单因素实验设计

1、单因素优化实验设计定义 实验中只有一个影响因素，或虽有多个影响因素，在安排实验时，只考虑一个对指标影响最大的因素，其它因素尽量保持不变的实验，即为单因素实验。步骤 确定实验范围 x：实验点 axb 确定目标 根据实际及实验要求，科学安排实验点 例1.某厂在电解工艺技术改革中，希望提高电解率，做了如下初步试验，结果如下： 其中,74度结果较好，但是，74是不是最佳温度？我们可以采用两种方案： 方案一：在74度附近逐点做实验，如：70，71，72，显然太费时间 方案二：根据试验结果呈抛物线特点，可以预先拟合为：电解温度 x657480电解率(%) y94.398.981.5cbxaxy2 应用测定

2、的多组数据，可以拟合出曲线，求得相应的参数 a,b,c，然后由方程求极大值的方法，可以获得对应的温度为70.5，经核实在该温度下电解率达到99.5%，表明优化一次成功单因素优化实验设计方法 单因素试验方法分类 均分法 对分法 黄金分割法（0.618法） 分数法均分法 操作方法 优点 只要把实验放在等分点上，实验点安排简单。n次实验可同时做，节约时间，也可一个接一个做，灵活性强 缺点 实验次数较多，代价较大，不经济x：实验点 axb对分法(中点取点) 操作方法 每次实验点都取在实验范围的中点，即中点取点法 优点 每做一个实验就可去掉试验范围的一半，且取点方便，试验次数大大减小，故效果较好 适用情

3、况 适用于预先已了解所考察因素对指标的影响规律，能从一个试验的结果直接分析出该因素的能从一个试验的结果直接分析出该因素的值是取大了或取小了的情况值是取大了或取小了的情况，即每做一次实验，根据结果就可确定下次实验方向的情况，这无疑使对分法应用受到限制(单调！) 例：称量质量为2060g某种样品时，第一次砝码的质量为40g，如果砝码偏轻，则可判断样品的质量为4060g，于是，第二次砝码的质量为50g，如果砝码又偏轻，则可判断样品的质量为5060g，接下来砝码的质量为55g，如此称下去，直到天平平衡为准2060405055黄金分割法（0.618法） 单峰函数(实验中指标函数) 单峰函数不一定是光滑的

4、，甚至也不一定是连续的，它只要求在定义区间内只有一个“峰” 函数的单峰性使我们可以根据消去法原理逐步地缩小搜索区间，已知其中包括了极小点的区间，称为搜索区间搜索区间 0.618法(黄金分割法)的构思 设指标函数是一个单峰函数，即在某区间内只有一极小点，为最佳实验点f(c)f(d) 以图a看，设区间a，b的长为1，在与点a相距分别为、的点处插入c、d两点，为确定、 的数值，提出如下条件： 条件一条件一：c、d两点在a，b中的位置是对称的，此时，无论删除哪一段，总能保留长度为的区间，即有： 条件二条件二：无论删掉哪一段，例如，删掉(db)，在留下的新区间a，d内，再插入一新点e，使e, f(原区间

5、中的c)在新区间的位置与c, d在原区间a，b中的位置具有相同的比例1或dbac 这样可以保证每一次都以同一的比率缩短区间，达到减少函数的计算次数之目的 从图a, b看，在新区间a，d内，已经包含了算出函数值的f(原区间中的c)。所以在其内只需要再取一个点（而不是两个点）计算函数值，就可以进一步将新区缩短 根据条件二，可以获得如下方程21或abadadacadaf 联列条件一、二的方程可得 0.618法一般步骤 确定实验范围（在一般情况下，通过预实验或其它先验信息，确定了实验范围a，b ） 选实验点（这一点与前述均分、对分法的不同处在于它是按0.618、0.382的特殊位置定点的，一次可得出两

6、个实验点x1, x2的实验结果82.3018.602150122；解得： 根据“留好去坏留好去坏”的原则对实验结果进行比较，留下好点，从坏点处将实验范围去掉，从而缩小了实验范围 在新实验范围内按0.618、0.382的特殊位置再次安排实验点，重复上述过程，直至得到满意结果，找出最佳点 0.618法具体步骤 计算实验点位置 按下列公式计算 设和表示x1、x2两点的实验结果，且值越大，效果越好，分几种情况讨论 (1)若f(x1)f(x2)，即f(x1)比f(x2)好，则根据“留好去坏”的原则，去掉实验范围a，x2部分，在x2，b内继续实验。见图1。)(382. 0)(618. 021abaxaba

7、x 若去掉实验范围的左边区间，则新试验点将安排在新实验范围的0.618的位置上(x3)，另一个试验点在新范围的0.382的位置上(x4) 即除第一次要取二个试点外，以后每次只取一个试点，另一个试验点在已试点上（不做） 同理，比较结果，去点坏点，进一步实验号点（原好点）新点1)(618. 0)(382. 0382. 02()(382. 0)(382. 0)(382. 0)(382. 0382. 0)(382. 0)(382. 0)(618. 0122224223xabaabaabababaababababxxxbxxx (2)若f(x1)f(x2)，即f(x2)比f(x1) 好，则根据“留好去坏

8、”的原则，去掉实验范围x1，b 部分，在a，x1 内继续实验。见图1 若去掉实验范围的右边区间，则新试验点将安排在新实验范围的0.618的位置上(x4)，另一个试验点在新范围的0.382的位置上(x3)（原好点）号点新点2)(382. 0)(618. 0)(618. 0618. 0)(618. 0)(382. 0221413xabaabaaabaaaxaxaxax (3)若f(x2)与f(x1) 效果相同，则去掉两端，在x1，x2 内继续实验。见图1 则有两个新试验点 优点 每次可去掉实验范围的0.382，每次缩小的比例一样（即0.618），除第一次要取二个试点外，以后每次只取一个试点，用起来

9、较方便，可用较少的实验次数迅速找到最佳点 适用条件 指标函数为单峰函数新点新点)(382. 0)(618. 012141213xxxxxxxx 下面通过实例，说明黄金分割法设计实验的具体步骤 例1:目前，合成乙苯主要采用乙烯与苯烷基化的方法。为了因地制宜，对于没有石油乙烯的地区，我们开发了乙醇和苯在分子筛催化下一步合成乙苯的新工艺： 筛选了多种组成的催化剂，其中效果较好的一种催化剂的最佳反应温度，就是用黄金分割法通过实验找出的OHHCHCOHHCHC252565266 初步实验找出，反应温度范围在340420之间。在苯与乙醇的摩尔比为5：1，重量空速为11.25h-1的条件下,苯的转化率XB是

10、: 第一个实验点位置是: (420-340)0.618+340=389.4 取决于390实验结果是:XB=16.5% 第二个实验点的位置是: ( 420-340) 0.382+340=370 实验测得,370下, XB=15.4%34010.98%42015.13% 比较两个实验点的结果,因390的XB大于370的XB,删去340-370一段,在370到420范围内再优选。第三个实验点位置是: (420-370) 0.618+370=400 实验测得400下,XB=17.07% 因400的XB大于390的XB,再删去370-390一段,在390-420范围内再优选。第四个实验点的位置是: (4

11、20-390) 0.618+390=410 在410下测得XB=16.00%,已经小于400的结果。故此,实验的最佳温度确定为400。在此温度下进行反应,获得成功,通过了鉴定分数法(Fibonacci Search) 分数法又称费波那契搜索(Fibonacci Search)，基本思想和0.618法是一致的，主要不同点是主要不同点是：0.618法每次都按同一比例常数同一比例常数0.618来缩短区间，而分数法每次都是按不同的比例不同的比例来缩短区间的，它是按菲波那契数列Fn产生的分数序列为比例来缩短区间的菲波那契数列 13世纪意大利人Fibonacci曾经考虑过这样一串数, 称之为Fibonac

12、ci数列Fn 212110nFFFFFnnn 这个整数序列写出来就是： 1，1，2，3，5，8，13，21，34，（1） 由上述菲波那契整数数列可得：菲波那契搜索法（分数法） 用Fibonacci数列的规律进行区间搜索最优点的方法称之为Fibonacci法) 3(121nnnnFFFF 该数列前后两项之比为分数数列Fn/ Fn+1 Kiefer首先研究利用上述分数数列及其关系式（3）找实验范围内最佳实验点 方法是：在0，1区间内选择 1 ，2两点，令 即按分数序列的规律选择实验点位置，比较结果，然后舍掉不包括最优点的一段，在缩短了搜索范围后继续找点，比较实验结果，当搜索区间小于给定精度值时，整

13、个过程结束）（，2342121131385332211 nnnnFFFF1221 分数法具体作法 分两种情况 所有可能进行的实验总次数m=Fn-1时，即m正好与Fibonacci数列中某数减一相一致时，则前两个实验点分别放在Fn-1和Fn-2位置上 例：在配制某种清洗液时，要优选某材料的加入量P，实验范围2%13%，采用1%为一个实验点，则可能实验总次数为12次，符合m=12131F61 分数法的使用分数法的使用 1.确定等分试验范围的份数：增加或缩减确定等分试验范围的份数：增加或缩减与分母同与分母同2.根据第一批试验的结果，判断极值的存在区间，然根据第一批试验的结果，判断极值的存在区间，然后

14、继续用分数法安排第二批试验。后继续用分数法安排第二批试验。分数分数Fn/Fn+1第一批第一批试验点位置试验点位置等分试验范围等分试验范围份数份数Fn+1试验次数试验次数2/32/3，1/3323/53/5，2/5535/85/8，3/8848/138/13，5/1313513/2113/21，8/2121621/3421/34，13/3434734/5534/55，21/555583）分数法具体作法）分数法具体作法 分两种情况分两种情况4）分数法的特点）分数法的特点 1)具体搜索步骤与前述具体搜索步骤与前述0.618法基本一致，所不同法基本一致，所不同之处仅仅是选的实验点位置是分之处仅仅是选的

15、实验点位置是分数数 ， ，且，且要求预先给出实验总次数要求预先给出实验总次数。 2)在实验点能取在实验点能取整数整数时，或由于某种条件限制只时，或由于某种条件限制只能做几次实验时，或由于某种原因，实验范围由能做几次实验时，或由于某种原因，实验范围由一些一些不连续的不连续的、间隔不等的点间隔不等的点组成或组成或实验点只能实验点只能取某些特定值时取某些特定值时，利用分数法安排实验更为有利、，利用分数法安排实验更为有利、方便。方便。 3)适合于单峰函数。适合于单峰函数。111nnFF21nnFF 通过数学计算可知，经过同样次数的分割通过数学计算可知，经过同样次数的分割 后，后，分数法的缩减速度比分数

16、法的缩减速度比0.618法快法快，当，当N很大时，分数法比很大时，分数法比0.618法法效率高效率高17%，对于这种对于这种两方法而言，大约每分割十次，可提高两位精两方法而言，大约每分割十次，可提高两位精度，度，适用于适用于单峰函数，对于实验范围为间断点单峰函数，对于实验范围为间断点的尤为的尤为适用。适用。单因素优选法作业 1、已知某合成试验的反应温度范围为、已知某合成试验的反应温度范围为340420，通过，通过单因素优选法得到：温度为单因素优选法得到：温度为400时，产品的合成率最高，时，产品的合成率最高，如果使用的是如果使用的是0.618法，问优选过程是如何进行的，共需法，问优选过程是如何

17、进行的，共需做多少次试验。假设在试验范围内合成率是温度的单峰函做多少次试验。假设在试验范围内合成率是温度的单峰函数。数。 2、某厂在制作某饮料时，需要加入白砂糖，为了工人操、某厂在制作某饮料时，需要加入白砂糖，为了工人操作和投料的方便，白砂糖的加入以桶为单位，经初步摸索，作和投料的方便，白砂糖的加入以桶为单位，经初步摸索，加入量在加入量在38桶范围内优选。由于桶数只宜取整数，采用桶范围内优选。由于桶数只宜取整数，采用分数法进行单因素优选，优选结果为分数法进行单因素优选，优选结果为6桶，试问优选过程桶，试问优选过程是如何进行的。假设在试验范围内试验指标是白砂糖桶数是如何进行的。假设在试验范围内试

18、验指标是白砂糖桶数的单峰函数。的单峰函数。 3、要将、要将200mL的某酸性溶液中和到中性（可用的某酸性溶液中和到中性（可用pH试纸判试纸判断），已知需加入断），已知需加入2080mL的某碱溶液，试问使用哪种的某碱溶液，试问使用哪种单因素优选法可以较快的找到最合适的碱液用量单因素优选法可以较快的找到最合适的碱液用量（55mL），并说明优选过程。），并说明优选过程。5.1.6 抛物线法抛物线法 根据已得的三个试验数据，求出过这三点的抛物线的极大根据已得的三个试验数据，求出过这三点的抛物线的极大值，作为下次试验的依据，这种方法称抛物线法。值，作为下次试验的依据，这种方法称抛物线法。收敛速度快收敛速

19、度快, 即试验次数少即试验次数少, 能快速逼近极值点。能快速逼近极值点。具体做法：具体做法：在三个试验点在三个试验点x1 , x2 , x3，且，且x1x2x3，分别得试验值，分别得试验值y1，y2，y3，根据拉格朗日插值法可以得到一个二次函数，是一条抛，根据拉格朗日插值法可以得到一个二次函数，是一条抛物线，在物线，在x4取得最大值：取得最大值： 2222221232313124123231312()()()12()()()y xxyxxy xxxy xxyxxy xx在在x=x4处做试验，结果为处做试验，结果为y4。选取。选取y1，y2，y3，y4中的最大值对中的最大值对应的应的xi , 在

20、在x1 , x2 , x3和和x4中取较靠近中取较靠近xi的左右两点，根据这三的左右两点，根据这三点又可得到一条抛物线方程，如此继续下去，直到找到函数点又可得到一条抛物线方程，如此继续下去，直到找到函数的极大点（或它的充分邻近的一个点）被找到为止。的极大点（或它的充分邻近的一个点）被找到为止。抛物线法具体做法举例抛物线法具体做法举例： 假设某矿物有效成分的浸出率与浸出时间的关系如下图假设某矿物有效成分的浸出率与浸出时间的关系如下图0102030400510152025浸出率 y / %反应时间 x / min浸出率与反应时间的关系1. 用对分法做试验：用对分法做试验： 试验点为试验点为x1、x

21、2、x3，试验值为，试验值为y1、y2、y30102030400510152025x3x2x1浸出率 y / %反应时间 x / min2. 用抛物线法求用抛物线法求x4：由三个试验点为由三个试验点为(x1, y1) 、(x2, y2)、(x3, y3) 作抛物线，作抛物线，并求出该抛物线的极值点试验值并求出该抛物线的极值点试验值x4010203040051015202523.789472.抛物线法求x4x4x3x2x1浸出率 y / %反应时间 x / min3.在在x4做试验，得做试验，得y4010203040051015202523.789473.在x4点做试验x4x3x2x1浸出率 y

22、 / %反应时间 x / min比较比较y1、y2、y3、y4 ，确定极值点在区间，确定极值点在区间 (x1, x4)4. 用抛物线法求用抛物线法求x5由三个试验点为由三个试验点为(x1, y1) 、(x2, y2)、(x4, y4) 作抛物线，作抛物线，并求出该抛物线的极值点试验值并求出该抛物线的极值点试验值x5010203040051015202515.657894.抛物线法由x1,x2,x4求x5x5=x4=23.78x3x2x1浸出率 y / %反应时间 x / min5. 在在x5做试验，得做试验，得y501020304005101520255.在x5点做试验x5=15.66x4=2

23、3.78x3x2x1浸出率 y / %反应时间 x / min比较比较y1、y2、y5、y4 ，确定极值点在区间，确定极值点在区间 (x1, x2)6. 用抛物线法求用抛物线法求x6由三个试验点为由三个试验点为(x1, y1) 、(x5, y5)、(x2, y2) 作抛物线，作抛物线，并求出该抛物线的极值点试验值并求出该抛物线的极值点试验值x601020304005101520256.抛物线法由x1,x5,x2求x6x4=23.78x3x2x1浸出率 y / %反应时间 x / minx5=15.66x6=11.557. 在在x6做试验，得做试验，得y601020304005101520257

24、.在x6点做试验x4=23.78x3x2x1浸出率 y / %反应时间 x / minx5=15.66x6=11.55比较比较y1、y2、y5、y6 ，确定极值点在区间，确定极值点在区间 (x1, x5)8. 用抛物线法求用抛物线法求x7由三个试验点为由三个试验点为(x1, y1) 、 (x6, y6) 、(x5, y5) 作抛物线作抛物线，并求出该抛物线的极值点试验值，并求出该抛物线的极值点试验值x701020304005101520258.抛物线法由x1,x6,x5求x7x4=23.78x3x2x1浸出率 y / %反应时间 x / minx5=15.66x6=11.55x7=9.09.

25、在在x7做试验，得做试验，得y701020304005101520259.在x7点做试验x4=23.78x3x2x1浸出率 y / %反应时间 x / minx5=15.66x6=11.55x7=9.0比较比较y1、y5、y6 、y7 ，确定极值点在区间，确定极值点在区间 (x1, x6)10. 用抛物线法求用抛物线法求x8由三个试验点为由三个试验点为(x1, y1) 、(x7, y7) 、 (x6, y6) 作抛物线作抛物线，并求出该抛物线的极值点试验值，并求出该抛物线的极值点试验值x8010203040051015202510.抛物线法由x1,x7,x6求x8x4=23.78x3x2x1浸

26、出率 y / %反应时间 x / minx5=15.66x6=11.55x8=7.3x7=9.011. 在在x8做试验，得做试验，得y8010203040051015202511.在x8点做试验x4=23.78x3x2x1浸出率 y / %反应时间 x / minx5=15.66x6=11.55x8=7.3x7=9.0比较比较y1、y6 、y7 、y8 ，确定极值点在区间，确定极值点在区间 (x1, x7)5.1.7 分批试验法分批试验法 一批同时做几个试验一批同时做几个试验加速试验速度加速试验速度 均分分批试验法、比例分割分批试验法均分分批试验法、比例分割分批试验法1. 均分分批试验法均分分

27、批试验法每批用均分法做每批用均分法做2n + 1个试验个试验第一批：第一批：用均分法做用均分法做2n个试验个试验（n为任意正整数），比较结果，为任意正整数），比较结果，留下较好点，及其左右一段。留下较好点，及其左右一段。 较好点较好点第二批：第二批：在较好点左右这两段用均分法做在较好点左右这两段用均分法做2n个试验。比较结个试验。比较结果，留下新的较好点，及其左右一段，依次类推。果，留下新的较好点，及其左右一段，依次类推。2. 比例分割分批试验法比例分割分批试验法每批按一定的比例做每批按一定的比例做2n + 1个试验个试验第二步：在第二步：在(2n + 1)个分点上做第一批试验，比较结果，个分

28、点上做第一批试验，比较结果，在好试验点左右留下一长在好试验点左右留下一长(a)和一短和一短(b)两段，使下一两段，使下一批试验的范围变成批试验的范围变成a + b。 ) 115(21nn第一步：把试验范围按比例划分为第一步：把试验范围按比例划分为2n + 2段，其比例为：段，其比例为： 第三步：第三步：把长段把长段a 按上述比例分成按上述比例分成2n + 2段，相邻两段为段，相邻两段为a1，b1（a1b1），），且且a1 = b ，即上一批中短的一段在即上一批中短的一段在下一批变成长段。下一批变成长段。 . 这样不断地做下去，就能找到最佳点。这样不断地做下去，就能找到最佳点。 比例分割分批试验

29、法图解比例分割分批试验法图解第二步：比较结果，留下一长第二步：比较结果，留下一长(a)和一短和一短(b)两段，把长段两段，把长段a 按上述比例分成按上述比例分成2n + 2段段第一步：把试验范围按比例划分为第一步：把试验范围按比例划分为2n + 2段：段： a较好点较好点较好点较好点比例分割法是黄金分割法的推广比例分割法是黄金分割法的推广10510.61820 1 当当n = 0时，即每批作一次试验时时，即每批作一次试验时 试验范围为（试验范围为（0，1）时每批奇数个试验的安排情况见书）时每批奇数个试验的安排情况见书中表中表5-3（P.73） 5.1.8 逐步提高法（爬山法）逐步提高法（爬山法） 加速逼近极值的另一种方法加速逼近极值的另一种方法 “两头小，中间大两头小，中间大” ：1.开始，小步试探，找出有利于寻找目标的方向开始，小步试探，找出有利于寻找目标