第2章222用样本的数字特征估计总体的数字特征课堂教学素材1

1、 第二章第二章 统计统计2.2.2 2.2.2 用样本的数字特征估计用样本的数字特征估计 总体的数字特征总体的数字特征一、众数、中位数、平均数一、众数、中位数、平均数1、众数众数 在一组数据中，出现次数最多的数据叫做在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这一组数据的众数。这一组数据的众数。2 2、中位数中位数 将一组数据按大小依次排列，把处在最将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或两个数据的平均数）叫做中间位置的一个数据（或两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。这组数据的中位数。3、平均数平均数 (1)x x = 1/n(x = 1/n(x1 1+x+x2 2+x+xn n)

2、 ) 练习练习: : 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的的1717名运动员的成绩如下表所示：名运动员的成绩如下表所示：成绩成绩(单位：单位：米米)1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90人数人数23234111分别求这些运动员成绩的众数，中位数与平均数分别求这些运动员成绩的众数，中位数与平均数 解：在解：在1717个数据中，个数据中，1.751.75出现了出现了4 4次，出现的次数最次，出现的次数最多，即这组数据的众数是多，即这组数据的众数是1.751.75上面表里的上面表里的1717个数据可看成是按从小到大的顺

3、序排个数据可看成是按从小到大的顺序排列的，其中第列的，其中第9 9个数据个数据1.701.70是最中间的一个数据，即这是最中间的一个数据，即这组数据的中位数是组数据的中位数是1.701.70；这组数据的平均数是这组数据的平均数是答：答：1717名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次是名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次是1.751.75（米）、（米）、1.701.70（米）、（米）、1.691.69（米）（米）. . 二二 、众数、中位数、平均数与频率分布直、众数、中位数、平均数与频率分布直 方图的关系方图的关系1 1、众数在样本数据的频率分布直方图中，就是最高矩众数在样本数据的频率分布直方

4、图中，就是最高矩形的中点的横坐标。形的中点的横坐标。 例如，在上一节调查的例如，在上一节调查的100100位居民的月均用水量的位居民的月均用水量的问题中，从这些样本数据的频率分布直方图可以看出，问题中，从这些样本数据的频率分布直方图可以看出，月均用水量的众数是月均用水量的众数是2.25t.2.25t.如图所示：如图所示：频率分布直方图如下频率分布直方图如下：月均用水量月均用水量/t频率频率组距组距0.100.200.300.400.500.511.5 22.533.544.5点）众数（最高的矩形的中 2 2、在样本中，有在样本中，有5050的个体小于或等于中的个体小于或等于中位数，也有位数，也

5、有5050的个体大于或等于中位数的个体大于或等于中位数，因此，因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等的面积应该相等，由此可以估计中位数的值。下图，由此可以估计中位数的值。下图中虚线代表居民月均用水量的中位数的估计值，此中虚线代表居民月均用水量的中位数的估计值，此数据值为数据值为2.02t. 2.02t. 频率分布直方图如下频率分布直方图如下：月均用水量月均用水量/t频率频率组距组距0.100.200.300.400.500.511.5 22.533.544.5中位数说明说明: :2.032.03这个中位数的估计值这个中位数的

6、估计值, ,与样本的中位数值与样本的中位数值2.02.0不一样不一样, ,这是因为样本数据的频率分布直方图这是因为样本数据的频率分布直方图, ,只只是直观地表明分布的形状是直观地表明分布的形状, ,但是从直方图本身得不但是从直方图本身得不出原始的数据内容出原始的数据内容, ,所以由频率分布直方图得到的所以由频率分布直方图得到的中位数估计值往往与样本的实际中位数值不一致中位数估计值往往与样本的实际中位数值不一致. . 3. 3. 可以从频率分布直方图中估计平均数可以从频率分布直方图中估计平均数 平均数的估计值平均数的估计值= =频率分布直方图中每个小矩形的面积频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以

7、小矩形底边中点的横坐标之和乘以小矩形底边中点的横坐标之和三、众数、中位数、平均数的简单应用三、众数、中位数、平均数的简单应用例例1. 1. 某工厂人员及工资构成如下：某工厂人员及工资构成如下：人员人员经理经理 管理人员管理人员 高级技工高级技工 工人工人学徒学徒 合计合计周工资周工资22002200 250250220220200200100100人数人数1 16 65 510101 12323合计合计22002200 15001500110011002000200010010069006900（1 1）指出这个问题中周工资的众数、中位数、平均数）指出这个问题中周工资的众数、中位数、平均数（2

8、 2）这个问题中，工资的平均数能客观地反映该厂）这个问题中，工资的平均数能客观地反映该厂的工资水平吗？为什么？的工资水平吗？为什么？分析：分析：（1 1）众数为众数为200200，中位数为，中位数为220220，平均数为，平均数为300300。（2 2）因平均数为）因平均数为300300，由表格中所列出的数据可，由表格中所列出的数据可见，只有经理在平均数以上，其余的人都在平均见，只有经理在平均数以上，其余的人都在平均数以下，故用平均数不能客观真实地反映该工厂数以下，故用平均数不能客观真实地反映该工厂的工资水平。的工资水平。四、标准差四、标准差 平均数向我们提供了样本数据的重要信息，但是，平均数

9、向我们提供了样本数据的重要信息，但是，平均数有时也会使我们作出对总体的片面判断，难平均数有时也会使我们作出对总体的片面判断，难以概括样本数据的实际状态，而数据的离散程度可以概括样本数据的实际状态，而数据的离散程度可以用以用极差、方差或标准差极差、方差或标准差来描述。来描述。为了表示样本数据的单位表示的波动幅度，通常要求为了表示样本数据的单位表示的波动幅度，通常要求出出样本方差样本方差或者它的或者它的算术平方根算术平方根. .四、标准差四、标准差（1 1）方差方差：设在一组数据，：设在一组数据，x x1 1，x x2 2，x xn n中，各数中，各数据与它们的平均数据与它们的平均数x x的差的平

10、方分别是的差的平方分别是22212() ,() ,()nxxxxxx那么我们用它们的平均数，即那么我们用它们的平均数，即2222121()()() nsxxxxxxn 来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的数据的方差方差，一组数据方差越大，则这组数据波动，一组数据方差越大，则这组数据波动越大。越大。 （2 2）标准差标准差：我们把数据的方差的算术平方根叫做：我们把数据的方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，它也是一个用来衡量一组数据的这组数据的标准差，它也是一个用来衡量一组数据的波动大小的重要的量。波动大小的重要的量。222121()()() n

11、sxxxxxxn计算标准差的算法：计算标准差的算法： S S1 1 算出样本数据的平均数算出样本数据的平均数x x；S S2 2 算出每个样本数据与样本平均数的差算出每个样本数据与样本平均数的差 （i i=1=1，2 2，n n）；）；ixx四、标准差四、标准差S S3 3 算出算出 （i=1，2，n）；）；2()ixxS S4 4 算出算出 （i i=1=1，2 2，n n）这）这n n个数的平均数，个数的平均数，即为样本方差即为样本方差s s2 2；2()ixxS S5 5 算出方差的算术平方根，即为样本标准差算出方差的算术平方根，即为样本标准差s s。例例2. 2. 计算数据计算数据5

12、5，7 7，7 7，8 8，1010，1111的标准差的标准差. .解：解：S1 x= =85+7+7+8+10+116数据数据 xiS1 xS2 xixS3 (xix)258397811781188001082411839S4 s2= =4；9+1+1+0+4+96S5 .24 s所以这组数据的标准差是所以这组数据的标准差是2.2.例例3. 3. 从某灯泡厂生产的一批灯泡中随机地抽取从某灯泡厂生产的一批灯泡中随机地抽取1010只只进行寿命测试，得数据如下（单位：进行寿命测试，得数据如下（单位：h h）: :14581458，13951395，15621562，16141614，1351135

13、1，14901490，14781478，13821382，15361536，14961496使用函数型计算器或计算机的使用函数型计算器或计算机的ExcelExcel软件求样本的平软件求样本的平均数均数x x和样本的标准差。和样本的标准差。解：按键解：按键MODE 2 (进入统计计算状态进入统计计算状态)将计算器存储器设置成初始将计算器存储器设置成初始状态状态SHIFTSHIFTSclScl= =1458 1395 1562 1614 1351 1490 1478 1382 1536 1496DTDTDTDTDTDTDTDTDTDT继续按下表按键继续按下表按键按键按键显示结果显示结果1476.2

14、78.7309342SHIFTSHIFTxn=x解解2 2：打开：打开ExcelExcel工作表，在一列输入数据，如将工作表，在一列输入数据，如将1010个数据输入个数据输入A1A1到到A10A10单元格中单元格中. .（1 1）利用求和）利用求和计算它们的和；（计算它们的和；（2 2）用函数）用函数AVERAGE(A1:A10)AVERAGE(A1:A10)求它们的平均数；（求它们的平均数；（3 3）用函数）用函数VARPA(A1:A10)VARPA(A1:A10)求它们的方差；（求它们的方差；（4 4）用开方函数）用开方函数SqrtSqrt( (方差方差) )计算它们的标准差计算它们的标准差. .解解：（：（1 1）计算得）计算得x x甲甲=7=7，x x乙乙=7=7； s s甲甲=1.73=1.73，s s乙乙=1.10.=1.10.（2 2）由（）由（1 1）知，甲、乙两人平均成绩相等，但）知，甲、乙两人平均成绩相等，但s s乙乙ss甲甲，这表，这表明乙的成绩比甲的成绩明乙的成绩比甲的成绩稳定稳定一些，从成绩的稳定性考虑，可一些，从成绩的稳定性考虑，可以选乙参赛。以选乙参赛。（3 3）标准差和频率直方图的关系）标准差和频率直方图的关系 从