同济高等数学幻灯片PPT教案

1、同济高等数学幻灯片同济高等数学幻灯片本章主要内容本章主要内容一、极限一、极限二、连续二、连续1.数列极限及函数极限的定义数列极限及函数极限的定义2.无穷小与无穷大量的概念及性质无穷小与无穷大量的概念及性质3.函数极限的性质：函数极限的性质：唯一性、唯一性、 局部有界性、局部有界性、局部保号性、局部保号性、 极限与单侧极限的关系极限与单侧极限的关系无穷小与极限的关系无穷小与极限的关系参见P74。 1.第1页/共60页左右极限左右极限两个重要两个重要极限极限求极限的常用方法求极限的常用方法无穷小无穷小的性质的性质极限存在的极限存在的充要条件充要条件判定极限判定极限存在的准则存在的准则无穷小的比较无

2、穷小的比较极限的性质极限的性质数列极限数列极限函函 数数 极极 限限axnn limAxfxx )(lim0Axfx )(lim等价无穷小等价无穷小及其性质及其性质唯一性唯一性无穷小无穷小0)(lim xf两者的两者的关系关系无穷大无穷大 )(limxf第2页/共60页二、连续二、连续1。函数在一点及单侧连续的定义。函数在一点及单侧连续的定义2。间断点定义及分类。间断点定义及分类3。连续函数的运算法则：。连续函数的运算法则：四则运算法则四则运算法则反函数反函数复合函数复合函数4。初等函数的连续性。初等函数的连续性5。闭区间上连续函数的性质：。闭区间上连续函数的性质：最值定理、最值定理、 有界性

3、定理有界性定理介值性定理、介值性定理、 零点定理零点定理第3页/共60页左右连续左右连续在区间在区间a,ba,b上连续上连续连续函数连续函数的的 性性 质质初等函数初等函数的连续性的连续性间断点定义间断点定义连连 续续 定定 义义0lim0 yx)()(lim00 xfxfxx 连续的连续的充要条件充要条件连续函数的连续函数的运算性质运算性质非初等函数非初等函数的连续性的连续性 振荡间断点振荡间断点 无穷间断点无穷间断点 跳跃间断点跳跃间断点 可去间断点可去间断点第一第一类类 第二类第二类第4页/共60页典型方法及范例典型方法及范例一、求极限的基本方法一、求极限的基本方法1。利用极限的四则运算

4、法则求极限。利用极限的四则运算法则求极限要点：要点：(1)。参加运算的函数的极限必须存在。参加运算的函数的极限必须存在(2)。对于不定式，必须先消去其不定性。对于不定式，必须先消去其不定性无穷多个无穷小的和，变形后再讨论。无穷多个无穷小的和，变形后再讨论。例如：例如：“ ”,” ” 需要通过分子、分母有理化需要通过分子、分母有理化 或者分解因式消去零因子，或者分解因式消去零因子，00 通过初等变形化为通过初等变形化为型 型,00 第5页/共60页例例1。 ,11lim1 nmxxx。为正整数),(nm解：解： 原式原式= )1)(1()1)(1(lim111 nmxxxxx11lim111 n

5、mxxxnm 第6页/共60页例例2。 .12lim2xxxxx 解：解： 原式原式= )12()1()2(lim22 xxxxxxxx121lim22 xxxxxx221121111limxxxxxx 1 第7页/共60页例例3。 ),1311(lim31xxx 原式原式= 321131limxxxx 32112limxxxx 311)1)(2(limxxxx 1)2(lim21 xxxx1 解：解： 第8页/共60页例例4。 )1231(lim222nnnnn 原式原式= )21211(lim2nnnn 1 解：解： 第9页/共60页2。利用。利用有界函数和无穷小之积仍为无穷小有界函数和无

6、穷小之积仍为无穷小例例5。 21coslimxxxx 所以，原式所以，原式=0 注意到注意到 01lim2 xxx1|cos| x解：解： 第10页/共60页3.利用两个重要极限利用两个重要极限1sinlim) 1 (0e)11(lim)2(或e)1(lim10注注: 代表相同的表达式第11页/共60页例例6。 xxxtan2)(sinlim 21cossin22)cos1(lim xxxx )cos1()cos1(lim2sincos12sincos12xxxxxxx 2121ee 1 解：解： 第12页/共60页4.利用等价无穷小代换定理求极限利用等价无穷小代换定理求极限注意：求极限时，等

7、价无穷小代换不要轻易在加减法中注意：求极限时，等价无穷小代换不要轻易在加减法中使用。使用。sin x常用的等价无穷小（常用的等价无穷小（ 时）时）0 xarcsin xtan xxarctanxex1 )0(ln1 aaxax xx )1ln( )0(ln)1(log aaxxa ,11nxxn 2cos12xx x第13页/共60页例例7。xxxxx20sinsintanlim xxxxx20sin)cos1(tanlim 3202limxxxx .21 解：解： 第14页/共60页例例8。210)(coslimxxx注意到注意到,20coslnlimxxx20)1cos1ln(limxxx

8、 201coslimxxx 2202limxxx 21 所以，原式所以，原式21 e解：解： 类似地，可求类似地，可求P75,9(5)第15页/共60页5.利用利用“夹逼准则夹逼准则”、“单调有界准则单调有界准则”求极限求极限夹逼准则不仅是判别极限存在的准则，也提供了一种夹逼准则不仅是判别极限存在的准则，也提供了一种 求极限方法。求极限方法。)()()(xhxfxgAxhxg)(lim)(limAxf)(lim例例9。1lim0 xxx 注意到：注意到：xxx1111 而而 意味着意味着 0 x111 xxx又因为又因为11lim)1(lim00 xxx所以原极限所以原极限=1解：解： 第16

9、页/共60页单调有界收敛准则一般适用于由递推式子给出的数列单调有界收敛准则一般适用于由递推式子给出的数列的极限问题，分三步进行，的极限问题，分三步进行，（1）验证数列单调递减（递增）。）验证数列单调递减（递增）。（2）验证数列有下界（有上界）。）验证数列有下界（有上界）。（3）证明数列收敛后，利用递推公式两边取极限，）证明数列收敛后，利用递推公式两边取极限， 得到该数列的极限。得到该数列的极限。例例10。证明数列。证明数列 的极限存在，并求极限。的极限存在，并求极限。), 2 , 1(6,1011 naaann思路：利用递推公式，证明该数列单减，再证明其有 下界，最后求出极限。第17页/共60

10、页二、无穷小的比较二、无穷小的比较例例1111xcos1 当当0 x时，下列函数分别是时，下列函数分别是x的几阶无穷小的几阶无穷小xxx xx 1122x21xxxx 112x练习：练习： P74，3（1）第18页/共60页三、求分段函数的极限，判断分段函数的三、求分段函数的极限，判断分段函数的 连续性，间断点的类型连续性，间断点的类型例例1212).(lim,0,2sincos10,1sin)(02xfxxxxxxxxxfx 求 解：解： 2002sincos1lim)(limxxxxxfxx 20202sinlimcos1limxxxxxxx 02121 xxxfxx1sinlim)(li

11、m00 0 0)(lim)(lim00 xfxfxx第19页/共60页例例1212研究函数研究函数处的连续性。在00, 1, 0,11)(11 xxxeexfxx 解：解： xxxxeexf110011lim)(lim 1 xxxxeexf110011lim)(lim 11lim110 xxxee1 所以，所以， f(x)f(x)在在x=0处不连续，处不连续，x=0是其跳跃间断点。是其跳跃间断点。 练习：练习： P74，3（2）第20页/共60页例例1313确定常数确定常数a,b使使 处连续。在 00, 20,sin0,)31ln()( xxxxaxxbxxxf解：解： bxxxfxx)31l

12、n(lim)(lim00 233lim0 bbxxx23 bxaxxfxxsinlim)(lim00 2lim0 axaxx2 a练习：练习： P74，2第21页/共60页四、闭区间上连续函数的性质的简单应用四、闭区间上连续函数的性质的简单应用例例1414至少有一个根。）内，在开区间（证明方程2201sin xx证明：证明： , 1sin)( xxxf设上连续，在2,2)( xf212)2sin()2( f0 2212)2sin()2( f,0 有有一一个个根根。方方程程在在该该开开区区间间内内至至少少由由零零点点定定理理知知,第22页/共60页五、讨论曲线的渐近线五、讨论曲线的渐近线 xbk

13、xyL使使得得当当如如果果存存在在直直线线,:),(x或或),()(yxMxfy上上的的动动点点时时，曲曲线线 )( 0),(xfyLLMdL 为为曲曲线线则则称称，的的距距离离到到直直线线为为斜斜渐渐近近线线。时时，称称的的斜斜率率的的渐渐近近线线。当当直直线线LkL0 的的渐渐近近线线的的充充要要条条件件为为为为曲曲线线证证明明：直直线线)(xfyL .)(lim,)(limkxxfbxxfkxx 。是该曲线的水平渐近线是该曲线的水平渐近线时，时，即即当当bybxfkx )(lim, 0特别地，特别地，。是该曲线的铅直渐近线是该曲线的铅直渐近线时，时，0)(lim0 xxxfxx 第23页

14、/共60页有则曲线)(xfy 斜渐近线.bxky)(x或若,0)(limxfx)(bxk 0)(limxbkxxfxx0)(limxfx)(bxk 0)(limxbkxxfx)(limxbxxfkxxxfkx)(lim)(limxkxfbx机动 目录 上页 下页 返回 结束 )(x或)(x或( P76 题题14)第24页/共60页的的图图形形的的渐渐近近线线。求求函函数数224)(xxf 例例1515,024lim2 xx因因为为解：解：是是其其水水平平渐渐近近线线。所所以以0 y,24lim2)2( xx是是其其铅铅直直渐渐近近线线。所所以以2 x,024lim)(lim2 xxxxfxx）

15、（而而所所以以没没有有斜斜渐渐近近线线。第25页/共60页第26页/共60页对极限性质的理解对极限性质的理解下列说法对吗？下列说法对吗？u发散数列一定无界发散数列一定无界u若若则则,0)( xflim( )0.f x u若若则则, )()(xgxf lim( )lim ( ).f xg x 概念辨析概念辨析第27页/共60页对无穷小的理解对无穷小的理解下列说法对吗？下列说法对吗？u 无穷小是一个很小的数无穷小是一个很小的数.u 0是无穷小是无穷小.u 无限个无穷小之和仍是无穷小无限个无穷小之和仍是无穷小.u 两个无穷小的比值仍是无穷小两个无穷小的比值仍是无穷小.u 有人说是无穷小，有人说是无穷

16、大有人说是无穷小，有人说是无穷大.,1)(xxf 第28页/共60页(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4) xxx1lim1(5)(5)0 xxxsinlim(6)(6)03030 xxxxxxxxlimsintanlim)(limxf存在，存在，)(limxg不存在，不存在，)()(lim(xgxf 不存在不存在则则)(limxf不存在，不存在，)(limxg不存在，不存在，)()(lim(xgxf 不存在不存在则则)(limxf存在且不为零，存在且不为零，)(limxg不存在，不存在，)()(lim(xgxf不存在不存在则则判断下列说法的正确性判断下列说法的正确性第29页/共60

17、页（1 1）（6 6）（2 2）)(xf在在0 x处连续，处连续，)(xf在在0 x处也连续处也连续. .（3 3）)(xf在在0 x处连续，处连续，)(xg在在0 x处不连续处不连续)()(xgxf 在在0 x处一定不连续处一定不连续. .（4 4）)(xf在在0 x处不连续，处不连续，)(xg在在处不连续处不连续)()(xgxf 在在0 x处一定不连续处一定不连续. .)(xf在在 ba,上不连续，则上不连续，则)(xf在在 ba,上无界上无界（5 5）一切初等函数在其定义域内连续一切初等函数在其定义域内连续. .判断下列说法的正确性判断下列说法的正确性)(xf在在0 x处连续，处连续，在

18、在0 x处也连续处也连续. .| )(|xf第30页/共60页1、求曲线、求曲线 上与直线上与直线 平行的平行的切线方程。切线方程。3235yxx6210 xy 2、设函数、设函数 是由方程是由方程 确定，其中确定，其中 具有二阶导数，且具有二阶导数，且 求求( )yy x( )fyyxeef1f 22d ydx4、已知、已知 具有任意阶导数，且具有任意阶导数，且 求求 （其中（其中 为大于为大于2的正整数）的正整数）( )f x2( ) ( )fxf x( )( )nfxnlnxyex( )xy3、求函数、求函数 的反函数的反函数 的一阶导数和二的一阶导数和二阶导数阶导数练习：第31页/共6

19、0页中值定理中值定理应应用用研究函数性质及曲线性态利用导数解决实际问题罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒公式 (第三节)推广推广微分中值定理 与导数的应用 第32页/共60页二、拉格朗日二、拉格朗日( Lagrange )中值定理中值定理 三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理 中值定理 第三三章 第33页/共60页,)(0有定义在xU且 )(0 xf 存在, )()(0 xfxf)(或0)(0 xf证证: 设, )()(, )(0000 xfxxfxUxx则)(0 xf xxfxxfx)()(lim000)0(x)(0 xf)0(x)(0 xf000)(0 xf)(xfy

20、 费马 证毕xyO0 x第34页/共60页)(xfy 满足:(1) 在区间 a , b 上连续(2) 在区间 (a , b) 内可导(3) f ( a ) = f ( b ),使. 0)(f证证:，上连续在因,)(baxf故在 a , b 上取得最大值 M 和最小值 m .若 M = m , 则, ,)(baxMxf因此.0)(, ),(fba在( a , b ) 内至少存在一点xyab)(xfy O第35页/共60页不妨设 , )(afM 则至少存在一点, ),(ba使,)(Mf.0)(f注意注意:1) 定理条件条件不全具备, 结论不一定成立. 1,010,)(xxxxf则由费马引理得 1

21、, 1)(xxxf 1 ,0)(xxxfx1yOx1y1Ox1yOxyab)(xfy O不连续在 1 , 0不可导在) 1 , 0() 1 ()0(ff例如,第36页/共60页使本定理可推广为)(xfy 在 ( a , b ) 内可导, 且)(limxfax)(limxfbx在( a , b ) 内至少存在一点,. 0)(f证明提示证明提示: 设证 F(x) 在 a , b 上满足罗尔定理 . )(xFaxaf, )(bxaxf, )(bxbf, )(第37页/共60页0155 xx, 15)(5xxxf. 3) 1 (, 1)0(ff, 0)(0 xf, ) 1,0(011xxx) 1(5)

22、(4xxf),1,0(, 0 x有且仅有一个小于1 的正实根 .证证: 1) 存在性 .则)(xf在 0 , 1 连续 , 且由介值定理知存在, ) 1 ,0(0 x使即方程有小于 1 的正根.0 x2) 唯一性 .假设另有, 0)(1xf使在以)(xf10, xx为端点的区间满足罗尔定理条件 ,之间在10, xx至少存在一点,.0)(f使但矛盾, 故假设不真!设第38页/共60页 )( (1) 在区间 a , b 上连续)(xfy 满足:(2) 在区间 ( a , b ) 内可导至少存在一点, ),(ba使.)()()(abafbff思路思路: 利用逆向思维逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的

23、函数作辅助函数显然 ,)(x在a, b 上连续, 在(a, b)内可导, 且证证: 问题转化为证)(x)(xfxabafbf)()()(a由罗尔定理知至少存在一点, ),(ba,0)(使即定理结论成立 ., )(babbfaafb)()(拉氏 0)()()(abafbff证毕xyab)(xfy Oxyabafbf)()(第39页/共60页),(,)()()(baabafbff推论推论: 若函数在区间 I 上满足,0)( xf则)(xf在 I 上必为常数.)(xf证证: 在 I 上任取两点, )(,2121xxxx上用拉在,21xx格朗日中值公式 , 得0)()(12xfxf)(12xxf)(2

24、1xx)()(12xfxf由 的任意性知, 21,xx)(xf在 I 上为常数 .) 10()(0 xxxfy,00 xxbxa令则第40页/共60页. 1, 1,2arccosarcsinxxx证证: 设,arccosarcsin)(xxxf上则在) 1, 1()(xf由推论可知Cxxxfarccosarcsin)( (常数) 令 x = 0 , 得.2C又,2) 1(f故所证等式在定义域 上成立. 1, 1自证自证:),(x,2cotarcarctanxx211x211x0经验经验: 欲证Ix时,)(0Cxf只需证在 I 上, 0)( xf,0Ix 且.)(00Cxf使第41页/共60页证

25、证: 设, )1ln()(ttf上满足拉格朗日在则,0)(xtf中值定理条件,即因为故. )0()1ln(1xxxxx)0()(fxf)1ln(xxx0,11x xx1x)0()1ln(1xxxxxxxf0, )0)(因此应有第42页/共60页0)()()()()()(fFaFbFafbf)(分析分析:)(xf及(1) 在闭区间 a , b 上连续(2) 在开区间 ( a , b ) 内可导(3)在开区间 ( a , b ) 内至少存在一点, ),(ba使.)()()()()()(FfaFbFafbf满足 :)(xF0)( xF)()(aFbF)(abFba0问题转化为证)()()()()()

26、()(xfxFaFbFafbfx柯西 构造辅助函数构造辅助函数第43页/共60页)()()()()()()(xfxFaFbFafbfx)()()()()()()()(baFbFbFafaFbfa,),(,)(内可导在上连续在则babax且, ),(ba使, 0)(即由罗尔定理知, 至少存在一点.)()()()()()(FfaFbFafbf思考思考: 柯西定理的下述证法对吗 ?),(, )()()(baabfafbf),(, )()()(baabFaFbF两个 不一定相同错错! !上面两式相比即得结论. 第44页/共60页)()()()()()(FfaFbFafbf)(F)(aF)()(tfyt

27、Fx)(af)(bF)(bf)()(ddtFtfxy注意:弦的斜率切线斜率xyO第45页/共60页)0() 1 (ff)0() 1 (FF).0() 1 (2)(fff2)(01)0() 1 (fffxxxf)()(2,)(2xxF,) 1 ,0(, 1 ,0)(内可导在上连续在xf至少存在一点),1,0(使证证: 问题转化为证设则)(, )(xFxf在 0, 1 上满足柯西中值定理条件, 因此在 ( 0 , 1 ) 内至少存在一点 , 使)(f )(F012即)0() 1 (2)(fff证明第46页/共60页11lncos1lnlne1lnsinlnesin)e, 1(,)()() 1 (e

28、) 1 (e)FfFFff)e, 1(使.lncos1sinlncos1sin 证证: 法法1 用柯西中值定理 .xxFxxfln)(,lnsin)(则 f (x) , F(x) 在 1 , e 上满足柯西中值定理条件, 令因此 11lncoslncos1sin即分析分析:第47页/共60页)e, 1(使.lncos1sin法法2 令xxflnsin)(则 f (x) 在 1 , e 上满足罗尔中值定理条件,e), 1 (使0)(fxlncos)(xf1sinx1lncos1sin 因此存在x1xln1sin 第48页/共60页4412 34121. 填空题填空题1) 函数4)(xxf在区间

29、1, 2 上满足拉格朗日定理条件, 则中值._2) 设有个根 , 它们分别在区间341530)( xf)4,3(, )2, 1 (, )3,2(上., )4)(3)(2)(1()(xxxxxf方程第49页/共60页,0)(Cxf且在),0(内可导, 证明至少存在一点, ),0(使.cot)()(ff提示提示: 由结论可知, 只需证0cos)(sin)(ff即0sin)(xxxf验证)(xF在,0上满足罗尔定理条件.设xxfxFsin)()(第50页/共60页1. 微分中值定理的条件、结论及关系罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理)()(afbfxxF)()()(afbfxxF)(2. 微分中值定理的应用(1) 证明恒等式(2) 证明不等式(3) 证明有关中值问题的结论关键关键: 利用逆向思维设辅助函数费马引理第51页/共60页 )(111nnfP134 7, 8 , 10 , 12 , 14 , *15提示提示:xxfxe)()(题*15. )(nxxf)0(f 0)0(f0题14. 考虑第二节 第52页/共60页)(xf可导, 试证在其两个零点间一定有)()(xfxf的零点. 提示提示: 设,0)()(2121xxxfxf欲证:, ),(21xx使0)()(ff只要证0)()(ffee亦即0 )(exxxf作辅助函数, )(e)(xfxFx验证)(xF在,