人教版高中数学选修2-2第6讲：合情推理与演绎推理(教师版)

1、合情推理与演绎推理叁趣味引1 .推理根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断,这种思维方式叫做推理.推理一般分为合情推理与演绎推理两类.2 .合情推理归纳推理类比推理定义由某类事物的部分对象具有某些特由两类对象具有某些类似特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理位和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理特点由部分到整体、由个别到一般的推理由特殊到特殊的推理步骤(1)通过观察个别情况发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确的一般性命题(猜想)(1)找出两类事物之间相似性或一致性；(2)用一类事物的性质去推测另一类

2、事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)3 .演绎推理(1)定义：从一般件的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演绎推理;(2)特点：演绎推理是由一般到特殊的推理;(3)模式：三段论.“三段论”是演绎推理的一般模式，包括:“三段论”的结构大前提一一已知的一般原理；小前提一一所研究的特殊情况；结论知据一般原理，对特殊情况做出的判断.“三段论”的表小大前提M是P.小前提一一S是M.结论一一S是P.题型一归纳推理1例1设f(x)=xx1刈，x1%x2厂,先分别求f(0)+f(1),f(-1)+f(2),f(-2)+f(3),然后归纳猜想一般性结论,3+,3并给出证明.思维启迪解题的关

3、键是由f(x)计算各式，利用归纳推理得出结论并证明.11解f(0)+f(1)=口+中,331+.33+,33+，33+33+33+3+3xx2x1x2V3(3+3计2X3V3(3+3+273)+3+2/33+3+2；33=一x1一x2x1一x2一一3同理可得：f(-1)+f(2)=3,3f(2)+f(3)=W3,并注意到在这三个特殊式子中，自变量之和均等于1.3归纳猜想得：当X+X2=1时,均为f(X1)+f(x2)=乎.3证明：设x1+x2=1,1.1f(x1)+f(x2)=+x1cx2c3+33+3x1,-,/2,二x1,/2,c不3+.3+3+33+3+2-：.-3思维升华(1)归纳是依

4、据特殊现象推断出一般现象，因而由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围.(2)归纳的前提是特殊的情况，所以归纳是立足于观察、经验或试验的基础之上的(3)归纳推理所得结论未必正确，有待进一步证明，但对数学结论和科学的发现很有用.跟踪训练1(1)观察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49照此规律，第五个等式应为.(2)已知f(n)=1+1+；+N*),经计算得f(4)2,f(8)5，f(16)3,f(32)7,则有.231122答案(1)5+6+7+8+9+10+11+12+13=81nn+2*(2)f(2)(n2,nCN)解析(1)由于1=12,2+

5、3+4=9=32,3+4+5+6+7=25=52,4+5+6+7+8+9+10=49=72,所以第五个等式为5+6+7+8+9+10+11+12+13=92=81.(2)由题意得f(22)|,f(23)|,f(24)|,f(25)7,n2所以当n2时，有f(2n)-2-.故填f(2n)n；2(nR2,nCN).题型二类比推理例2已知数列an为等差数列，若am=a,an=b(n-m1,m,nCN*),则am+n=nna类比等差数列an的上述结论，对于等比数列bn(bn0,nCN*),若bm=c,bn=d(n-m2,m,nN*),则可以得到bm+n=.思维启迪等差数列an和等比数列bn类比时，等差

6、数列的公差对应等比数列的公比，等差数列的加减法运算对应等比数列的乘除法运算，等差数列的乘除法运算对应等比数列中的乘方开方运算.答案nbmanm解析设数列an的公差为d,数列bn的公比为q.因为an=a+(n1)d,bn=b1qn1,am+n所以类比得%+n思维升华(1)进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比，提出猜想其中找到合适的类比对象是解题的关键(2)类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等(3)在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比，且要注意以下两点：找两类对象的

7、对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积等等；找对应元素的对应关系，如：两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等跟踪训球2(1)给出下列三个类比结论：(ab)n=anbn与(a+b)n类比，则有(a+b)n=an+bn;loga(xy)=logax+logay与sin(3)类比,则有sin(a+9=sinosin3;(a+b)2=a?+2ab+b与(a+b)2类比,则有(a+b)2=a?+2ab+b?.其中结论正确的个数是()A.0B.1C.2D.3(2)把一个直角三角形以两直角边为邻边补成一个矩形，则矩形的对角线长即为直角三角形外接圆a2+b2直径，以此可求

8、得外接圆半径r=、一(其中a,b为直角三角形两直角边长).类比此方法可得三条侧棱长分别为a,b,c且两两垂直的三棱锥的外接球半径R=.Ja2+b2+c2答案(1)B(2)2解析错误，正确.(2)由平面类比到空间，把矩形类比为长方体，从而得出外接球半径题型三演绎推理例3已知函数f(x)=二个百(a0,且aw1).(1)证明：函数y=f(x)的图象关于点(1,-2)对称；(2)求f(2)+f(1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)的值.思维启迪证明本题依据的大前提是中心对称的定义，函数y=f(x)的图象上的任一点关于对称中心的对称点仍在图象上.小前提是f(x)=彳港本缶。且aw1)的图象关于

9、点(,-)对称.证明函数f(x)的定义域为全体实数，任取一点(x,v),，11匕关于点(于一)对称的点白坐标为(1-x,-1-y).由已知得y=“一一、电_aVaaxaxf(1-x)=-a1Ma-彖+7fa+VaaX-1-y=f(1-x),即函数y=f(x)的图象关于点成-2)对称.(2)解由(1)知一1f(x)=f(1x),即f(x)+f(1x)=1.f(-2)+f(3)=-1,f(-1)+f(2)=-1,f(0)+f(1)=1.则f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=-3.思维升华演绎推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式为三段论，演绎推理的前提和结论之间有着某

10、种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提，一般地，若大前提不明确时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提.跟踪训练3已知函数y=f(x),满足：对任意a,bCR,awb,都有af(a)+bf(b)af(b)+bf(a),试证明：f(x)为R上的单调增函数.证明设x1，x2R,取x1x1f(x2)+x2f(x1),x1f(x1)f(x2)+x2f(x2)f(x1)0,f(xf(x1)(x22)0,:x10,f(x2)f(x1).所以y=f(x)为R上的单调增函数.高频小考点7高考中的合情推理问题典例：(1)(5分)(2013湖北)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数nn+11

11、2.11,3,6,10,，第n个三角形数为n+2%记第n个k边形数为N(n,k)(k3),以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数N(n,3)=12+2n,正方形数N(n,4)=n2,五边形数N(n,5)=|n2-n,六边形数N(n,6)=2n2n可以推测N(n,k)的表达式，由此计算N(10,24)=.思维启迪从已知的部分k边形数观察一般规律写出N(n,k),然后求N(10,24).k2c4-k解析由N(n,4)=n2,N(n,6)=2n2-n,可以推测：当k为偶数时，N(n,k)=2-孑+一2-n,X1024-24-24N(10,24)=2X100+2=1100100=1000.

12、答案100022(2)(5分)若P0(X0,Y0)在椭圆x2+y2=1(ab0)外，过P0作椭圆的两条切线的切点为P1,P2,则切ab2点弦P1P2所在的直线方程是X0x+*=1,那么对于双曲线则有如下命题：若P0(X0,y0)在双曲线X相加，得1X2+2X3+-+n(n+1)=n(n+1)(n+2).类比上述方法，请你计算“1X2X3+2X3X4+n(n+1)(n+2)”，其结果为思维启迪根据两个数积的和规律猜想，可以利用前几个式子验证22=1(a0,b0)外，过P0作双曲线的两条切线，切点为P1,P2,则切点弦P1P2所在直线的方程是.思维启迪直接类比可得.解析设P1(x1,y1)，P2(

13、x2,y2),则P1,P2的切线方程分别是登1,燮等=1.abab因为P0(x0,y)在这两条切线上,X1X0y1V0故有I-廿=1,abX2X02y0A，这说明P1(X1,y1)，P2(X2,y2)在直线管詈=1上，ab故切点弦P1P2所在的直线方程是学yy=1.答案蹩一季=1ab(3)(5分)在计算“1X2+2X3+n(n+1)”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k项:k(k+1)=1k(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1),由此得31X2=(1X2X3-0X1X2),32X3=1(2X3X41X2X3),1n(n+1)=n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1).31解析类

14、比已知条件得k(k+1)(k+2)=4k(k+1)(k+2)(k+3)-(k-1)k(k+1)(k+2),1由此得1X2X3=4(1X2X3X40X1X2X3),2X3X4=(2X3X4X5-1X2X3X4),1.13X4X5=4(3X4X5X62X3X4X5),1n(n+1)(n+2)=4n(n+1)(n+2)(n+3)-(n-1)n(n+1)(n+2).以上几个式子相加得：1x2X3+2X3X4+-+n(n+1)(n+2)=4n(n+1)(n+2)(n+3).1答案4n(n+1)(n+2)(n+3)年当堂检测)1 .判断下面结论是否正确(请在括号中打或X”)(1)归纳推理得到的结论不一定正

15、确，类比推理得到的结论一定正确(X)(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理(，)(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适.(x)(4) “所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的.(，)(5)一个数列的前三项是1,2,3,那么这个数列的通项公式是an=n(nCN+).(X)(6) =2噂3Pl=3册=4成,=6馅a,山匀为实数)，则可以推测a=35,b=6.(V)2 .数列2,5,11,20,x,47,中的x等于()A.28B.32C.33D.27答案B解析5-2=3,11-5=6,

16、20-11=9,推出x20=12,所以x=32.3 .观察下列各式：55=3125,56=15625,57=78125,，则52011的后四位数字为()A.3125B.5625C.0625D.8125答案D解析55=3125,56=15625,57=78125,58=390625,59=1953125,可得59与55的后四位数字相同，由此可归纳出5m+4k与5m(kCN*,m=5,6,7,8)的后四位数字相同，又2011=4X501+7,所以52011与57后四位数字相同为8125,故选D.4 .(2013陕西)观察下列等式12=112-22=-312-22+32=612-22+32-42=-

17、10照此规律，第n个等式可为.答案1222+3242+(-1)n+1n2=(-1)n+1叩21)解析观察等式左边的式子，每次增加一项，故第n个等式左边有n项，指数都是2,且正、负相间，所以等式左边的通项为(一1)=2.等式右边的值的符号也是正、负相间，其绝对值分别为1,3,6,10,15,21,.设此数列为an,则a2a1=2,a3a2=3,a4a3=4,a5a4=5,，anan1=n,各式相加得ana=2+3+4+n,即an=1+2+3+n=nn尸)所以第n个等式为1222+3242+(1)n+1n2=(_1)n+1n(n：1.5.设等差数列an的前n项和为Sn,则S4,4S4,S12-S8

18、,S16S12成等差数列.类比以上结论有设等比数列bn的前n项积为Tn,则丁4,F成等比数列.I12较案逾上T4T8解析对于等比数列，通过类比，有等比数列bn的前n项积为Tn,则T4=a1a2a3a4,T8=a1a2a8，T12=a1a2a12，T16=a1a2a16,T8_t_T_内叫ta5a6a7a8,丁a9a10a11a12,丁a13a14a15a16,T4T8T12而T4,詈詈的公比为q16,I4I8I12因此丁4,?，产成等比数列.T4T8T12基础巩固A组专项基础训练(时间：40分钟)一、选择题1 .(2012江西)观察下列各式：a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b

19、4=7,a5+b5=11,，则a10+b10等于()A.28B.76C.123D.199答案C解析观察规律，归纳推理.从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a10+b10=123.2 .定义一种运算“*”：对于自然数n满足以下运算性质：(1)1*1=1,(2)(n+1)*1=n*1+1,贝Un*1等于()2A.nB.n+1C.n1D.n答案A解析由(n+1)*1=n*1+1,得n*1=(n-1)*1+1=(n-2)*1+2=1*1+(n-1).又1*1=1,n*1=n3.下列推理是归纳推理的是()A.A,B为定点，动

20、点P满足|PA|+|PB|=2a|AB|,则P点的轨迹为椭圆B.由a=1,an=3n-1,求出S1，S3,猜想出数列的前n项和Sn的表达式C.由圆x2+y2=r2的面积2,猜想出椭圆x2+y2=1的面积S=babD.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇答案B解析从S1,S2,S3猜想出数列的前n项和Sn,是从特殊到一般的推理，所以B是归纳推理，故应选B.4.已知ABC中，/A=30,ZB=60,求证：ab.证明：/A=30,/B=60,，/A/B.a|OOOOe|OOOOO|OOOOOOe|，则前n组两种圈的总数是f(n)=2+3+4+(n+1)=*n29(易知f(14)=119,f(15)=135

21、,故n=14.7 .若函数限)=/仅0),且甘3=3=上,当nCN*且n2时,fn(x)=ffn1(x)，则f3(x)=,x+2x+2猜想fn(x)(nCN*)的表达式为.答案7xt82n-1xx+2nx解析f1(x)=力，fn(x)=ffn1(x)(n2),xI2xxx+2x-f2(x)=f(x+2)=x+2:3x+4.x+2xx3x+4xf3(x)=ff2(x)=f(；)=二；.LVn、3x+4，x+27x+83x+4由所求等式知，分子都是x,分母中常数项为2n,x的系数比常数项少1,为2n1,x故fn(x)=(2n-1X+2n.8.在平面几彳S中，ABC的内角平分线CE分AB所成线段的比

22、为普=黑，把这个结论类比到空间:EBBCACDB且与AB相交于点巳则类比在三锥A-BCD中(如图所示)，平面DEC平分二面角得到的结论是答案解析易知点E到平面BCD与平面ACD的距离相等,BESbcd一=EASaacdVe-BCDBESaBCD故=.VeACDEA&ACD三、解答题9.已知等差数列an的公差d=2,首项a1=5.(1)求数列an的前n项和Sn；(2)设Tn=n(2an5),求Si,S2,S3,S4,S5；Ti,T2,T3,T4,T5,并归纳出Sn与Tn的大小规律.10.在RtABC中，ABXAC,ADBC于D,求证:AD2=AB2+AC2,那么在四面体ABCD中，类解(1)由于

23、ai=5,d=2,nn1Sn=5n+I2k2=n(n+4).H比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由解如图所示，由射影定理AD(2)/Tn=n(2an5)=n2(2n+3)5=4n+n.T1=5,T2=4X22+2=18,T3=4X32+3=39,T4=4X42+4=68,T5=4X52+5=105.Si=5,S2=2X(2+4)=12,S3=3X(3+4)=21,S4=4X(4+4)=32,&=5X(5+4)=45.由此可知当n2时，Sn2,nCN时，&0?ab”类比推出“若a,bCC,贝Ua-b0?ab”.其中类比结论正确的个数是（）A.0B.1C.2D.3答案C解析正确，错误.因为两

24、个复数如果不全是实数，不能比较大小2 .设是R的一个运算，A是R的非空子集.若对于任意a,bCA,有abCA,则称A对运算封闭.下列数集对加法、减法、乘法和除法（除数不等于零）四则运算都封闭的是（）A.自然数集B.整数集C.有理数集D.无理数集答案C解析A错：因为自然数集对减法、除法不封闭；B错：因为整数集对除法不封闭；C对：因为任意两个有理数的和、差、积、商都是有理数，故有理数集对加、减、乘、除法（除数不等于零）四则运算都封闭；D错：因为无理数集对加、减、乘、除法都不封闭3.平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为答案n2+n+22解析1条直线将平面分成1+1个区域；2条直线最多可将平面分成1+(1+2)=4个区域；3条直线最多可将平面分成1+(1+2+3)=7个区域;、/nn+1n2+n+2+n)=1+工2一忆2个区域.,n条直线最多可将平面分成1+(1+2+3n+24.数列an的刖n项和记为Sn,已知a1=1,an+1=-、一$(nCN).证明:数列3是等比数列；(2)Sn+1=4an.n+2证明(1)-an+1=Sn+1Sn,an+1=n-Sn,(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn),即nSn+1=2(n+1)Sn.故*