数学物理方法-ch3_无穷级数

1、1 1第三章第三章 无穷级数无穷级数2说 明u吴崇试，数学物理方法第四章3讲授要点复数级数 复数级数，收敛与发散 绝对收敛级数函数级数 函数级数的收敛性 函数级数的一致收敛性 含参量反常积分的解析性幂级数 阿贝耳定理 收敛圆与收敛半径 4无穷级数u无穷级数，特别是幂级数，是解析函数的最重要的表达形式之一u许多初等函数和特殊函数都是用幂级数定义的u复变函数级数理论和实变函数的比较；概念和方法的异同5无穷级数的收敛与发散如果级数的部分和nnuuuuS210所构成的序列Sn收敛，则称级数 收敛，序列Sn的极限 ，称为级数 的和0nnu0nnunnSS lim0limnnnnSu否则，级数 是发散的0

2、nnu复数级数0210nnnuuuuu6令un=n+in，则部分和序列)()()()(221100nnniiiiS)()(210210nni复数级数 的收敛性完全等价于实数级数 和 的收敛性一个复数级数 完全等价于两个实数级数 和nunnnunn000nnnnnniu7n绝对收敛： 若 组成的级数收敛， 则称该级数绝对收敛。 绝对收敛 收敛0nnz？8任给 ，必有存在正整数n,正整数p，有0npnSS 发散 发散 收敛 收敛u收敛判别法nnba 0nna0nnb则1.基本法则Cauchy判据2.特殊法则比较判别法由基本法则可知，若对充分大的n有9P具体比较判别法0 ,rrznnrzznnn 1

3、rznnn r1时级数发散；r=1时不一定。n根式判别法（Cauchy判别法）n比值判别法（dAlembert判别法）n与标准级数比较，如几何级数10u级数的代数运算BAbabakkkkkkk000加减法：两收敛级数的和与差级数仍收敛，且Aakk0Bbkk0若 ，11乘法：两绝对收敛级数的乘积绝对收敛，且其和与乘积项的排列次序无关BAbabakllklkkk0000k lb0b1b2 a0a0b0a0b1a0b2a1a1b0a1b1a1b2a2a2b0a2b1a2b2 n012 00000 ,nnkknknnlklkkllkbababanlk12除法是乘法的逆运算 k lb0b1b2 a0a0

4、b0a0b1a0b2a1a1b0a1b1a1b2a2a2b0a2b1a2b2 n-1010, ,0lkbalk nnnknkknnlklkkllkbababanlk ,0013u复变函数项级数收敛性：若复变函数项级数在某个区域D内所有点处收敛，则称该级数在D内收敛。 zwzwzwzwnkk21014Nn DzzSzSn ,D15u特殊判别法：正实常数项收敛级数 有 则 在 D 上一致收敛。0kka Dzazwkk zwkk0D16u一致收敛级数性质：连续性：在有限（开）区域D内 连续，在D内任意闭区域上 一致收敛，则和函数 在D内连续。 zwk zwk zwzSk17u一致收敛级数性质：积分性

5、质：c为分段光滑曲线，在c上 连续，且在c上级数一致收敛，则和 在c上连续，且可沿c逐项积分，即 00dddkckckkczzwzzwzzS zwk zS18u一致收敛级数性质：微商性质：在有限（开）区域D内 解析，在D内任意闭区域上 一致收敛，则其和在D内解析且可逐项微商任意多次，即 knknnnzzwzzSdddd zwk zwk19u幂级数定义：主要研究整数幂级数，特别是非负整数幂级数； 称为以a为中心的幂级数。 0nnnazazS20u收敛特性：以a为中心的幂级数在某个圆 内收敛且绝对收敛在 上绝对一致收敛在圆外 发散 收敛圆 收敛半径a收敛发散RrRazrazRaz21uAbel定理

6、：幂级数 在某点 收敛 它在 上收敛且绝对收敛 它在 上绝对一致收敛0nnnaza0zzRazaz0azrraz0 aRr0z22证：（利用比较判别法） 级数 在 内收敛。 Razaz000nnazaznnnnnnazazMazazazaaza00000nnnazaMazann0收敛aRr0z23nnnnazrMazazMaza00azrraz0 aRr0z24u推论：若幂级数在某点 处发散，则它在 处发散。1zz azaz1aR1z25u收敛半径的求法（比值或根式判别法）u幂级数运算性质： 幂级数在收敛圆内其和是解析函数，且可任意次逐项积分、逐项微商。LR11limlim11azLazaaazaannnnnnLannnlim1limnnnaaR26例1：求