极限的四则运算与复合运算

1、 第一章 二、二、 极限的四则运算法则极限的四则运算法则 三、三、 复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则 一一 、无穷小运算法则、无穷小运算法则 第六节机动 目录 上页 下页 返回 结束 极限运算法则时, 有,min21一、一、 无穷小运算法则无穷小运算法则定理定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小 .证证: 考虑两个无穷小的和 . 设,0lim0 xx,0lim0 xx,0,01当100 xx时 , 有2, 02当200 xx时 , 有2取则当00 xx22因此.0)(lim0 xx这说明当0 xx 时,为无穷小量 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明: 无限个无限个无穷小之

2、和不一定不一定是无穷小 !例如，例如，机动 目录 上页 下页 返回 结束 类似可证: 有限个有限个无穷小之和仍为无穷小 . 21321lim2222nnnnnn定理定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 证证: 设, ),(10 xxMu 又设,0lim0 xx即,0,02当),(20 xx时, 有M取,min21则当),(0 xx时 , 就有uuMM故,0lim0uxx即u是0 xx 时的无穷小 .推论推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 .推论推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 局部有界整体有界 oyx例例1. 求.sinlimxxx

3、解解: 1sinx01limxx利用定理 2 可知.0sinlimxxxxxysin说明说明 : y = 0 是xxysin的渐近线 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、二、 极限的四则运算法则极限的四则运算法则,)(lim,)(limBxgAxf则有)()(limxgxf)(lim)(limxgxf证证: 因,)(lim,)(limBxgAxf则有BxgAxf)(,)(其中,为无穷小) 于是)()()()(BAxgxf)()(BA由定理 1 可知也是无穷小,再利用极限与无穷小BA的关系定理 , 知定理结论成立 .定理定理 3 . 若机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五节定理第五节定

4、理1说明说明: 定理 3 可推广到有限个函数相加、减的情形 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如：例如：).(lim)(lim)(lim)()(lim)(lim)()()(lim)()()(limxhxgxfxhxgxfxhxgxfxhxgxf定理定理 4 . 若,)(lim,)(limBxgAxf则有)()(limxgxf)(lim)(limxgxf提示提示: 利用极限与无穷小关系定理及本节定理2 证明 .说明说明: 定理 4 可推广到有限个函数相乘的情形 .推论推论 1 .)(lim)(limxfCxfC( C 为常数 )推论推论 2 .nnxfxf )(lim)(lim( n 为正

5、整数 )例例2. 设 n 次多项式,)(10nnnxaxaaxP试证).()(lim00 xPxPnnxx证证:)(lim0 xPnxx0axaxx0lim1nxxnxa0lim)(0 xPnBA机动 目录 上页 下页 返回 结束 为无穷小(详见详见P59)B2B1)(1xg)(0 xx定理定理 5 . 若,)(lim,)(limBxgAxf且 B0 , 则有)()(limxgxf)(lim)(limxgxf证证: 因,)(lim,)(limBxgAxf有,)(,)(BxgAxf其中,设BAxgxf)()(BABA)(1BB)(AB无穷小有界BA因此由极限与无穷小关系定理 , 得BAxgxf)

6、()(lim)(lim)(limxgxfBAxgxf)()(为无穷小,机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理6 . 若,lim,limByAxnnnn则有)(lim) 1 (nnnyx nnnyxlim)2(,00)3(时且当BynBAyxnnnlimBABA提示提示: 因为数列是一种特殊的函数 , 故此定理 可由定理3 , 4 , 5 直接得出结论 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理7: 若,)(lim,)(limBxgAxf且),()(xgxf则.BA x = 3 时分母为 0 !31lim3xxx例例3. 设有分式函数,)()()(xQxPxR其中)(, )(xQxP都

7、是多项式 ,0)(0 xQ试证: . )()(lim00 xRxRxx证证: )(lim0 xRxx)(lim)(lim00 xQxPxxxx)()(00 xQxP)(0 xR说明说明: 若,0)(0 xQ不能直接用商的运算法则 .例例4.934lim223xxxx)3)(3() 1)(3(lim3xxxxx6231 若机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5 . 求.4532lim21xxxx解解: x = 1 时3245lim21xxxx0312415124532lim21xxxx分母 = 0 , 分子0 ,但因机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6 . 求.125934lim22x

8、xxxx解解: x时,分子.22111125934limxxxxx分子分母同除以,2x则54分母“ 抓大头抓大头”原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 一般有如下结果：一般有如下结果：为非负常数 )nmba,0(00mn 当( 如如P61 例例5 )( 如如P62 例例6 )( 如如P62 例例7 )mmmxaxaxa110limnnnbxbxb110,00ba,0,机动 目录 上页 下页 返回 结束 mn 当mn 当三、三、 复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则定理定理8. 设,)(lim0axxx且 x 满足100 xx时,)(ax 又,)(limAufau则有 )(lim0 x

9、fxxAufau)(lim证证: Aufau)(lim,0,0当au0时, 有 Auf)(axxx)(lim0,0,02当200 xx时, 有ax)(对上述取,min21则当00 xx时ax )(au 故0Axf)(Auf)(,因此式成立.机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理8. 设,)(lim0axxx且 x 满足100 xx时,)(ax 又,)(limAufau则有 )(lim0 xfxxAufau)(lim 说明说明: 若定理中若定理中,)(lim0 xxx则类似可得 )(lim0 xfxxAufu)(lim机动 目录 上页 下页 返回 结束 .)(lim)(lim,)(limA

10、ufxfxuxx可得也可改为还可考虑其它情形。还可考虑其它情形。例例7. 求求解解: 令.93lim23xxx932xxu已知ux3lim61 原式 =uu61lim6166( 第第4节例节例4 )机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例8 . 求求解解: 方法方法 1.11lim1xxx,xu 则, 1lim1ux令11112uuxx1 u 原式) 1(lim1uu2方法方法 211lim1xxx1) 1)(1(lim1xxxx) 1(lim1xx2机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 极限运算法则(1) 无穷小运算法则(2) 极限四则运算法则(3) 复合函数极限运算法则

11、注意使用条件2. 求函数极限的方法(1) 分式函数极限求法0) 1xx 时, 用代入法( 分母不为 0 )0)2xx 时, 对00型 , 约去公因子x)3时 , 分子分母同除最高次幂 “ 抓大头”(2) 复合函数极限求法设中间变量Th1Th2Th3Th4Th5Th7机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考及练习思考及练习1.,)(lim,)(lim不存在存在若xgxf)()(limxgxf是否存在 ? 为什么 ?答答: 不存在 . 否则由)()()()(xfxgxfxg利用极限四则运算法则可知)(limxg存在 , 与已知条件矛盾.问机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 求. )1(lim2xxxx解法解法 1 原式 =xxxx1lim21111lim2xx21解法解法 2 令,1xt tttt1111lim2021则原式 =22011limttt111lim20tt 0t机动 目录 上页 下页 返回 结束 4. 试确定常数 使032032030320303030310.lim0 xxxxxxxxxxxxxxxx时，证明：证明.0)1(lim33xaxx解解 : 令,1xt 则tatt33011lim001atatt3301lim0