第五讲多元函数微分法PPT学习教案

1、会计学1第五讲多元函数微分法第五讲多元函数微分法 )(0oPPU00 PP1. 邻域邻域平面点集, ) ,(0PPU称为点 P0 的 邻域邻域. ),(),(0yxPU说明：说明：若不需要强调邻域半径 ,也可写成点 P0 的去心邻域去心邻域记为0PP)()(2020yyxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 0000(,),PP xy设 点为则. )(0PU)(0PU0P第1页/共39页2. 区域区域区域的边界，区域的边界，开区域与闭区域，开区域与闭区域，有界区域、无界区域有界区域、无界区域区域的直径区域的直径第2页/共39页0),( yxyx41),(22yxyx0),( yxyx41),(

2、22yxyx开区域闭区域机动 目录 上页 下页 返回 结束 xyo21xyoxyoxyo21第3页/共39页, ,x y z点集 D 称为函数的定义域定义域 ; 时，对应的z值称为函数值函数值 .记为 ： 同理可定义三元函数( , , ),( , , )uf x y zx y zD当, x y取定一对值时，按照一定的规律 总有惟一确定的z值与之对应，则称z为x,y的二二元函数元函数 ,记为机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( , ),( , )zf x yx yD00,xxyy00(,)f xy3.多元函数的定义：多元函数的定义：第4页/共39页aXY.)ln(.的定义域求函数例2221yx

3、az,.0222yxa解.的定义域为函数 zayx222222ayxyxD| ),(第5页/共39页.)arcsin(),(.的定义域求例22232yxyxyxf013222yxyx.解22242yxyx.,),(22242yxyxyxD所求定义域为第6页/共39页. ),(,.yxfyxxyyxf求设例223xyvyxu设解 .vuvyvux11则2211vuvvuvuf),(.)(vvu112.)(),(yyxyxf112第7页/共39页定义定义2. 设设 二元函数二元函数( , ),zf x y以任何方式趋近点以任何方式趋近点 00(,)xy( ,)f x y则称则称 A 为函为函数数(

4、也称为也称为 二二 重极限重极限)二元函数的极限可记为：二元函数的极限可记为：00( , )(,)lim( , )x yxyf x yA 如果当点如果当点时，时，记作00( , )( , )(,)f x yx yxy当时的极限00lim( , )xxyyf x yA确定的常数确定的常数A,机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( ,)x y无限趋近一个无限趋近一个第8页/共39页 若当点),(yxP趋于不同值或有的极限不存在，解解: 设 P(x , y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0) ,22),(yxyxyxf222200lim),(limxkxxkyxfxkxyx在点 (0,

5、0) 的极限.),(yxf故则可以断定函数极限则有21kkk 值不同极限不同值不同极限不同 !在 (0,0) 点极限不存在 .以不同方式趋于,),(000时yxP不存在 .函数第9页/共39页定义定义3 . 设 二二元函数( ,)fx y定义在 D 上,0000( , )(,)lim( , )(,)x yxyf x yf xy00( , )(,)f x yxy在点如果函数在 D 上各点处都连续, 则称此函数在 D 上00(,),xyD点如果否则称为不连续,00(,)xy此时称为间断点 .则称 二二 元函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 连续.连续, 第10页/共39页22220111 0

6、15. lim1.01xyxyxy 例006. lim1 1xyxyxy 例111100)()(limyxyxyxyx1100yxyxlim.2第11页/共39页xyxfyxxfzyxfyxfxxzyxfzxxx ),(),(lim),(),(:, ),(0偏导数偏导数定义定义设设yyxfyyxfzyxfyxfyyzyyy ),(),(lim),(),(0偏导数偏导数. ),(),(),(zyxfzyxfzyxfzyx类似地可定义类似地可定义第12页/共39页;32.yxxz 解解.23yxyz ,8231221 yxxz.7221321 yxyz对对某某个个自自变变量量求求导导公公式式求求偏

7、偏导导数数使使用用一一元元函函数数,.,其余自变量视为常量其余自变量视为常量只有这一个自变量在变只有这一个自变量在变求导时求导时.)2,1(3.122处的偏导数处的偏导数在点在点求求例例yxyxz 第13页/共39页证证 xz,1 yyx yz,ln xxyyzxxzyx ln1xxxyxyxyylnln11 yyxx .2z 原结论成立原结论成立, )1,0(.2 xxxzy设设例例.2ln1zyzxxzyx 求证求证第14页/共39页有关偏导数的几点说明：有关偏导数的几点说明：、求分界点、不连续点处的偏导数要用求分界点、不连续点处的偏导数要用定义来求定义来求 ；、偏导数存在与连续的关系、偏

8、导数存在与连续的关系一元函数在某点可导一元函数在某点可导 连续连续 ，多元函数在某点偏导数存在多元函数在某点偏导数存在 连续连续 . ;,不能拆分不能拆分是一个整体记号是一个整体记号偏导数偏导数xu 第15页/共39页, ),(22yxfxzxzxxx ),(22yxfyzyzyyy , ),(2yxfyxzxzyyx ),(2yxfxyzyzxxy 函函数数),(yxfz 的的二二阶阶偏偏导导数数为为 混合偏导混合偏导二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数 .第16页/共39页解解xz ,33322yyyx yz ;9223xxyyx 22xz ,62x

9、y 22yz ;1823xyx 33xz ,62y xyz 2.19622 yyxyxz 2,19622 yyxxyzyxz 22,13.5323 xyxyyxz设设例例.,33222222xzyzyxzxyzxz 求求第17页/共39页解解,cosbyeaxuxa ;sinbybeyuxa ,cos222byeaxuxa ,cos222byebyuxa ,sin2byabeyxuxa .sin2byabexyuxa xyuyxu 22.,cos.6的二阶偏导数的二阶偏导数求求设设例例ubyeuax 第18页/共39页的两个二阶混合偏导如果函数定理),(yxfz 那么在那么在内连续内连续在区域

10、在区域及及数数,22Dyxzxyz .合偏导数必相等合偏导数必相等该区域内这两个二阶混该区域内这两个二阶混227.( , )lnu x yxy例验证函数满足拉普拉斯.0)Laplace(2222 yuxu方程方程?:都相等吗都相等吗与与混合偏导数混合偏导数问题问题xyyxff?具备怎样的条件才相等具备怎样的条件才相等第19页/共39页, )ln(21ln2222yxyx 解解,22yxxxu ,22yxyyu ,)()(2)(222222222222yxxyyxxxyxxu .)()(2)(222222222222yxyxyxyyyxyu 22222222222222)()(yxyxyxxyy

11、uxu .0 第20页/共39页),(yxfu 二元函数),(),(yxfyxxf ),(),(yxfyyxf )(),(),(1yxfyyxxfu :的偏增量函数对 x:的偏增量函数对 y:),(的全增量函数yxfu )(, )(.2 oyBxAu 如果定义.,22yxyxBA 无关和与,),(),(可微分在点则称yxyxfu ,),(点的全微分在为函数称yxuyBxA .yBxAud 记为第21页/共39页.),(),(.连续可微定理yxfyxfu1,内各点都可微分在区域如果函数Du.内可微在则称Du),(,),(),(.yxyxyxfu则在可微分在点如果定理2.,且存在点yxffyfxf

12、udyx ydfxdfudyxyfxfyx ),(),(,zyxzyxfu在点若三元函数类似地.,且存在则可微zyxfffdzfdyfdxfudzyx第22页/共39页,.xyyexz解,xyexyz,),(212exz,),(2122eyz.ydexdezd222所求全微分.),(.处的全微分在点计算函数例121xyez 第23页/共39页, )sin(.yxyxz2解, )sin()cos(yxyyxyz222ydyzxdxzzd ,444. )( 7482, )cos(. yxyxyz422当求函数例.,时的全微分 ydxd4第24页/共39页,.1xu解,cosyzezyyu221,y

13、zeyzu.coszdeyydezyxdudyzyz221.sin.的全微分计算函数例yzeyxu23所求全微分第25页/共39页多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数可微偏导数连续偏导数连续函数连续函数连续函函数数可可偏偏导导第26页/共39页:一元函数的链式法则, )(, )(xguufy设xdxgufudufyd)()()(则.)()(xgufxdyd或:多元函数的链式法则,可微uf,)()(, ),(.tyytxxyxfu设定理1.)(, )(,可导可微tytxf则)()(tyutxutdudyxtuxy第27页/共39页,)()()(, ),(.tz

14、ztyytxxzyxfu对于推广.有xyztu.)(, )(, )(,可导可微tztytxf)()()(tzutyutxutdudzyx以上公式中的导数以上公式中的导数 称为称为tdud第28页/共39页xvvzxuuzxz.解1 veyveuucossin,)cossin(vvyeu1 vexveuucossin.)cossin(vvxeuzuvxy,sin.yxvyxuvezu而设例1.yzxz和求yvvzyuuzyz第29页/共39页1 tztdvdvztduduztdzd.解#cossinttuvetttetettcossincos.cos)sin(costttetzuvtt,cos,

15、sin.tveutuvzt而设例2.tdzd求全导数第30页/共39页为简便起见 , 引入记号,2121vuffuff ),(1zyxzyxff 具有二阶连续偏导数, ),(zyxzyxfw求,.wwxz解解: 令,zyxvzyxuxw),(vufw 11 fzyf 2),(2zyxzyxfzy则wz机动 目录 上页 下页 返回 结束 1f 2fxy第31页/共39页例例4xuy11f 11fyyu1f )(2yx2f z1zu2f )(2zy2121fzfyx22fzy机动 目录 上页 下页 返回 结束 zyyxfu,uuuxyz求解：第32页/共39页定理定理1. 设函数),(00yxP)

16、,(yxF;0),(00yxF则方程00),(xyxF在点单值连续函数 y = f (x) , )(00 xfy 并有连续yxFFxydd(隐函数求导公式) 具有连续的偏导数;的某邻域内某邻域内可唯一确定一个在点的某一邻域内满足0),(00yxFy满足条件机动 目录 上页 下页 返回 结束 导数第33页/共39页01sinyxeyx在点(0,0)某邻域可确定一个单值可导隐函数, )(xfy 0dd,0dd22xxyxxy解解: 令, 1sin),(yxeyyxFx,0)0 , 0(F, yeFxx连续 ,由 定理1 可知,1)0 , 0(yF0, )(xfy 导的隐函数 则xyFy cos在

17、x = 0 的某邻域内方程存在单值可且机动 目录 上页 下页 返回 结束 并求第34页/共39页0ddxxy0 xFFyx 1xy cosyex0, 0yx机动 目录 上页 下页 返回 结束 22ddyx)cos(ddxyyexx2)cos( xy 3100yyx)(yex)(cosxy )(yex) 1sin(yy22ddyx第35页/共39页则则,arctanln),(xyyxyxF22令令解解,),(22yxyxyxFx,),(22yxxyyxFyyxFFxdyd.xyyx.,arctanlnxdydxyyx求求已知已知例例222第36页/共39页若函数 ),(000zyxP),(zyxFzyzxFFyzFFxz,的某