 上上连连续续，取取 ab , ,我我们们把把极极限限babxxfd)(lim称称为为)(xf在在 , a 上上的的广广义义积积分分，记记为为 babaxxfxxfd)(limd)(. . 若若极极限限存存在在，称称广广义义积积分分axxfd)(收收敛敛；若若极极限限不不存存在在，则则称称axxfd)(发发散散. . 第四节第四节 广广 义义 积积 分分一、无穷区间上的广义积分一、无穷区间上的广义积分类似地，可定义类似

39、地，可定义)(xf在在( (,b上的广义积分为上的广义积分为 babaxxfxxfd)(limd)(, , )(xf在在( (, ) ) 上的广义积分上的广义积分为为 ccxxfxxfxxfd)(d)(d)(. . 其中其中c为任意实数（譬如取为任意实数（譬如取 0c） ，当右端两个广义积） ，当右端两个广义积分都收敛时，广义积分分都收敛时，广义积分xxfd)(才是收敛的，否则是才是收敛的，否则是发散的发散的. . 例例 1 1 求求 xxde0. . 解解 )e(limdelimde000bxbbxbxxx lim( e1)1bb. . 为为了了书书写写简简便便， 实实际际运运算算过过程程中

40、中常常常常省省去去极极限限记记号号，而而形形式式地地把把当当成成一一个个“数数”, ,直直接接利利用用牛牛顿顿- -莱莱布布尼尼茨茨公公式式的的格格式式进进行行计计算算. . )()()(d)(aFFxFxxfaa, , )()()(d)(FFxFxxf. 其其中中)(xF为为)(xf的的原原函函数数，记记号号)(F应应理理解解为为极极限限运运算算： )(lim)(xFFx. . 例例 2 2 讨讨论论2lndxxx 的的敛敛散散性性. . 解解 222lnlnln)(lndlndxxxxxx, ,所所以以2lndxxx 发发散散. . 例例3 3 计算下列积分计算下列积分: : （1 1）2

41、1dxx ; ; （2 2）0e dttt . . 解解 （1 1）)2(2arctan1d2xxx. . 解解( (2 2) )00)e (ddettttt 00deetttt 1ede00ttt. . 注意注意: :在在0ett中中 t用用代替，实际是计算极限代替，实际是计算极限 0e1limelimelimtttttttt. . 例例 4 4 讨讨论论apxxd1的的敛敛散散性性（a 0 0）. . 解解 （1 1）当）当 1p时，时，11d11(1)pppaaxxxppa( (收敛收敛);); （2 2）当）当 1p时，时， apxxd= =aaxxxlnd( (发散发散);); （3

42、 3）当）当 1p 时，时，aappxpxx111d（发散）（发散）. . 综综上上，appppapxx.)( 1,),( 1,) 1(1d11发发散散收收敛敛 定义定义 2 2 设设)(xf在（在（,ba上连续上连续, ,且且)(limxfax, ,取取0, ,称极限称极限baxxfd)(lim0为为)(xf在在( (,ba上的广义积分，上的广义积分，记为记为 babaxxfxxfd)(limd)(0 , , 若该极限存在，则称广义积分若该极限存在，则称广义积分baxxfd)(收收敛；若极限不存敛；若极限不存在，则称在，则称baxxfd)(发散发散. . 二、被积函数有无穷间断点的广义积分二

43、、被积函数有无穷间断点的广义积分类类似似地地，当当bx 为为)(xf的的无无穷穷间间断断点点时时，即即)(limxfbx , ,)(xf在在 ),ba上上的的广广义义积积分分定定义义为为: : 取取, 0 babaxxfxxfd)(limd)(0. . 当当无无穷穷间间断断点点cx 位位于于区区间间 , a b 内内部部时时， 则则定定义义广广义义积积分分baxxfd)(为为： bccabaxxfxxfxxfd)(d)(d)(. . 注意注意: :上式右端两个积分均为广义积分，仅当这两个上式右端两个积分均为广义积分，仅当这两个广义积分都收敛时，才称广义积分都收敛时，才称 baxxfd)(是收敛

44、的，否则，称是收敛的，否则，称baxxfd)(是发散的是发散的. . 上述无界函数的广义积分也称为瑕积分上述无界函数的广义积分也称为瑕积分. . 例例 5 5 求求积积分分（1 1）aaxax022)0(d; ;（2 2）xxdln10. . （2 2）10dlnxx这里下限这里下限0 x是被积函数的瑕点，于是被积函数的瑕点，于是是1111000ln dlimln dlim( lnd )x xx xxxx 0lim(ln1)1 . 注：注：00021lnlimlnlimlim011( (洛必达法则洛必达法则).). 例例 6 6 讨讨论论202) 1(dxx 的的收收敛敛性性. . 解解 在在

45、0,20,2 内部有被积函数的瑕点内部有被积函数的瑕点 1x，所以有，所以有 201021222) 1(d) 1(d) 1(dxxxxxx（让瑕点在小区间端点处）（让瑕点在小区间端点处） 122121220100ddlimlim(1)(1)xxxx 112221001011lim ()lim ()11xx 12001211lim ( 1)lim (1) (不存在不存在), 所以所以202) 1(dxx发散发散. . 例例 7 7 讨论讨论10dqxx 的敛散性的敛散性. . 解解 0 x是被积函数的瑕点是被积函数的瑕点. . (1)(1)当当 q111 时，时， 1110010dlim11li

46、m(1)1()qqqxxxqq 发散; ; (3)(3)当当 q=1=1 时，时， 1110000ddlimlim(ln)lim( ln)()xxxxx 发散 ; ; 故故 10dqxx 当当 q11 时收敛于时收敛于q11，当，当 q1 1 时发散时发散. . 思思考考题题 1 1. .下下列列解解法法是是否否正正确确？为为什什么么？ 21122ln1ln2lnlnd1xxx. . 2.2.指出下面广义积分的指出下面广义积分的错误错误. . 000elimdelimdebbxbxbxxx 101)e1 (limbb. . 第六章第六章 定积分定积分一、本章提要一、本章提要1.基本概念基本概念

47、 定积分，曲边梯形，定积分的几何意义，定积分，曲边梯形，定积分的几何意义，变上限的定积分，广义积分，变上限的定积分，广义积分，无穷区间上的广义积分，无穷区间上的广义积分，被积函数有无穷区间断点的广义积分被积函数有无穷区间断点的广义积分.2基本公式基本公式 牛顿牛顿-莱布尼茨公式莱布尼茨公式.3基本方法基本方法 (1). 积分上限函数的求导方法，积分上限函数的求导方法，(2).直接应用牛顿直接应用牛顿-莱布尼茨公式莱布尼茨公式计算定积分的方法计算定积分的方法 (3).借助于换元积分法及分部积分法借助于换元积分法及分部积分法计算定积分的方法，计算定积分的方法，(4).两类广义积分的计算方法两类广义积分的计算方法.4定理定理 定积分的线性运算性质，定积分的线性运算性质，定积分对积分区间的分割性质，定积分对积分区间的分割性质，定积分的比较性质，定积分的估值定理，定积分的比较性质，定积分的估值定理，定积分的中值定理，定积分的中值定理，变上限积分对上限的求导定理变上限积分对上限的求导定理 二、要点解析二、要点解析问题问题1 应用换元积分法计算定积分时应注意什么问题？应用换元积分法计算