多元函数概念

1、第一节第一节 多元函数的基本概念多元函数的基本概念一、平面点集的基本概念一、平面点集的基本概念平面点集平面点集),( | ),(具有某种性质具有某种性质yxyxE 1| ),(1 yxyxE1| ),(2 yxyxE,| ),(Ryxyx 2R RR1 1、平面上点的邻域、平面上点的邻域),(0PU 2020)()(| ),(yyxxyx点点P P0 0 的的 邻域邻域 |0PPP点点P P0 0 的去心的去心 邻域邻域),(U00P |0|0PPP说明：说明：若不需要强调邻域半径若不需要强调邻域半径 , ,也可写成也可写成0P 0P )(0PU在讨论实际问题中也常使用方邻域在讨论实际问题中也

2、常使用方邻域, ,平面上的方邻域为平面上的方邻域为 ),() ,U(0yxP。因为方邻域与圆因为方邻域与圆邻域可以互相包含邻域可以互相包含. .,0 xx0 yy0P2 2、平面上点与集合的关系、平面上点与集合的关系P为为E的的内点内点：集合集合E点点P 若存在若存在P 的某邻域的某邻域 U(P) E . .P为为E的的外点外点： 若存在若存在P 的某邻域的某邻域 U(P) E = . .P为为E的的边界点边界点：若点若点P 的任一邻域的任一邻域U(P) 既含既含E中的内点也含中的内点也含 E的外点的外点.EE的边界点全体称为的边界点全体称为E的的边界边界.E 记为记为3. 聚点聚点若对任意给

3、定的若对任意给定的 , ,点点P P 的去心的去心) ,(PU邻域邻域内总有内总有E E 中的点中的点 , , 则则称称P P是是E E 的的聚点聚点. .聚点可以属于聚点可以属于E E , , 也可以不属于也可以不属于E E D4.4.重要点集重要点集 若点集若点集E的点都是的点都是内点内点，则称，则称 E 为为开集开集； 若点集若点集 E E , , 则称则称E为为闭集闭集； 若集若集 D 中任意两点都可用一完全属于中任意两点都可用一完全属于D的折线相连的折线相连 , , 开区域连同它的边界一起称为开区域连同它的边界一起称为闭区域闭区域. .则称则称 D 是是连通的连通的 ; 连通的开集称

4、为连通的开集称为开区域开区域 , ,简称简称区域区域; ;5.n5.n维空间维空间 3R,| ),(Rzyxzyx nR,| ),(121Rxxxxxnn |PP|0202020)()()(zzyyxx | PQ2211)()(nnyxyx ),(21nxxxP ),(21nyyyQ 可以类似定义邻域等概念可以类似定义邻域等概念二、多元函数的概念二、多元函数的概念1.定义定义 一元一元函数函数.),(Dxxfy 二元二元函数函数.),(),(Dyxyxfz x映射映射R:DfRz),(yx映射映射R:DfRy),(zyxRu映射映射R:Df三元三元函数函数.),(),(Dzyxzyxfu R

5、D2R D3R D2.2.二元二元函数的几何图形函数的几何图形),(yxfz D),(yx),(),(| ),(Dyxyxfzzyx ),(zyx空间曲面空间曲面 :曲面曲面 在在xoy投影投影 ),(yxfz 221yxz 1| ),(22 yxyxD例例1 求函数定义域求函数定义域 （自然定义域）（自然定义域） ;1)1(22yxz ;)3arcsin()2(222yxyxz 2RD 图形为旋转抛物面图形为旋转抛物面 , 42| ),(222yxyxyxD 例例2 已知已知 33),(yxxyyxf 求求 ),(yxf解解 vxyuyx ,)(2233xyyxyxyx )3)(2xyyxy

6、x )3(2vuu uvu33 ),(yxfxyx33 ),(vuf,R),(2 DPPf,),(00时时当当PUP , - )( APf有有20200)()(yyxxPP 二元函数的极限可写作：二元函数的极限可写作：Ayxf ),(lim0 APfPP )(lim0P0 是是D 的聚点，的聚点，记作记作则称则称A为函数为函数，时的极限当0)(PPPfAyxfyyxx ),(lim00三、二元函数的极限三、二元函数的极限定义定义 二元函数二元函数 0, 0, 二元函数极限与一元函数二元函数极限与一元函数相似相似之处之处: 1、 ，时时0PP .)(APf2、 有类似的性质与运算法则有类似的性质

7、与运算法则. 二元函数极限与一元函数二元函数极限与一元函数不同不同之处之处: Axfxx )(lim0Axfxfxxxx )(lim)(lim00平面上点平面上点 ，0PP 有无穷多方向有无穷多方向, 且采取的路径也是任意的且采取的路径也是任意的.既可取直线也可取曲线既可取直线也可取曲线. 无论从何种方向沿何种路径，无论从何种方向沿何种路径，只要只要P 与与 无限接近无限接近 , 0P都必须有都必须有 充分小充分小.|)(|APf P(x , y) 沿直线沿直线 y = x 趋于趋于(0, 0)时时 , ,22),(yxyxyxf2220limxxxx 在点在点 (0, 0) 的极限的极限.

8、.),(yxf故则可以断定函数极限则可以断定函数极限有有在在(0,0)(0,0)点极限不存在点极限不存在 . .不存在不存在 . .例例3. 讨论函数讨论函数 若当点若当点),(yxP趋于不同值或有的极限不存在，趋于不同值或有的极限不存在，以不同方式趋于以不同方式趋于),(000yxP时，函数时，函数),(lim0yxfxyx 21 P(x , y) 沿直线沿直线 y = 0趋于趋于(0, 0)时时 , , 有有),(lim00yxfyx 00lim20 xxx0 解解练习练习 222200lim)1(yxyxyx 证明下面极限不存在证明下面极限不存在. 24200lim)2(yxyxyx k

9、xy 2kxy yxyxyx 00lim)3(0, 0 yx四四、 二元函数的连续性二元函数的连续性 若二元函数若二元函数)(Pf满足满足)()(lim00PfPfPP 0)(PPf在点在点 如果函数在区域如果函数在区域D上上每一点处每一点处都连续都连续, , 则称函数则称函数在在D上连续上连续. .否则称为否则称为不连续不连续, ,0P此时此时称为称为间断点间断点 . .则称函数则称函数连续连续, , 定义定义例如例如, 函数函数 0,00,),(222222yxyxyxyxyxf在点在点(0 , 0) 极限不存在极限不存在, , 又如又如, , 函数函数11),(22yxyxf上间断上间断

10、. .122 yx 故故 ( 0, 0 )为其间断点为其间断点. .在圆周在圆周例例4. 求极限求极限 xyxxy)1(lim)2(3 3e yxyyxsinlim)1(02xxyxyyx sinlim02xxyxyyxyx0202limsinlim 221 22200lim)3(yxyxyx 0 xyxxyyx.lim2200 有界有界 无穷小无穷小 2122 yxxyyyxyxxy )1(lim34422lim)4(yxyxyx 44220yxyx 22222yxyx )11(2122yx 0)11(21lim22 yxyx0lim4422 yxyxyx夹夹逼定理逼定理 二元连续函数的和、差、积及商（分母不为零）二元连续函数的和、差、积及商（分母不为零）为为二元连续函数二元连续函数.