最大公约数和最小公倍数的求法和应用1

1、 复习 第九讲 第三章 整数的性质（2）主要内容：主要内容：3.2 3.2 公约数和公倍数公约数和公倍数3.2.1 3.2.1 最大公约数最大公约数3.2.2 3.2.2 最小公倍数最小公倍数3.3 3.3 数的分解数的分解3.3.1 3.3.1 质数与合数质数与合数3.3.2 3.3.2 分解质因数分解质因数 第九讲 第三章 整数的性质（2） 3.2 3.2 公约数和公倍数公约数和公倍数 本节内容是在整除的基础上研究整数的一些基本性质，本节内容是在整除的基础上研究整数的一些基本性质，主要包括约数、倍数及其相关概念和性质主要包括约数、倍数及其相关概念和性质. . 3.2.1 3.2.1 最大公

2、约数及其性质最大公约数及其性质 1.1.最大公约数的概念最大公约数的概念 (1)(1)公约数：几个自然数的公有约数，叫做这几个数的公公约数：几个自然数的公有约数，叫做这几个数的公约数约数. . 由约数的定义知一个自然数的约数集合是有限集由约数的定义知一个自然数的约数集合是有限集. . (2)(2)最大公约数最大公约数: :几个自然数公约数集合几个自然数公约数集合aa1 1, a, a2 2,., a,., an n 中最大的一个叫做这几个自然数的最大公约数中最大的一个叫做这几个自然数的最大公约数. .记作（记作（a a1 1, , a a2 2,., a,., an n ）. . 例如（例如（

3、16,2416,24）=8=8；（；（35,4935,49）=7.(9,15)=3=7.(9,15)=3互质数：如果两个数的最大公约数是互质数：如果两个数的最大公约数是1 1，那么这两个数是互质数，那么这两个数是互质数. .即对于两个自然数即对于两个自然数m,n,m,n,如果（如果（m,nm,n）=1,=1,那么那么m m与与n n互质互质.(7,2)=1.(7,2)=1例如例如 (2,3)=1, 2 (2,3)=1, 2与与3 3互质互质, ,或者说或者说2 2与与3 3是互质数；是互质数； (1,2)=1, 1 (1,2)=1, 1与与2 2互质；互质； (11,18)=1, 11 (11

4、,18)=1, 11与与1818互质互质. . 3.2.2 3.2.2 最小公倍数最小公倍数 1.1.最小公倍数的概念最小公倍数的概念 (1)(1)公倍数：几个自然数公有的倍数，叫做这几个数的公公倍数：几个自然数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数倍数. . 由倍数的定义知一个自然数的倍数集合是无限集由倍数的定义知一个自然数的倍数集合是无限集. . (2)(2)最小公倍数最小公倍数: :几个自然数公倍数集合几个自然数公倍数集合aa1 1, a, a2 2,., a,., an n 中，除中，除0 0以外最小的一个公倍数叫做这几个自然数的最小以外最小的一个公倍数叫做这几个自然数的最小公倍数公倍数.

5、.记作记作aa1 1, a, a2 2,., a,., an n .(.(数学上常用方括号表示数学上常用方括号表示).). 例如例如36,24=7236,24=72；4,8,14=56. 4,8,14=56. 再如再如1212，1818，20=18020=180，即，即1212、1818和和2020的最小公倍数的最小公倍数. .3.3 3.3 数的分解数的分解 数的分解是建立在因数基础上的数的分解是建立在因数基础上的. .3.3.1 3.3.1 质数与合数质数与合数 质数与合数的出现是古希腊人为寻求制约数的最微小的元素而产质数与合数的出现是古希腊人为寻求制约数的最微小的元素而产生的生的. .他

6、们的产生，导致了自然数的一个分类：自然数包括质数、合他们的产生，导致了自然数的一个分类：自然数包括质数、合数和数和1.1.定义定义 除了除了1和本身，再没有其他因数的数称为质数，也成为素数和本身，再没有其他因数的数称为质数，也成为素数.例如例如 2, 3, 5, 11，13等等.定义定义 除了除了1和本身，还有其他因数的数称为合数和本身，还有其他因数的数称为合数.例如例如 4, 6，121，等，等 由定义知由定义知 1既不是质数，也不是合数既不是质数，也不是合数. 3.3.2 3.3.2 分解质因数分解质因数 1.1.分解质因数的概念分解质因数的概念 （1 1）质因数的定义：如果一个数既是数）

7、质因数的定义：如果一个数既是数a a的质数又是的质数又是a a的的因数，则称这个数是数因数，则称这个数是数a a的质因数的质因数. . （2 2）分解质因数的概念：把一个数表示成质因数乘积的）分解质因数的概念：把一个数表示成质因数乘积的形式，叫做分解质因数形式，叫做分解质因数. . 例如例如 54=254=23 33 3；35=535=57 7； 720=2720=24 43 33 35.5. 特别地，把一个质数分解质因数就是用这个质数表示特别地，把一个质数分解质因数就是用这个质数表示. . 例如例如 7=77=7 （3 3）质数的判别方法）质数的判别方法方法方法1 1 查表法查表法; ; 把

8、把10001000以内的质数列出表，需要时查表即可以内的质数列出表，需要时查表即可. .方法方法2 2 试除法试除法 如果没有质数表，可以用试除法给出如果没有质数表，可以用试除法给出. .即用质数去试除即用质数去试除, ,能用数的能用数的整除性特征判断直接用数的整除性特征判断整除性特征判断直接用数的整除性特征判断. .例例 判断判断197197是不是质数是不是质数. .解：可以用解：可以用2 2、3 3、5 5、7 7、11.11.等质数去试除（能用数的整除特征直等质数去试除（能用数的整除特征直接判断的就不必试除）接判断的就不必试除）. . 用数的整除特征直接可以判断用数的整除特征直接可以判断

9、197197不能被不能被2 2、3 3、5 5、7 7、1111、13.13.整除；整除； 由于由于1313下一个质数是下一个质数是1717，而，而19719717=1117=11（余（余1010），所以），所以197197也不也不能被能被1717整除整除. . 由于用由于用1717去除所得的商去除所得的商比比1717小，小，所以就可以断定所以就可以断定197197不能被比不能被比1717大的整数整除大的整数整除. . 这是因为如果有比这是因为如果有比1717大的质数整除大的质数整除197197，那么所得到的比，那么所得到的比1717小的小的商也能整除商也能整除197197（第八讲定理第八讲定

10、理4 4），），可是这已经经过试除和判断，证明可是这已经经过试除和判断，证明是不可能的是不可能的. . 因此不必再继续试除，就可以断定因此不必再继续试除，就可以断定197197是质数是质数. .思考与训练思考与训练 判断判断139139是不是质数是不是质数. . 2.2.分解质因数的标准分解式分解质因数的标准分解式定理定理4 4 任何一个大于任何一个大于1 1的整数都可以分解质因数的整数都可以分解质因数. .例如例如 35=535=57 7；27=327=32 2 ；108=2108=22 23 32 2 =3=32 22 22 2 =3 =33 32 22 2 ，但是，但是108=2108=

11、22 23 32 2 是标准分解式是标准分解式. .定理定理5 5 一个大于一个大于1 1的整数的整数, ,如果不论质因数的次序，那么分解质因数的如果不论质因数的次序，那么分解质因数的结果是唯一的结果是唯一的. .（这个定理叫做算数基本定理）（这个定理叫做算数基本定理） 12121242(1,2,. . . , ). . . , (1,2,. . . , ). . .7202 2 2 2 3 3 5235.720235.niniaaanNp inppp a inNp pp=创创创=创1 1+如果 是大于的整数，是质数，并且N那么的质因数有四个，二个 和一个 下面说法中正确的是（下面说法中正确的

12、是（ A ） A.在ab=q.r中，若da,db,则dr.B.在ab=q.r中，若db,dr,则dq.C.在ab=q.r中，若da,dr,则dq.D.在ab=q.r中，若da,db,则dq. 第十讲 第三章 整数的性质（3）主要内容：主要内容：3.4 3.4 最大公约数和最小公倍数的求法最大公约数和最小公倍数的求法3.3.1 3.3.1 最大公约数的求法最大公约数的求法3.3.2 3.3.2 最小公倍数的求法最小公倍数的求法 3.5 3.5 最大公约数和最小公倍数的应用最大公约数和最小公倍数的应用 教学目标： 1.1.加深对公约数、公倍数的相关概念及其性质的理解；加深对公约数、公倍数的相关概念

13、及其性质的理解； 2.2.理解求最大公约数和最小公倍数的算理理解求最大公约数和最小公倍数的算理; ; 3.3.理解用最大公约数和最小公倍数解应用题的算理理解用最大公约数和最小公倍数解应用题的算理. . 3.4 3.4 最大公约数和最小公倍数的求法最大公约数和最小公倍数的求法 3.3.1 3.3.1 最大公约数的求法最大公约数的求法 1.1.用分解质因数的方法求最大公约数用分解质因数的方法求最大公约数 定理定理1 1一个大于一的整数一个大于一的整数b b整除另一个自然数整除另一个自然数a a的充要条件的充要条件是是:b:b的每一个质因数都是的每一个质因数都是a a的质因数；并且的质因数；并且b

14、b里任何一个相里任何一个相同的质因数的个数，都不超过同的质因数的个数，都不超过a a里该质因数的个数里该质因数的个数. . 例如例如 a=12600=2a=12600=23 33 32 25 52 27 7 b=60=2 b=60=22 23 35 5 这里这里b b是符合能整除是符合能整除a a的充要条件的，且的充要条件的，且a ab b的商的商q q是是 q=(2q=(23 33 32 25 52 27)7)(2(22 23 35)5) =2 =22 23 35 5(2(23 35 57)7)(2(22 23 35)5) = 2 = 23 35 57 7这个定理给出了求几个数最大公约数的方

15、法：这个定理给出了求几个数最大公约数的方法： 把几个数分别分解质因数，再把几个数共有的一切质因数连乘起把几个数分别分解质因数，再把几个数共有的一切质因数连乘起来，即可得到最大公约数来，即可得到最大公约数.例例1 1 求求2828和和4242的最大公约数的最大公约数. .分析：法分析：法1 1 先分解质因数，然后把所有的公因数乘起来先分解质因数，然后把所有的公因数乘起来 法法2 2 先用短除形式分解质因数，直到两个商是互质数为止，然先用短除形式分解质因数，直到两个商是互质数为止，然后把所有的除数乘起来后把所有的除数乘起来解解: 法法128=228=22 27 7 ;42=2 ;42=23 37.

16、 .7. . （28 , 4228 , 42）=2=27=14.7=14. 法法2 2 2 28 42 2 28 42 7 14 21 7 14 21 2 3 2 3例例2 2 求求27002700、75607560、39603960的最大公约数的最大公约数. .解：法解：法12700=212700=22 23 33 35 52 2 ; ; 7560=2 7560=23 33 33 35 57 7 ; ; 3960=2 3960=23 33 32 25 511. 11. （2700, 7560, 3960 2700, 7560, 3960 ）=2=22 23 32 25=180.5=180.法

17、法2 2 利用短除法利用短除法分析：先用短除形式分解质因数，直到两个商是互质分析：先用短除形式分解质因数，直到两个商是互质数为止，然后把所有的除数乘起来数为止，然后把所有的除数乘起来2 2700 7560 3960 21350 3780 1980 3 675 1890 990 3225 630 330 5 75 210 110 15 42 22 例例1 1 求求27002700、75607560、39603960的最大公约数的最大公约数. .分析：此题还可以在看出有较大公约数时先用这个公约数去除分析：此题还可以在看出有较大公约数时先用这个公约数去除解：（解：（2700 7560 3960270

18、0 7560 3960 ）=10=109 92=22=22 23 32 25=1805=18010 2700 7560 3960 9 270 756 396 2 30 84 44 15 42 22 定理定理2 2 如果第一个数能被第二个数整除，那么这两个数的最大公约数如果第一个数能被第二个数整除，那么这两个数的最大公约数就是第二个数就是第二个数. .如果如果 ba,ba,那么（那么（a,ba,b）=b.=b.例如例如 （3 3，2121）=3=3；（；（11,12111,121）=11=11；（；（1515，7575）=15.=15. 3.3.2 3.3.2 最小公倍数的求法最小公倍数的求法

19、1.1.用分解质因数法求最小公倍数用分解质因数法求最小公倍数 因为几个数的任何一个公倍数都能被这几个数整除，因为几个数的任何一个公倍数都能被这几个数整除，所以根据定理所以根据定理1 1，在这几个公倍数里应该含有每一个数里，在这几个公倍数里应该含有每一个数里所有的质因数，并且每一个质因数的个数不能少于原来几所有的质因数，并且每一个质因数的个数不能少于原来几个数里所含该质因数的最多个数个数里所含该质因数的最多个数. . 例例1 1 求求96,3096,30和和132132的最小公倍数的最小公倍数 解解: : 96=296=25 53 3 ; ; 30=2 30=23 35;5; 132=2 132

20、=22 23 311;11; 在在96,3096,30和和132132的任何一个不为的任何一个不为0 0的公倍数里，至少含有五的公倍数里，至少含有五个质因数个质因数2 2，一个质因数，一个质因数3 3，一个质因数，一个质因数5 5，一个质因数，一个质因数11.11. 96,30,132=296,30,132=25 53 35 511=5280.11=5280. 思考与训练：求思考与训练：求48,1548,15和和6666的最小公倍数的最小公倍数. .例例2 2 求求2828和和4242的最小公倍数的最小公倍数. .分析：先用短除形式分解质因数，直到两个商是互质数为止，然后把分析：先用短除形式分

21、解质因数，直到两个商是互质数为止，然后把所有的除数和商乘起来所有的除数和商乘起来 解：解：28,4228,42=2=27 72 23=843=84 2 28 42 714 21 2 3例例3 3 求求27002700、75607560、39603960的最小公倍数的最小公倍数. .解：解：2700 7560 39602700 7560 3960 =10=109 92 22 22 23 35 57 71111 =2 =24 43 33 35 57 711=5544011=554401015155 2700 7560 3960 9 270 756 396 2 30 84 44 2 42 22 2

22、21 11 3 7 11 2.2.利用最大公约数求最小公倍数利用最大公约数求最小公倍数根据最小公倍数性质根据最小公倍数性质2 2，a,b (a,b)=ab,a,b (a,b)=ab,可得可得a,b=ab a,b=ab (a,b). (a,b).如例如例1 1 求求28和和42的最小公倍数的最小公倍数.28,42=2828,42=2842 42 14=84. 14=84.例例4 4 求求105,42 105,42 解：解：（105,42105,42）=21=21 105,42=105 105,42=105424221=210.21=210.特殊情况下，如果特殊情况下，如果a a是是b b的倍数，

23、那么的倍数，那么a,ba,b的最小公倍数就等于的最小公倍数就等于a.a.即即 如果如果ba.ba.因为（因为（a,ba,b）=b,=b,所以所以a,b=aba,b=ab(a,b)=a. (a,b)=a. 例例5 5 求求51,17.51,17.解：解：1751 1751 51,17=51. 51,17=51. 小结：小结：求两个数的最大公约数与求两个数的最小公倍数的相同点和不同点求两个数的最大公约数与求两个数的最小公倍数的相同点和不同点. 两个数的最大公约数两个数的最大公约数是它们的公约数中最大的是它们的公约数中最大的，它必须，它必须包含两包含两个数全部公有的质因数个数全部公有的质因数所有除数

24、正好是两个数全部公有的质因数，所有除数正好是两个数全部公有的质因数，所以，求最大公约数就要把所有除数乘起来所以，求最大公约数就要把所有除数乘起来 而求最小公倍数而求最小公倍数既要包含两个数全部公有的质因数，又要包含既要包含两个数全部公有的质因数，又要包含各自独有的质因数各自独有的质因数两个数的商分别是它们独有的质因数所以求两两个数的商分别是它们独有的质因数所以求两个数的最小公倍数要把所有的除数和商乘起来个数的最小公倍数要把所有的除数和商乘起来 思考与训练思考与训练 1.1.用分解质因数的方法，求下列各组数的最大公用分解质因数的方法，求下列各组数的最大公约数约数. . (1)64,72;(2)1

25、12,124,420.(1)64,72;(2)112,124,420. 2.2.用分解质因数的方法，求下列各组数的最小公用分解质因数的方法，求下列各组数的最小公倍数倍数. . (1)48,64;(2)36,40,44.(1)48,64;(2)36,40,44. 3.3.用最大公约数求最小公倍数用最大公约数求最小公倍数 (1)185,338;(2)46,240.(1)185,338;(2)46,240.3.5 最大公约数和最小公倍数的应用最大公约数和最小公倍数的应用例例1 1 某班学生自制教具，把长某班学生自制教具，把长144144厘米、宽厘米、宽4848厘米、厚厘米、厚3232厘米的长方厘米的

26、长方体木料，锯成尽可能大的同样大小的正方体木块，求这样的正方体木体木料，锯成尽可能大的同样大小的正方体木块，求这样的正方体木块的棱长和块数（锯完之后原木料没有剩余）块的棱长和块数（锯完之后原木料没有剩余）. .分析：由题意可知，所求正方体棱长应该能整除分析：由题意可知，所求正方体棱长应该能整除144,48,32144,48,32，所以它，所以它应该是木料的长、宽、高的公约数应该是木料的长、宽、高的公约数. .由于要锯成的同样大小的正方体由于要锯成的同样大小的正方体要尽可能大，故所求正方体的棱长就应是木料长、宽、厚的最大公约要尽可能大，故所求正方体的棱长就应是木料长、宽、厚的最大公约数数. .

27、求得木料的长、宽、厚各锯成的份数厚，就可以求出锯成的块数求得木料的长、宽、厚各锯成的份数厚，就可以求出锯成的块数. .解：正方体木块的每条棱长是（解：正方体木块的每条棱长是（144,48,32144,48,32）=16=16（厘米）（厘米）. .木料的长所锯成的份数是木料的长所锯成的份数是 14414416=916=9，木料的宽所锯成的份数是木料的宽所锯成的份数是 484816=316=3，木料的厚所锯成的份数是木料的厚所锯成的份数是 323216=216=2，锯成正方体的块数是锯成正方体的块数是9 93 32=542=54（块）（块）. .答：正方体木块的棱长是答：正方体木块的棱长是1616

28、厘米，可以锯成厘米，可以锯成5454块块. .例例2 2 一对啮合齿轮，一个有一对啮合齿轮，一个有2121个齿，另一个有个齿，另一个有3030个齿，其中某一对指个齿，其中某一对指定的齿，从第一次相遇到第二次相遇，每个齿轮要转多少周？定的齿，从第一次相遇到第二次相遇，每个齿轮要转多少周？分析：因为大小齿轮上该对指定的齿从第一次接触到下次接触，两齿分析：因为大小齿轮上该对指定的齿从第一次接触到下次接触，两齿轮转过的齿数相同，所以转过的相同齿数的倍数，也就是两轮齿数的轮转过的齿数相同，所以转过的相同齿数的倍数，也就是两轮齿数的最小公倍数最小公倍数. .求出两个齿轮各转过的齿数后，就可以求出两个齿轮各

29、求出两个齿轮各转过的齿数后，就可以求出两个齿轮各转多少周转多少周. .解：两个齿轮的某一对指定的齿从第一次接触到下次接触，两齿轮转解：两个齿轮的某一对指定的齿从第一次接触到下次接触，两齿轮转过的齿数是过的齿数是21,30=210(21,30=210(齿齿).). 小齿轮转的周数是小齿轮转的周数是 21021021=1021=10（周），（周）， 大齿轮转的周数是大齿轮转的周数是 21021030=730=7（周），（周）， 答：小齿轮、大齿轮分别转答：小齿轮、大齿轮分别转1010周和周和7 7周周. .例例3 3 某班学生人数在某班学生人数在4040与与5050之间，如果每之间，如果每8 8人

30、分成一个小组，那么最人分成一个小组，那么最后一个小组只有后一个小组只有5 5人；如果每人；如果每1212人分成一个小组，那么有一个小组少人分成一个小组，那么有一个小组少3 3人，求这班学生人数人，求这班学生人数. . 分析：如果学生增加分析：如果学生增加3 3人，那么每人，那么每8 8人一个小组和每人一个小组和每1212人一个小组人一个小组都恰好分完，因此学生人数加上都恰好分完，因此学生人数加上3 3以后（新的人数在以后（新的人数在4343与与5353之间），之间），应该既是应该既是8 8的倍数又是的倍数又是1212的倍数的倍数. . 先求出先求出8 8和和1212的最小公倍数，再求出在的最小

31、公倍数，再求出在4343与与5353之间之间8 8和和1212的公倍数，的公倍数，然后可以求出学生数然后可以求出学生数. . 解：解：8,12=24,8,12=24, 在在4343与与5353之间之间8 8和和1212的公倍数是的公倍数是: : 24 242=48,2=48, 48-3=45( 48-3=45(人人).). 答：学生是答：学生是4545人人. .例例4 4 公路上一排电线杆，共公路上一排电线杆，共2525根。每相邻两根间的距离原来都是根。每相邻两根间的距离原来都是4545米，米，现在要改成现在要改成6060米，可以有几根不需要移动？米，可以有几根不需要移动？ 分析：不需要移动的

32、电线杆，一定既是分析：不需要移动的电线杆，一定既是4545的倍数又是的倍数又是6060的倍数。的倍数。要先求要先求4545和和6060的最小公倍数和这条公路的全长，再求可以有几根不需的最小公倍数和这条公路的全长，再求可以有几根不需要移动要移动. . 解：（解：（1 1）从第一根起至少相隔多少米，一根电线杆不需移动？）从第一根起至少相隔多少米，一根电线杆不需移动？ 4545、6060180180 （2 2）全路长多少米？）全路长多少米？ 45 45（25-125-1）1080(1080(米米) ) （3 3）可以有几根不需要移动？）可以有几根不需要移动？ 1080 1080180+1180+17

33、(7(根根) ) 答：可以有答：可以有7 7根不需要移动根不需要移动例例5 5 一个数除一个数除193193余余4 4，除，除10891089余余9 9。这个数最大是多少？。这个数最大是多少？分析：这个数除（分析：这个数除（193-4193-4），没有余数，这个数除（），没有余数，这个数除（1089-91089-9）没有余）没有余数。这个数一定是（数。这个数一定是（193-4193-4）和（）和（1089-91089-9）的公约数。要求这个数最）的公约数。要求这个数最大，那么一定是这两个数的最大公约数。大，那么一定是这两个数的最大公约数。 解解 193-4 193-4189189， 1089-

34、9 1089-910801080， （189189，10801080）27.27. 答：这个数最大是答：这个数最大是27.27.思考与训练思考与训练1.1.一个数除以一个数除以3636和和4848都余都余5 5，求这个数（要最小的一个），求这个数（要最小的一个）. .分析：这个数与分析：这个数与5 5的和能被的和能被3636整除，也能被整除，也能被4848整除。这个数与整除。这个数与5 5的和一的和一定是定是3636和和4848的公倍数。依题意这个数一定是这两个数的最小公倍数与的公倍数。依题意这个数一定是这两个数的最小公倍数与5 5的和。的和。解：由于解：由于36,48=144,36,48=1

35、44,故所求的数为故所求的数为144+5=149144+5=149思考与训练思考与训练1.1.一个数除以一个数除以3636和和4848都余都余5 5，求这个数（要最小的一个），求这个数（要最小的一个）. .2.2.某班学生不到某班学生不到5050人，每人，每1212人站一行或者每人站一行或者每1616人站一行都正好是整行人站一行都正好是整行, ,这班学生有多少人？这班学生有多少人？. .3.a,b3.a,b两个数的最大公约数是两个数的最大公约数是1515，最小公倍数是，最小公倍数是180180，求，求ab.ab.4.4.已知两个数的积是已知两个数的积是57665766，它们的最大公约数是，它们

36、的最大公约数是3131，求这两个数，求这两个数. .5.5.有三根铁丝，一根长有三根铁丝，一根长1818米，一根长米，一根长2424米，一根长米，一根长3030米。现在要把它米。现在要把它们截成同样长的段每段最长可以有几米？一共可以截成多少段？们截成同样长的段每段最长可以有几米？一共可以截成多少段？6.6.用用9696朵红玫瑰花和朵红玫瑰花和7272朵白玫瑰花做花束。如每个花束里的红玫瑰花朵白玫瑰花做花束。如每个花束里的红玫瑰花的朵数相同，白玫瑰花的朵数也相同，最多可以做多少个花束？每个的朵数相同，白玫瑰花的朵数也相同，最多可以做多少个花束？每个花束里至少要有几朵花？花束里至少要有几朵花？7.7.公共汽车站有三路