第二章 单自由度系统的振动11_第1页
第二章 单自由度系统的振动11_第2页
第二章 单自由度系统的振动11_第3页
第二章 单自由度系统的振动11_第4页
第二章 单自由度系统的振动11_第5页
已阅读5页,还剩16页未读 继续免费阅读

下载本文档

版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领

文档简介

1、第二章 单自由度系统的振动2.1单自由度系统的无阻尼自由振动( )( )0m y tky t 自由振动:是指体系在没有外来干扰作用下所发生的振动。它是有初始位移或初始速度或两者共同作用下引起的振动。一、自由振动的解1、无阻尼自由振动方程这是个常系数线性齐次微分方程令 代入(2-1)方程得:km2( )( )0y ty t(2-1)(2-2)2、自由振动方程的解12( )sincosy tCtCt方程(2-2)的通解由数学知识可知为:(2-3)C1、C2为待定系数,可由初始条件确定。设t=0时的初始位移 ,初速度 代入(2-3)0(0)yy0(0)yy可求得: , 于是20Cy1yC00( )s

2、incosyy ttyt( )sin()y tAt 0220yAy001yytg(2-4)即:(2-5)式中:为单自由度体系振动幅值;为单自由度体系振动的初相位角。由解的表达式可知,该解为简谐振动。二、单自由度系统的动力特性1)周期T:振动一次所需的时间,由解答可知 单位为秒(s)2T2)频率f:每秒钟内振动的次数, 单位为赫兹(Hz)1fT2T3)圆频率 : 秒钟内振动的次数, 21stgggkmmm gWy(2-6)其中 -柔度系数(单位力作用下相应的位移) k 刚度系数(单位位移作用下所需加的力) g 重力加速度 重力 重力引起的位移styWycym1sF2sFyy12312yy2ssE

3、IkFFhyyy( )mckP t624.5 10mEIN12312=2EIkkkh1228.284/kkkrad smm4.5022fHzIfmy dfcy EIl483 ( ( )dIyP tff( ( )yP tmycy3148kEImmmlucum EIh243 1Mu( ( )yP tmycyIfmy dfcy 348lEI ()Pymycy3)(11768ltPEIP Ifmy dfcy efky ( )mycykyP t2.2 单自由度系统的有阻尼自由振动一、有阻尼自由振动的解( )( )( )0m y tc y tky t1、有阻尼自由振动方程km2( )2( )( )0y t

4、y ty t令 阻尼比 代入(2-7)方程得:这是个常系数线性齐次微分方程(2-7)2cm(2-8)2、自由振动方程的解由数学知识方程的解可设为 代入(2-8)可得特征方程( )rty tBe2220rr解此方程得:21,21r 3、讨论于是001=DyyC20C =y这时,由于阻尼过大,系统的运动为按指数规律衰减的非周期蠕动。1)临界阻尼情况( 或 )=1=2mc00( )=e(1)ty tyty t(2-9)该系统不发生振动,=1称为临界阻尼比2)强阻尼情况( 或 )12mc通解:1,20r此时12( )=etDDy tC shtC cht(2-10)式中2=1D 利用初始条件得:利用初始

5、条件得:12( )=(C +C t)ety t通解:此时1,2=-r200C =+yy10=yC3)低阻尼或弱阻尼情况( 或 )12mc1,2r此时是两个复数根, 通解:12( )=esincostDDy tCtCt利用初始条件得:000( )=esincosesintDDDtDyyy ttytAt(2-11)式中22000=DyyAy 000=Dytgyy2=1D特性:这时的自由振动为衰减振动。振幅为Aet周期为:2T =DD设nA为nt时的振幅,1nAnDtT为时的振幅,则()1=nDnDtTntTnAeAeAeA为常数, 故振幅按等比级数递减。3)低阻尼或弱阻尼情况( 或 )12mc是两

6、个复数根,是两个复数根,实际结构表明一般钢筋混凝土杆系结构阻尼比为0.05,最大的阻尼比0.2(堆石坝),这时2=10.96DDy因此,工程结构动力计算中常不计阻尼对自振圆频率的影响,取阻尼比:拱坝0.030.05,重力坝0.050.1,土坝0.10.2二、阻尼的量测对相邻幅值比取自然对数,称为对数递减率 即:222ln1DTyDDeT222yy由此得:(2-13)为获得更高精度的 可量测相隔m个周期的两个幅值比,这时阻尼比为:222yym(2-14)221yDmmT 其中:考虑到实际阻尼一般均小于0.2,可取11ln22ynnAA211则(2-13)和(2-14)可以简化为:或1ln22yn

7、n mAmmA(2-16)(2-15)例2-5 结构参数如例1,若使m产生侧移25mm,然后突然放开,刚架产生自由振动,振动5周后测得的侧移为7.12mm,试求1)考虑阻尼时的自振频率,2)阻尼比和阻尼系数,3)振动10周后的振幅。解:由y0=25mm和y0+5Td=7.12mm,求阻尼比和阻尼系数。00 51125lnln0.04210107.12dyTymy考虑阻尼影响的自振频率和工程频率22 5000 28.284 0.04 11313.6/Cmkg s 22128.28410.0428.281/drads214.498dffHz显然与 非常接近。f由2dmn mnyey取n=0,m=5

8、,10 有:2 550dyey 2 10100dyey 两式相除:2 51055000/dyyyeyyy 22510007.122.02825yyymmy2.3单自由度系统简谐荷载作用下的受迫振动一、无阻尼受迫振动1、无阻尼受迫振动方程的解( )( )sinmy tky tFt设动力荷载为简谐荷载则无阻尼受迫振动运动方程为:2( )( )sinFy ty ttm即:12( )sincosy tCtCt其解由齐次解与特解组成。设特解为:*( )siny tDt代入方程得22()FDm22*( )sin()Fyttm再由初始条件可确定齐次解中的C1、C2002222( )sincossinsiny

9、FFy ttytttmm222221( )sin=sin(1)FFy tttmm 前三项频率都为自由振动的频率,后一项频率为荷载频率当考虑阻尼时,前三项的自由振动将会很快衰减掉,之后系统只按干扰力频率受迫振动。2、动力系数 对于纯受迫振动2112kmmkm( )sinsinstFy ttytkmaxmax/ststyy oryy设又则故 振幅(振动的最大值)这里sty为动力荷载振幅值作用于质体所产生的静位移称为动力系数也称振幅放大系数。讨论:1)2)11maxstyy则 为正( )y t 与F(t)方向一致11maxstyy它相当于静荷载作用10( )y t 与F(t)方向相反 为负 0max

10、0y只在平衡位置作微小的振动maxy 共振3)=1 例:图示无重简支梁,跨中有重为m的质点,动力荷载为 作用,若 及 试求在荷载F(t)作用下,质体的最大动力位移。( )=sinF tFt1348=0.8EIml2348=1.2EImlL/4L/2L/21F(t)EI2解:用图乘法求柔度系数,311=48lEI31211=768lEI该梁的自振频率311148=EImml按叠加原理列质点的运动方程:1112=()( )ym yF t即:21211( )0.6875sinF tFyytmm于是:222(0.6875)sin/(1)Fytm12当荷载按3max=0.0398FlyEI3max=0.

11、0326FlyEI振动时当荷载按振动时例:图示简支梁,其上安装有一台质量为m=2000Kg的发动机,转动时的离心力P=1960N,设梁为22b号工字型钢, 试验算当发动机转数为400到500r/min时,应增大还是降低梁的惯性矩43570cmI 42=2.058 10/EN m =120PaI25a号工字型钢工字型钢 22b号工字型钢工字型钢45023.54cmI 42500cmI 3w250cmPsin ta=2mb=3m解:梁的自振频率:=stgy2211118232000 9.8 4 933 2.058 103570 1050.0064( )stymgmgEIlm 9.8=39.1/strad sy当12400=400 / min41.9/60rrad s时22500=500 / min52.4/60rrad s自振频率与1相当接近,放大系数241.939.11=6.741 () 20b号工字型钢工字型钢梁上最大应力0max1=()108.

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

评论

0/150

提交评论