人教版高一数学必修一第一章知识点与习题讲解

1、YU N N A N NORMAL U N IVER S ITY必修1第一章集合与函数基础知识点整理姓 名： 沈金鹏院、系： 数学学院专 业：数学与应用数学20XX年10月2日必修1第一章集合与函数基础知识点整理第1讲§1.1.1集合的含义与表示。学习目标：通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；掌握集合的表示方法、常用 数集及其记法、集合元素的三个特征.。知识要点：1 .把一些元素组成的总体叫作集合(set),其元素具有三个特征，即确定性、互异性、无序性 2 .集合的表

2、示方法有两种：列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用花括号“ ”括起来，基本形式为a1,a2,a3, ,an,适用于有限集或元素间存在规律的无限集.描述法，即用集合所含元素的共同特征来表示，基本形式为x A|P(x),既要关注代表元素 x,也要把握其属性 P(x),适用于无限集. . . -一 一 * .3 .通常用大写拉丁字母A,B,C,表示集合.要记住一些常见数集的表示，如自然数集 N,正整数集N或N ,整数集Z,有理数集 Q,实数集R.4 .元素与集合之间的关系是属于(belong to )与不属于(not belong to ),分别用符号、表示，例如3 N ,2 N .。例题精讲：

3、【例1】试分别用列举法和描述法表示下列集合：(1)由方程x(x2 2x 3) 0的所有实数根组成的集合；(2)大于2且小于7的整数.解：(1)用描述法表示为：x R|x(x2 2x 3) 0；用列举法表示为0, 1,3.(2)用描述法表示为：x Z|2 x 7;用列举法表示为3,4,5,6.【例2】用适当的符号填空：已知A x|x 3k 2,k Z , B x|x 6m 1, m Z,则有：17 A;-5 A;17 B.解：由3k 2 17,解得k 5 Z ,所以17 A;由3k 25,解得k 7 Z ,所以 5 A ；3由6m 1 17,解得m 3 Z ,所以17 B.【例3】试选择适当的方

4、法表示下列集合：(教材P6练习题2, P13 A组题4)(1) 一次函数y x 3与y 2x 6的图象的交点组成的集合；2(2)二次函数y x 4的函数值组成的集合；2(3)反比例函数 y 的自变量的值组成的集合 .一y x 3解：(1)(x, y) | '。 (1,4).y 2x 6(2)y|y x2 4 y|y 4.2(3) x| y - x|x 0. x点评：以上代表元素，分别是点、函数值、自变量 .在解题中不能把点的坐标混淆为1,4,也注意对比(2)与(3)中的两个集合，自变量的范围和函数值的范围，有着本质上不同，分析时一定要细心*【例4】已知集合A a|2x2a 1有唯一实数

5、解，试用列举法表示集合A.x 2x a ,2解：化万程2- 1为：x x (a 2) 0 .应分以下三种情况：x 2方程有等根且不是J5：由4二。，得a 9 ,此时的解为x1，合.42方程有一解为J2,而另一解不是J2：将xJ2代入得aJ2,此时另一解x 1J2,合.方程有一解为J2,而另一解不是 谭：将x 衣代入得a J2,此时另一解为 x 72 1,合.综上可知，A 9, 22,22.4点评：运用分类讨论思想方法，研究出根的情况，从而列举法表示.注意分式方程易造成增根的现象.第2讲§1.1.2集合间的基本关系。学习目标：理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情

6、境中，了解全集与空集 的含义；能利用 Venn图表达集合间的关系.。知识要点：1 . 一般地，对于两个集合 A、B,如果集合 A中的任意一个元素都是集合B中的元素，则说两个集合有包含关系，其中集合 A是集合B的子集（subset）,记作A B （或B A）,读作"A含于B"（或B包含A"）.素是2 .如果集合A是集合B的子集（A B）,且集合B是集合A的子集（B A）,即集合A与集合B的元 一样的，因此集合 A与集合B相等，记作 A B.3 .如果集合 A B ,但存在元素 x B ,且x A,则称集合 A是集合B的真子集（proper subset）,记作 B

7、（或 B A）.BB;empty set）,记作 ，并规定空集是任何集合的子集C ,则 A C ;若 AUB A,则 B A.4 .不含任何元素的集合叫作空集（5 .性质：A A;若A B , 若AI B A,则A。例题精讲：【例1】用适当的符号填空：(1) 菱形(2) x解：(1)重，英;(2) =,6,平行四边形_2R|x 2；0；等腰三角形0一 0；等边三角形.0 ； N0.【例2】设集合AA.凄,m.nx|x -,n Z2B : Ax|x1-,n2B.A_ BC.Z,则下列图形能表示 A与B关系的是（）.一 A B.D.解：简单列举两个集合的一些元素,1,2,0,2B , I，2213

8、易知B a,故答案选A .另解：由B x|x2n 1-,n【例3】若集合M2 2x| xZ,易知6 0 ,NA,故答案选A.解：由x2 若ax 6 00时，得N3,(ii)若 a0时，得N,此时，-.若 N因此,Nx | axMM ；2, 3 .故所求实数点评：在考察“A B”这一关系时, 论.题中讨论的主线是依据待定的元素进行求实数a的值.一1M，满足一 a1 一2或一3,解得aa时存在AB.从而需要分情况讨【例 4】已知集合 A= a,a+b,a+2b, B= a,ax,ax2.若A=B,求实数x的值.4ab ax解：若2a 2b axa+ax2-2ax=0,所以 a(x-1)2=0,即

9、a=0 或 x=1.a=0 时,x=1 时,a ba 2b奉口崔A 奉口2axB中的元素均为0,故舍去;B中的元素均相同，故舍去2ax2-ax-a=0.ax因为aw。，所以2x2-x-1=0,即(x-1)(2 x+1)=0. 又 xw 1 ,所以只有 x经检验，此时 A=B成立.综上所述x 12点评：抓住集合相等的定义，分情况进行讨论.融入方程组思想，结合元素的互异性确定集合第3讲 §1.1.3集合的基本运算(一)。学习目标：理解两个集合的并集与交集的含义, 个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用 象概念的作用.会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中Venn图表达集合

10、的关系及运算，体会直观图示对理解抽。知识要点：集合的基本运算有三种，即交、并、补，学习时先理解概念，并掌握符号等，再结合解题的训练，而达到 掌握的层次.下面以表格的形式归纳三种基本运算如下并集交集补集概念由所有属于集合 A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集(union set)由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，称为 集合 A与 B的交集(intersection set)对于集合A,由全集U中不属于 集合A的所有元素组成的集 合，称为集合A相对于全集U 的补集 (complementary set)记号AU B (读作“ A并B”)AI B (读作“ A交B”)eu

11、A (读作“ A的补集”)符号AU B x|x A,或x BAI B x|x A,且x Beu A x | x U ,且x A图形表小。例题精讲：【例 1】设集合 u R,A x| 1 x 5, B x|3 x 9,求AI B,eu(AUB).BAb Ji3,4,5,6-1,求：解：在数轴上表示出集合A、B,如右图所示：AI B x|3 x 5,Cu(AUB) x|x1,或 x 9,【例 2】设 A x Z | |x| 6 , B 1,2,3 , C(1) AI (B I C) ；(2) AI ga(BUC).解：Q A 6, 5, 4, 3, 2, 1,0,1,2,3,4,5,6 .(1)又

12、 Q B I C(2)又 Q B UC 得 Ca(BUC)6,3 , AI (BI C) 3 ；1,2,3,4,5,6 ,5, 4, 3, 2, 1,0 .AI Ca(BUC)【例3】已知集合AAI,B 1,3,5,8,求 Cu(AUB) , Cu(AI B),6, 5, 4, 3, 2, 1,0 .x|2 x 4 , B x |x解：由AI B A,可得A B.在数轴上表示集合 A与集合B,如右图所示：由图形可知，m 4.点评：研究不等式所表示的集合问题，常常由集合之间的关系，得到各端点之间的关系，特别要注意是否含端点的问题【例4】已知全集U x|x 10,且x N , A 2,4,5,8(

13、Cu A)I (Cu B),(G A)U(Cu B),并比较它们的关系.解：由 AU B 1,2,3,4,5,8 , W CU(AU B) 6,7,9.由 AI B 5,8,则 Cu(AI B) 123,4,6,7,9 由 CuA 1,3,6,7,9 , CuB 2,4,6,7,9, 则(CuA)I (CuB) 6,7,9, (CuA)U(CuB) 1,2,3,4,6,7,9.由计算结果可以知道，(CuA)U(CuB) Cu (AI B),(CuA) I (CuB) Cu(AUB).另解：作出 Venn图，如右图所示，由图形可以直接观察出来结果点评：可用Venn图研究(CuA) U (CuB)

14、Cu(a I B)与(Cu A) I(Cu B)Cu (AU B),在理解的基础记住此结论，有助于今后迅速解决一些集合问题第4讲§1.1.3集合的基本运算(二)。学习目标:掌握集合、交集、并集、补集的有关性质，运行性质解决一些简单的问题；掌握集合运算中 的一些数学思想方法.。知识要点：1 .含两个集合的 Venn图有四个区域，分别对应着这两个集合运算的结果.我们需通过 Venn图理解和掌握各区域的集合运算表示，解决一类可用列举法表示的集合运算.通过图形，我们还可以发现一些集合性质：Cu(AI B) (Cu A)U(CuB),Cu(AUB) (Cu A) I (CuB).2 .集合元素

15、个数公式：n(AU B) n(A) n(B) n(AIB).3 .在研究集合问题时，常常用到分类讨论思想、数形结合思想等.也常由新的定义考查创新思维.。例题精讲：【例1】设集合A4,2a1,a2 ,B9,a 5,1 a ,若AI B 9 ,求实数a的值.解：由于 A4,2a1,a2,B 9,a5,1 a ,且 AI B 9 ,则有：当2a 1= 9时，解得a=5,此时A= -4, 9, 25 , B=9, 0, 4,不合题意，故舍去；当a 2=9时，解得a= 3或一 3 .a= 3时，A= -4,5,9 , B=9, -2,-2，不合题意,故舍去;a= -3, A= -4, -7,9 , B=

16、9, -8, 4,合题意.所以，a= -3.【例 2】设集合 A x|(x 3)(x a) 0,a R , B x|(x 4)( x 1) 0,求 AUB, AI B.(教材 P14 B组题2) 解：B 1,4.当 a 3 时，A 3,则 AUB 1,3,4, AI B ；当 a 1 时，A 1,3,则 AUB 1,3,4, AI B 1;当 a 4 时，A 3,4,则 AUB 1,3,4, AI B 4；当 a 3 且 a 1 且 a 4时，A 3,a,则 AUB 1,3,4, a , AI B .点评：集合A含有参数a,需要对参数a进行分情况讨论.罗列参数a的各种情况时，需依据集合的性质

17、和影响运算结果的可能而进行分析，不多不少是分类的原则【例 3】设集合 A =x|x2 4x 0, B = x|x2 2(a 1)x a2 1 0 , a R,若 AI B=B,求实数 aI解：先化简集合 A= 4,0.由AI B=B，则B A,可知集合 B可为 ，或为0,或 4,或 4,0. 22若 B=，则 4(a 1)2 4(a2 1) 0,解得 a < 1；2_(ii)右 0 B,代入得 a 1=0 a =1 nfc a = 1, 当a=1时，B=A,符合题意； 当2= 1时，B=0 A,也符合题意.,、 一 2(Ill)右4 B,代入得 a 8a 7 0 a =7 或 a =1,

18、 当a=1时，已经讨论，符合题意；当a=7时，B= 12, 4,不符合题意.综上可得，a =1或a < 1 .点评：此题考查分类讨论的思想，以及集合间的关系的应用 .通过深刻理解集合表示法的转换，及集合之 间的关系，可以把相关问题化归为解方程的问题，这是数学中的化归思想，是重要数学思想方法.解该题时， 特别容易出现的错误是遗漏了A=B和B=的情形，从而造成错误.这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题.【例4】对集合A与B,右te 乂 A B x|x A,且x B,当集合A x|x 8,x N ,集合 B x|x(x 2)(x 5)(x 6) 0时，有A B=.(由教材P12补集定义“

19、集合 A相对于全集U的补 集为CuA x|x U,且x A”而拓展)解：根据题意可知，A 1,2,3,4,5,6,7,8 , B 0,2,5,6由定义A B x|x A,且x B,则A B 1,3,4,7,8.点评：运用新定义解题是学习能力的发展，也是一种创新思维的训练，关键是理解定义的实质性内涵，这 里新定义的含义是从A中排除B的元素.如果再给定全集 U,则A B也相当于AI (CuB).第5讲§1.2.1函数的概念。学习目标：通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成

20、函数的要素， 会求一些简单函数的定义域和值域 .。知识要点：1 .设A、B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ,使对于集合 A中的任意一个数 x,在集合 B中都有唯一确定的数 y和它对应，那么就称f :AfB为从集合A到集合B的一个函数(function ),记作y= f(x), x A.其中，x叫自变量，x的取值范围 A叫作定义域(domain ),与x的值对应的y值叫函数值，函数值的 集合f(x)|x A叫值域(range).2 .设a、b是两个实数，且 a<b,则： x|a< x< b = a,b叫闭区间； x|a<x<b = (a,b)叫开区间; x

21、|a< x<b = a, b) , x|a<x< b = (a,b,都叫半开半闭区间.符号：“8”读“无穷大” ；“8”读“负无穷大” ；“+8”读“正无穷大”.则x|x a (a,), x|x a a,), x|x b (, b) , x|x b (,b, R (,).3 .决定函数的三个要素是定义域、值域和对应法则.当且仅当函数定义域、对应法则分别相同时，函数才是同一函数.。例题精讲：【例1】求下列函数的定义域：(1) y 1；(2) y a_3x 2 13x12解：(1)由x 2 1 0 ,解得x 1且x 3 ,所以原函数定义域为 (，3)U( 3, 1)U( 1

22、,).,x 3 0(2)由，解得x 3且x 9 ,3 x 1 2 0所以原函数定义域为3,9) U(9,).3x 2o【例2】求下列函数的定义域与值域：(1) y 出，；(2) y x2 x 2 .5 4x解：(1)要使函数有意义，则3x 2 1 12x 8 1y - 一5 4x 4 5 4x 42(2) y x x 2 (x1 x【例3】已知函数f(L»)1 x5 55 4x 0,解得x -.所以原函数的定义域是 x|x -.443(4x 5) 233235 4x 4 5 4x1 29-)-.所以原函数的定义域是24x.求：(1) f (2)的值； (2)33一 0,所以值域为 y

23、 | y44.一一 9R,值域是(，一.4f (x)的表达式1 x11解：(1)由 2 ,解得x ,所以f(2)-.1 x33(2)设 L_x t,解得 x LI,所以 f(t)L_t,即1 x1 t1 tf(x)点评：此题解法中突出了换元法的思想.这类问题的函数式没有直接给出，称为抽象函数的研究，常常需要结合换元法、特值代入、方程思想等【例4】已知函数f （x）-12x,x R. x(1)求1 f(x) f(-)的值;x（2）计算:f(1) f(2)f(3)f(4)f(3) "J解：（1）由 f(x) fp) x1x2112x11x21x21x2(2)原式 f (1) (f(2)(

24、f(3)(f(4),1 f(-)4点评：对规律的发现，能使我们实施巧算.正确探索出前一问的结论，是解答后一问的关键§1.2.2函数的表示法。学习目标：在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（图象法、列表法、解析法）表示函数; 通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用；了解映射的概念。知识要点：1 .函数有三种表示方法：解析法（用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，优点：简明，给自变量；列表法（列出表可求函数值）；图象法（用图象表示两个变量的对应关系，优点：直观形象，反应变化趋势）格表示两个变量之间的对应关系，优点：不需计算就可看出函数值）2.分段函数的表示法与意义（一个

25、函数，不同范围的x,对应法则不同）3. 一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合 A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素 y与之对应，那么就称对应f : A B为从集合A到集合B的一个映射（mapping）.记作“f : A B判别一个对应是否映射的关键:A中任意，B中唯一；对应法则 f.。例题精讲：【例1】如图，有一块边长为 a的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出体积V以x为自变量的函数式是 ,这个函数的定义域为.解：盒子的高为x,长、宽为a-2x,所以体积为 V= x（a 2x）2.又由a 2x 0

26、,解得x a 2所以，体积V以x为自变量的函数式是x(a2x)2 ,定义域为x|0 x 、.【例2】33已知 f(x)= ' x x2x 23(1,解：二032(,1),f(0)= 3 2 . f( 3 2 )=( 3 2 )3+( 3 2 )-31=2+ 一 =2，即 ff(0)=.【例(1)(2)3】画出下列函数的图象:|x 2| ;(教材P26练习题3)|x 1| |2x 4|.解：（1）由绝对值的概念，有y |x 2|2, x 2x, x 2所以,函数y |x 2 |的图象如右图所示3x 3, x(2)y |x 1| |2x 4| x 5, 23x 3, x所以,函数y |x

27、1| 12x 4|的图象如右图所示.点评：含有绝对值的函数式，可以采用分零点讨论去绝对值的方法，将函数 式化为分段函数，然后根据定义域的分段情况，选择相应的解析式作出函数图象【例4】函数2.1 2 ,当 xf (x) x的函数值表示不超过x的最大整数，例如3.5(2.5,3时，写出f(x)的解析式，并作出函数的图象.3,2,2.5 x解：f(x)0,1,2,3,1, ,01,2 ,x21xxX3XX123,函数图象如右:点评：解题关键是理解符号m的概念，抓住分段函数的对应函数式.第7讲§1.3.1函数的单调性。学习目标：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；学

28、会运用函数图像理解和研究函数的性质.理解增区间、减区间等概念，掌握增(减)函数的证明和判别 。知识要点：1.增函数：设函数 y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量X1, X2,当X1<X2时，都有f(X1)vf(X2),那么就说f(x)在区间D上是增函数(increasing function ).仿照增函数的定义可 定义减函数.2.如果函数f(x)在某个区间D上是增函数或减函数，就说f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫f(x)的单调区间.在单调区间上，增函数的图象是从左向右是上升的(如右图1),减函数的图象从左向右是下降的(如右图 2)

29、.由此，可以直观观察函数图象上升与下降的变化趋势，得到函数的单调区间及单调性3.判断单调性的步骤：设 。例题精讲：X1、x 2 6给定区间，且 x 1<x 2 ；计算f(x1 ) f(X2 )-判断符号，下结论【例1】试用函数单调性的定义判断函数f(X) 且x解：任取 X| ,X2 6 (0,1)，且 XiX2 .则 f (Xi)f(X2)由于0X1X2x2 1 0 , x2 x1-在区间12X1X1 10 ,故(0,1)上的单调性.所以，函数f (x)(0,1)上是减函数.【例2】求二次函数 f (x);解：设任意X1 ,x2 R ,且为2axX22,、f(x1) f (x2) (ax

30、1bx c)0 ,当 x1 x2即 f(X1)【例(1)2x2X2 1 f (X1)2(x2 X1) (X1 1)(X2f(X2)0,1)即 f(x)f(X2).bX c (a 0)的单调区间及单调性.则/2(ax2bx2 c)b 一时，有X1 X2 0 , x12af (X2)，所以f (x)在(，2上单调递增 2a3】求下列函数的单调区间：y |x 1| |2x 4|； (2) yx2 2| x |2, 2a(x1X22 X2ba)b(X即 a(x1.同理可得f (X)在X2)X2)b2a(KX2)a(X1X2)b.b 0 ,从而 f (x1) f (X2) 0 ,)上单调递减.3.解：(

31、1)y |x i|3x 3, x|2x 4| x 5, 21,其图象如右.由图可知,函数在 2,3x 3, x)上是增函数，在2,2上是减函数.(2) yx2 2 |x|2x2x2x 3, x,其图象如右.由图可知,函数在 (2x 3, x1、0,1上是增函数,在1,0、1,)上是减函数.点评：函数式中含有绝对值，可以采用分零点讨论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数 可以由偶函数的又t称性，先作y轴右侧的图象，并把 y轴右侧的图象对折到左侧，得到研究单调性，关键在于正确作出函数图象f(|x|)的图象.由图象【例4】已知f(x) 3x 1 ,指出f(x)的单调区间.x 2解：f(x) 3(x

32、2) 5 3 上，x 2x 2把g(x) -5的图象沿x轴方向向左平移 2个单位，再沿y轴向上平移3个单位, x得到f (x)的图象，如图所示.由图象得f (x)在(，2)单调递增，在(2,)上单调递增.点评：变形后结合平移知识，由平移变换得到一类分式函数的图象.需知f(x a) b平移变规律.第8讲§1.3.1函数最大。学习目标:通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的最大(小) 图像理解和研究函数的性质.能利用单调性求函数的最大(小)值 .(小)值值及其几何意义；学会运用函数。知识要点：1 .定义最大值：设函数 y f(x)的定义域为 存在XoC I ,使得f (Xo) = M

33、.那么，称M是函数I ,如果存在实数 M满足：对于任意的y f (x)的最大值(Maximum Value )xc I ,都有 f (x) < M； .仿照最大值定义，可以给出最小值(Minimum Value )的定义.2.配方法：研究二次函数yax2 bx c (a0)的最大(小)值，先配方成y/ b 2 a(x )2a24ac b -后,4a224a4a当a 0时，函数取最小值为 4ac b ;当a 0时，函数取最大值 4ac b3 .单调法：一些函数的单调性，比较容易观察出来，或者可以先证明出函数的单调性，再利用函数的单 调性求函数的最大值或最小值 .4 .图象法：先作出其函数图

34、象后，然后观察图象得到函数的最大值或最小值。例题精讲：【例1】求函数6一的最大值.x 1解：配方为y11、2(x 2)6_11、2(x -)8.34所以函数的最大值为 8.【例2】某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元售出时,每天可售出100件.现在他采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每件提价 为多少元时，才能使每天所赚得的利润最大？并求出最大利润解：设他将售出价定为 x元，则提高了 (x 10)元,y (x 8)d100 10ax 10).1元，其销售量就要减少10件，问他将售出价定减少了 10ax 10)件，所赚得的利润为即 y10x2 280x 160010(x

35、 14)2 360.当 x 14时，ymax 360.所以，他将售出价定为14元时，才能使每天所赚得的利润最大，最大利润为360元.【例3】求函数y 2x 双1的最小值.解：此函数的定义域为1,且函数在定义域上是增函数，所以当x 1时，ymin 22,函数的最小值为 2.点评：形如y ax b 7cXd的函数最大值或最小值，可以用单调性法研究， 也可以用换元法研究.【另解】令t ,则 t 0 , x t2 1 ,所以 y 2t2 t 2 2(t -)2 15 ,48在t 0时是增函数，当t 0时，ymin 2,故函数的最小值为 2.【例4】求下列函数的最大值和最小值：25 3(1) y 3 2

36、x x , x 一,一;(2) y | x 1| | x 21.2 22b解：(1)二次函数y 3 2x x2的对称轴为x ，即x 1 .2a39画出函数的图象，由图可知，当 x 1时，ymax 4；当x 时，ymin.2425 39所以函数y 3 2x x , x 一,一的年大值为4,取小值为 一.2 243 (x 2) y |x 1| |x 2| 2x 1 ( 1 x 2).3(x1)作出函数的图象，由图可知，y 3,3.所以函数的最大值为 3,最小彳t为-3.点评：二次函数在闭区间上的最大值或最小值，常根据闭区间与对称轴的关系，结合图象进行分析.含绝对值的函数，常分零点讨论去绝对值，转化

37、为分段函数进行研究.分段函数的图象注意分段作出 .第9讲§1.3.2函数的奇偶性。学习目标：结合具体函数，了解奇偶性的含义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质.理解奇函数、偶函数的几何意义，能熟练判别函数的奇偶性。知识要点：1 .定义：一般地，对于函数f(x)定义域内的彳J意一个x,都有f ( x) f(x),那么函数f(x)叫偶函数(evenfunction ).如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f( x) f (x),那么函数f (x)叫奇函数(odd function ).2 .具有奇偶性的函数其定义域关于原点对称，奇函数的图象关于原点中心对称，偶函数图象关于y轴轴对称.

38、3 .判别方法：先考察定义域是否关于原点对称，再用比较法、计算和差、比商法等判别f( x)与f(x)的关系.。例题精讲:【例1】判别下列函数的奇偶性：3123(1) f (x) x ；(2) f (x) | x 1| | x 1|; (3) f (x) x x .x解：(1)原函数定义域为x | x 0,对于定义域的每一个x,都有f ( x) ( x)3 (x3 )f (x),所以为奇函数.xx(2)原函数定义域为R,对于定义域的每一个x,都有f( x) | x 1| | x 1| |x 1| |x 1| f(x),所以为偶函数.(3)由于f ( x) x2 x3f(x),所以原函数为非奇非偶

39、函数.1【例2】已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f (x) g(x) ，求f(x)、g(x).x 1解：: f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，1 f( x) f (x) , g( x) g(x).f (x) g (x)f(x) g(x)f( x)g(x)f(x)g(x)两式相减，解得 f (x)；两式相加，解得 x 1【例3】已知f(x)是偶函数，x 0时，f(x),、1g(x) 1一.x 122x 4x,求x 0时f(x)的解析式22解：作出函数 y 2x 4x 2(x 1)2, x 0的图象，其顶点为 f (x)是偶函数，其图象关于y轴对称.作出x 0时的图象，其顶点为 (1,

40、2),且与右侧形状一致，x 0 时，f(x) 2(x 1)2 22x2 4x.2 一 一点评：此题中的函数实质就是y 2x 4|x| .注意两抛物线形状一致,(1,2).则二次项系数a的绝对值相同.此类问题，我们也可以直接由函数奇偶性的定义来求，过程如下【另解】当x 0时，x 0,又由于f(x)是偶函数，则f(x) f( x),所以，当 x 0 时，f(x) f( x) 2( x)2 4( x)2x2 4x.【例4】设函数 f(x)是定义在 R上的奇函数，且在区间(，0)上是减函数，实数 a满足不等式22f (3a a 3) f (3a2a),求实数a的取值范围.解：: f (x)在区间(，0

41、)上是减函数，f(x)的图象在y轴左侧递减.又 f(x)是奇函数，f (x)的图象关于原点中心对称，则在 y轴右侧同样递减.又f( 0)f(0),解得f(0)0,所以f(x)的图象在R上递减. 一一 2一一一 2 一f (3aa 3) f(3a2a),22 3a a 3 3a 2a ,解得 a 1.点评：定义在R上的奇函数的图象一定经过原点.由图象对称性可以得到，奇函数在关于原点对称区间上单调性一致，偶函数在关于原点又t称区间上的单调性相反集合与函数基础测试、选择题(共12小题，每题5分，四个选项中只有一个符合要求1,函数 y=x26x+ 10 在区间(2, 4)A.递减函数C.先递减再递增上是()B.递增函数D.选递增再递减.x y 22.方程组 x y 0的解构成的集合是A. (1,1)B. 1,1C. (1, 1)3.已知集合 A=a, b, c,下列可以作为集合 A的子集的是A. aB. a, cC. a, e4,下列图形中，表示 M N的是()D. 1()D. a, b, c, d( )A. 0B. 0C. 06、设集合A=x|x参加自由泳的运动员, B= x|x参加蛙泳的运动员,对于“既参加自由泳又参加蛙泳的运动员”用集合运算表示为A