ARCH和GARCH模型解析

1、.1现代金融研究专题现代金融研究专题GARCH模型模型.21、金融时间序列的特点、金融时间序列的特点 尖峰厚尾（尖峰厚尾（Leptokurtosis）：金融回报序列普遍表现出）：金融回报序列普遍表现出厚尾（厚尾（fat tails）和在均值处出现过度的峰度（）和在均值处出现过度的峰度（excess peakedness），），偏离正态分布。偏离正态分布。 就投资回报率而言，其分布的峰度比标准正态分布的峰度就投资回报率而言，其分布的峰度比标准正态分布的峰度高。这表明股票投资比其它行为对更多的人而言具有同向高。这表明股票投资比其它行为对更多的人而言具有同向影响，即市场具有收益时更多的人会有收益，市

2、场亏损时，影响，即市场具有收益时更多的人会有收益，市场亏损时，更多的人会亏损，暴发户和暴跌户为少数。更多的人会亏损，暴发户和暴跌户为少数。 厚尾意味着其波动持续时间较长。厚尾意味着其波动持续时间较长。 波动丛集性（波动丛集性（volatility clustering）和波动集中性）和波动集中性（ volatility pooling），波动是自相关的），波动是自相关的 正负冲击的非对称性：好消息和坏消息对投资者的影响正负冲击的非对称性：好消息和坏消息对投资者的影响 以上的这些特点，传统计量经济学的线性回归模型是无法以上的这些特点，传统计量经济学的线性回归模型是无法解决的。回归的结果可能是错误

3、的解决的。回归的结果可能是错误的.32210)var(), 0(tttttuNuuxy.41、金融时间序列的特点、金融时间序列的特点 实证结果表明：金融资产的回报率并不完全满足正实证结果表明：金融资产的回报率并不完全满足正态分布态分布对深市对深市2000.1.42006.5.9日回报率样本偏度是日回报率样本偏度是0.75，峰，峰度是度是8.91。 由于大多数的金融资产具有明显的重尾性，可以采由于大多数的金融资产具有明显的重尾性，可以采用两种方法进行改进用两种方法进行改进条件分布：条件分布：ARCH和和GARCH寻找其他分布形式来描述，主要有寻找其他分布形式来描述，主要有t分布，分布，GED分布

4、和分布和g&h分布分布050100150200250300350-0.05-0.000.05Series: R_SZZSSample 1 1520Observations 1519Mean 5.60e-05Median 0.000143Maximum 0.094014Minimum -0.065430Std. Dev. 0.013451Skewness 0.751425Kurtosis 8.916269Jarque-Bera 2358.298Probability 0.000000峰度峰度K=8.91，大于标准峰值，大于标准峰值3，具有尖峰特征，具有尖峰特征，偏度偏度S= 0.750，

5、 具有右厚尾的特征具有右厚尾的特征 。 注：注： 1、偏度（、偏度（Skemness)反映的是序列分布密度对称性的指标。反映的是序列分布密度对称性的指标。 若偏度大于若偏度大于0，则分布是右偏或正偏。反之，则分布是右偏或正偏。反之,若偏度小于若偏度小于0，称分，称分布是左偏或负偏。它一般是由序列的三阶矩计算布是左偏或负偏。它一般是由序列的三阶矩计算niXtXnitXXXXXXnnXXXEXS12133)(11,.,)()(的平均值和标准差分别为和其中.6峰度（峰度（Kurtosis)是用来测定序列分布的形状，一般以正态分布的峰是用来测定序列分布的形状，一般以正态分布的峰度（度（=3）为标准，若

6、峰度大于）为标准，若峰度大于3，则表示该分布具有尖峰厚尾的特性；，则表示该分布具有尖峰厚尾的特性；反之，若峰度小于反之，若峰度小于3，则表示该分布具有低峰薄尾的特征。若峰度值，则表示该分布具有低峰薄尾的特征。若峰度值较大，是由于存在大幅度偏离均值的异常值所造成的。峰度由序列较大，是由于存在大幅度偏离均值的异常值所造成的。峰度由序列的四阶矩来度量：的四阶矩来度量：.,)()(44的平均值和标准差分别为和其中XXEXKXXXX一般服从正态分布时偏度值一般服从正态分布时偏度值K应有应有KN(0 ,6/ n) ,在本次检验中在本次检验中95 %置信置信度时的置信区间应为度时的置信区间应为( - 0.0

7、077 , 0.0077) ,0.0077=1.96*6/1520,因此因此0.7514不在此区间内，故不服从正态分布。另外，如果样本数据完全不在此区间内，故不服从正态分布。另外，如果样本数据完全服从标准正态分布时服从标准正态分布时,峰度值峰度值K应有应有KN(3 ,24/ n) ,在本次检验中在本次检验中95 %置置信度时的置信区间为信度时的置信区间为(3 0.031 ,3 +0.031)=(2.969,3.031) ,其中其中0.031 = 1.96 24/ 1520。而该样本的峰度值是。而该样本的峰度值是8.916 ,不在置信区间内不在置信区间内,因此不服因此不服从正态分布。从正态分布。

8、050100150200250300350-0.05-0.000.05Series: R_SZZSSample 1 1520Observations 1519Mean 5.60e-05Median 0.000143Maximum 0.094014Minimum -0.065430Std. Dev. 0.013451Skewness 0.751425Kurtosis 8.916269Jarque-Bera 2358.298Probability 0.000000.7金融系列波动的丛集性特征。金融系列波动的丛集性特征。-.10-.05.00.05.10250500750100012501500R_

9、99_9703 如图所示，为上证指数对数日收益率时间序列图，如图所示，为上证指数对数日收益率时间序列图，从图中直观可见，收益率存在着丛集性效应从图中直观可见，收益率存在着丛集性效应(即一次即一次大的波动后往往伴随着大的波动，一次小的波动后大的波动后往往伴随着大的波动，一次小的波动后往往伴随着小的波动往往伴随着小的波动)。.82 ARCH模型模型 ARCH，autoregressive conditionally heteroscedastic，自回归条件异方差模型，自回归条件异方差模型条件：在时间序列中，给出不同的时点的样本（对于不同时条件：在时间序列中，给出不同的时点的样本（对于不同时点的观

10、测值），得到残差的方差是不同的，故方差随时间给点的观测值），得到残差的方差是不同的，故方差随时间给出的条件而变化，即出的条件而变化，即异方差。异方差。自回归：残差平方服从自回归：残差平方服从AR(p)过程过程:ut=0+1ut-1+2ut-2+t 若线性回归模型的误差实际上是异方差，却被假定为同若线性回归模型的误差实际上是异方差，却被假定为同方差，这就意味着标准误差的估计值是错误的。方差，这就意味着标准误差的估计值是错误的。 此时，参数的估计量的方差是有偏估计（或者不收敛，此时，参数的估计量的方差是有偏估计（或者不收敛，是时变的），统计检验和置性区间就不正确！是时变的），统计检验和置性区间就不

11、正确！.9201011122221222222212222,(0,),0()var( )var()var() (0,),var()var( )var()()tttttttttttttttttttttttttttttttybb xu uiidNbx yx b xuxubbxxxxuxubxxxif uNxuxubxxx.10 普通最小二乘估计（普通最小二乘估计（OSL）：回归直线要使得残差）：回归直线要使得残差平方和最小。平方和最小。 异方差存在时，普通最小二乘估计法给误差方差大异方差存在时，普通最小二乘估计法给误差方差大的观测值以较大的权重，给误差方差小的观测值以的观测值以较大的权重，给误差方

12、差小的观测值以较小的权重。较小的权重。 回归结果：使得残差平方和最小，故产生一个后果，回归结果：使得残差平方和最小，故产生一个后果，只要方差大的那部分数据得到很好的拟合，这样普只要方差大的那部分数据得到很好的拟合，这样普通最小二乘不再是有效的通最小二乘不再是有效的参数估计量的方差不参数估计量的方差不再是最小的方差。再是最小的方差。 这样由这样由OSL估计得到的参数估计量的方差是估计得到的参数估计量的方差是“伪方伪方差差”，无法证明回归参数与真实值的关系。，无法证明回归参数与真实值的关系。.11单指数模型的伪回归：中国银行单指数模型的伪回归：中国银行.12单指数模型的伪回归：中国银行单指数模型的

13、伪回归：中国银行048121620242832-0.050.000.05Series: ResidualsSample 2 132Observations 131Mean -1.06e-19Median -0.001192Maximum 0.084688Minimum -0.073893Std. Dev. 0.015912Skewness 1.104984Kurtosis 12.85942Jarque-Bera 557.2528Probability 0.000000.132.1 条件矩条件矩 条件均值条件均值对于时间序列对于时间序列x的每个值都存在一个时间序列的每个值都存在一个时间序列y的条

14、件分的条件分布布|( | )( , )|,( | )( | )( )y xyy xxyyfy x dyf x yE Y Xf y xyfy xfx 理解：条件期望是关于随机变量理解：条件期望是关于随机变量X的值的函数，的值的函数，对于对于X不同的取值，条件期望也是不同，即不同的取值，条件期望也是不同，即E(y|x)为随机变量。为随机变量。.140120101,(0,),(|)ttttttttttttttybb xyyu uiidNybb xu x yX YE yxbb x所谓条件期望值函数，所谓条件期望值函数，也就是因变量对自变量的回也就是因变量对自变量的回归归。在本例中，也就是。在本例中，也

15、就是y对对x的回归条件均值是的回归条件均值是x的函的函数，若数，若X是一个分布，则条件均值也是一个分布。是一个分布，则条件均值也是一个分布。回归与条件均值回归与条件均值.152.2 ARCH模型的导出模型的导出01 1,22,2,.( )0,()0,ttttttybb xb xuE utE u ut注意：注意：ut是一个白噪声，其无条件方差是一个常数。是一个白噪声，其无条件方差是一个常数。但是但是ut的条件方差随时间而变化，假设的条件方差随时间而变化，假设 服从服从AR(1)过程（模型的名称来源）过程（模型的名称来源）22011tttuuw2tu.16正态正态-ARCH（q）201 1,22,

16、222201122,.,(0,),.,tttttttttqt qybb xb xu uNuuu22201122(0,),.,tttttqt quNhhuuu或者或者222201122,(0,1),.,tttttttqt quvvNuuu.17随机过程的平稳性随机过程的平稳性 平稳性：若随机过程的随机特征（如均值，平稳性：若随机过程的随机特征（如均值，方差）不随时间发生变化，则称该过程是平方差）不随时间发生变化，则称该过程是平稳。稳。区别：条件方差是时变的，故其为一个分布，但区别：条件方差是时变的，故其为一个分布，但是该分布却是平稳的，即平稳随机过程的随机性是该分布却是平稳的，即平稳随机过程的随

17、机性质不随时间而变。质不随时间而变。 平稳性的优点：（平稳性的优点：（1）可用系数方程将时间序）可用系数方程将时间序列的模型化；（列的模型化；（2）方程的系数可以利用序列）方程的系数可以利用序列的过去数据来估计得到的过去数据来估计得到.182.3 ARCH（1）模型的参数约束）模型的参数约束 由残差序列的平稳性可知由残差序列的平稳性可知110110120110( )()0,var( )var(),(0,1)var( )var() var( ) var( )0101,0ttttttttttttE uE uuuuvvNuuuu 这里由此可得.19ARCH的参数的约束的参数的约束 残差序列残差序列u

18、t的无条件峰度的无条件峰度K2201042 221112211213(1)()(1)(1 3)111 33,(0)1 33mk该该ARCH模型估计的残差序列的无条件分布具有尖模型估计的残差序列的无条件分布具有尖峰厚尾特性，进一步峰厚尾特性，进一步.20ARCH与厚尾性与厚尾性 参看均值方程的情形，若假设某资产的回报率满足参看均值方程的情形，若假设某资产的回报率满足01tttrbb xu 由于均值方程中只有残差是随机过程，则有由于均值方程中只有残差是随机过程，则有442 22 2( )()3var( ) var() ttttm rm ukru以上表明，利用以上表明，利用ARCH可以描述回报序列的

19、厚尾可以描述回报序列的厚尾性！性！.21实证：中石化实证：中石化ARCH（1）2110.20,1/3.22ARCH的缺陷的缺陷 ARCH模型对参数的限制非常严格。模型对参数的限制非常严格。ARCH（1）对）对于参数给出的非常严格的限制，并且随着于参数给出的非常严格的限制，并且随着ARCH阶阶数的增加，其限制将更为复杂，在实际的回归过程数的增加，其限制将更为复杂，在实际的回归过程中，可能很难满足这样的条件。中，可能很难满足这样的条件。 ARCH（1）描述金融时间序列是不够的，）描述金融时间序列是不够的，ARCH（P）需要大量的参数估计，且要保证所有的参数）需要大量的参数估计，且要保证所有的参数均

20、满足参数约束是很困难的，均满足参数约束是很困难的，以及保证显著性是很以及保证显著性是很困难的。困难的。 现在，现在，ARCH主要是用来检验金融时间序列是否具主要是用来检验金融时间序列是否具有条件异方差效应，即有条件异方差效应，即ARCH检验。检验。.232.4 ARCH效应检验效应检验 （1）进行均值方程的回归，可以采用普通的一元）进行均值方程的回归，可以采用普通的一元或者多元回归，或者是或者多元回归，或者是AR(n)的均值方程，均值方的均值方程，均值方程的构建取决于金融学的研究目的程的构建取决于金融学的研究目的AR(m)-ARCH（p）011222201122mean equation va

21、riance equation ,.,ntit itimtit itittttttqt qybb xuyyuuvuuu或者或者.24ARCH效应检验效应检验 （2）根据）根据ARCH模型的定义模型的定义222201122,.,tttqt qtuuuuw因此，首先由均值方程得到残差，然后对其取平因此，首先由均值方程得到残差，然后对其取平方，最后判定上述的各个参数是否显著不为零方，最后判定上述的各个参数是否显著不为零2222011220012101,.,:,.,0:0 0 ,.,0tttqt qtqquuuuwHHoror.25因此，一个联合的零假设检验，其所有因此，一个联合的零假设检验，其所有q

22、阶残差平方的系数阶残差平方的系数不能显著地异于零，因此，可以采用不能显著地异于零，因此，可以采用F统计量进行参数的联统计量进行参数的联合检验。合检验。01122201211()/( )/(21)() ,()()Tttt qTtt qSSRSSRqFqSSRTqSSRuE uSSRw 如果因变量全部由残差得到了解释，这就表明回归如果因变量全部由残差得到了解释，这就表明回归系数是不显著的。系数是不显著的。.26ARCH效应的检验：中国银行效应的检验：中国银行ARCH Test:F-statistic12.02976 Probability0.000000Obs*R-squared 35.92259

23、 Probability0.000000Test Equation:Dependent Variable: RESID2Method: Least SquaresDate: 01/22/07 Time: 17:23Sample (adjusted): 6 132Included observations: 127 after adjustmentsVariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb. C 0.000118 7.33E-05 1.604891 0.1111RESID2(-1)0.2492160.0884882.8163700.0057RESI

24、D2(-2)0.0187580.0804930.2330380.8161RESID2(-3)0.4786840.0804625.9491670.0000RESID2(-4)-0.2053100.088212-2.3274670.0216.273 GARCH模型模型 广义的广义的ARCH模型（模型（Generalized autoregressive conditionally heteroscedastic）是由）是由Engle的学的学生生Bollerslev（1986）和）和Taylor（1986）各自独立）各自独立的发展起来的。的发展起来的。GARCH模型允许条件方差依赖自模型允许条件方差

25、依赖自身的前期，最简单为身的前期，最简单为GARCH(1,1)22011211tttu 类似地，类似地，GARCH（p，q）222011pqtit ijtjiju .28GARCH模型的优点模型的优点22201111222011101210131222201112132201122 (. (.)1 . ( )tttttttttttuuuuuuuuuARCH GARCH模型仅仅包含三个参数就可以表达模型仅仅包含三个参数就可以表达ARCH存在的无穷多个参数的方程。存在的无穷多个参数的方程。.293.1 GARCH的参数约束的参数约束 由由ARCH模型可知模型可知22201111,ttttttuuv

26、 2222101122201122(|),()0tttttttttttttE uuuuuwwuw E w22011111()ttttuuww将上式代入将上式代入GARCH模型有模型有.302201111111()()0,1,2.,()0tttttttuuwwE wtnE ww在在ARCH模型中，无条件方差为模型中，无条件方差为222001111tttuuw则在则在GARCH模型中，无条件方差为模型中，无条件方差为201101101 ()0,1.31 类似地，在类似地，在ARCH模型中峰度模型中峰度K21211331 3K211221113(1 () )31 ()2K 则在则在GARCH模型中峰

27、度模型中峰度K.323.2 正态-GARCH极大似然估计 完整的完整的GARCH模型分为均值方程和方差方程模型分为均值方程和方差方程均值方程可以设定要根据不同的意义设定均值方程可以设定要根据不同的意义设定0101222011mean equation variance equation ntit itimtit ititttpqtit ijtjijybb xuyyuuvu 或者或者.333.2 GARCH极大似然估计极大似然估计012220112201012012,(0,1)|(,) (,)()1(| )exp()22tttttttpqtit ijtjijttttttttttybb xu uv

28、vNuyb b xN bb xybb xf y .343.2 GARCH极大似然估计极大似然估计 由于时间序列由于时间序列y抽样的时候是独立，则对于所有的抽样的时候是独立，则对于所有的联合概率密度函数有联合概率密度函数有f(y)，等于边际密度的乘积，等于边际密度的乘积201211()1( )(| )exp()22TTtttttttybb xLf y 说明：对于三个独立的事件说明：对于三个独立的事件A、B和和c同时发生的概同时发生的概率是率是A、B和和C三者概率的乘积。同样在从时间序列三者概率的乘积。同样在从时间序列抽取的样本中，这些样本既然被抽取了，便表示他抽取的样本中，这些样本既然被抽取了，

29、便表示他们同时发生了，似然函数就是同时发生的概率。们同时发生了，似然函数就是同时发生的概率。.35将似然函数取对数，构造对数似然函数将似然函数取对数，构造对数似然函数20121220121( )ln( )()1 ln(exp()22()1 (ln(2 )ln)22TtttttTtttttlLybb xybb xmax ( )max ln( )lL.36220121220121222011()1max ( )( ln(2 )ln)22()max ( )ln2. . TtttttTtttttpqtit ijtjijybb xlybb xlstu 建立似然方程建立似然方程 运用运用osl回归得到初始

30、参数的值，作为迭代的初始值回归得到初始参数的值，作为迭代的初始值 选择对条件方差参数的一些初始值。如设定为无条件方差，选择对条件方差参数的一些初始值。如设定为无条件方差，或者或者0 设定收敛准则，对于设定收敛准则，对于Eviews默认的收敛为默认的收敛为0.001算法：算法：Berndt等（等（1974）提出的）提出的BHHH算法算法.37中石化：正态中石化：正态-GARCH（1，1）.38中石化：中石化：osl回归回归.393.3 GARCH滞后阶数的选择滞后阶数的选择 在模型回归参数显著的基础上，为了挑选最优秀的在模型回归参数显著的基础上，为了挑选最优秀的模型其判定的准则是模型其判定的准则

31、是AIC准则准则Schwarz准则准则2 /2(1)/2 /2(1)ln/AICl TkTSCl TkT T l为对数似然值，为对数似然值，T为样本数量，为样本数量，K为参数的个数为参数的个数.40中石化：正态中石化：正态-GARCH滞后阶数选择滞后阶数选择.41GARCH回归后的残差检验回归后的残差检验22201111ttttu .424 GARCH方差预测方差预测 通过回归得到通过回归得到GARCH参数，以及根据参数，以及根据t时刻的残差和方差来时刻的残差和方差来预测预测t+1时刻条件方差时刻条件方差 注意：注意：t时刻前，由样本回归得到参数，推断样本外的方差时刻前，由样本回归得到参数，推

32、断样本外的方差 1步预测方程为步预测方程为2221011tttu对于对于n步预测，推导如下步预测，推导如下2222011112220111111112220111111 () ()(1)ttttttttttttuvuvv 均值方程得到均值方程得到.43222220111111()(1)ttttv 21(0,1), (1)|0tttvNE vF2220111()()ttE 对于两步预测，只能采用对于两步预测，只能采用t时刻推断出的时刻推断出的t+1时刻的时刻的方差来估计方差来估计，给出的仅仅是其期望形式下的方差，给出的仅仅是其期望形式下的方差22011111()(),1t nt nE .44GA

33、RCH方差预测：中石化（自回归）方差预测：中石化（自回归） 样本外预测：总共样本有样本外预测：总共样本有227个（个（2006/01/04 2007/01/19），回归只用了），回归只用了217个样本个样本（2006/01/04 2007/01/04），剩下的），剩下的10天通过预天通过预测得到（样本外预测）测得到（样本外预测） 经过回归得到以下方程经过回归得到以下方程252210.0043463.88 100.0649370.878649tttttruu.45.46预测结果预测结果日期日期 样本外预测样本外预测实际条件方差实际条件方差 2007/01/080.0011260.001293 2

34、007/01/090.0011250.001195 2007/01/100.001101260.001762 2007/01/110.001078000.001604 2007/01/120.001056040.001789 2007/01/150.001035330.002122 2007/01/160.001015780.001942 2007/01/170.000997340.001753 2007/01/180.000979930.001688 2007/01/190.000963510.001561.47.48ARCH类模型的其它模型类模型的其它模型 1、均值自回归条件异方差模型、均值自回归条件异方差模型ARCH-M模型