平面解析几何初步(知识点+例题)

1、海豚教育个性化简案海豚教育个性化教案（真题演练）学生姓名：年级：科目：授课日期： 月 日上课时间： 时 _ 分- _ 时分 合计： _ 小时教学目标1 .掌握两条直线平行和垂直的条件，掌握两条直线所成的角和点到直线的距离公式；2 .能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系；3 .掌握圆的标准方程和一般方程.重难点导航1. 了解解析几何的基本思想；2. 了解用坐标法研究几何问题的方法.教学简案：一、真题演练二、个性化教案三、个性化作业四、错题汇编授课教师评价：口准时上课：无迟到和早退现象（今日学生课堂表口今天所学知识点全部掌握：教师任意抽查一知识点，学生能完全掌握现符合共 一项）上课态度认真：上

2、课期间认真听讲，无任何不配合老师的情况（大写）海豚作业完成达标：全部按时按量完成所布置的作业，无少做漏做现象审核人签字：学生签字：教师签字：备注：请交至行政前台处登记、存档保留，隔日无效（可另附教案内页）大写：壹 贰叁肆签章：1. （2014年河南）已知m, n为异面直线，m，平面 ”n，平面3.直线l满足l，m, l，n, l? ”，1?氏则（）A . a/ 3且 1 / aB . n 3且 U 3C. a与3相交，且交线垂直于 1D . a与3相交，且交线平行于海豚教育个性化教案平面解析几何初步知识点一：直线与方程1 .直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把 x

3、轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为a叫做直线的倾斜角.倾斜角a 0,180 口)，口 9 90n斜率不存在.2 .直线的斜率：k =上一肛(Xi =X2), k =tanu . (P(xi,y1)、P2(x2,y2).X2 - xi3.直线方程的五种形式直线名称已知条件直线方程便用范围点耙式y-ykix-x一h存在斜截式k, bk存在两点式(j Vl) X 5出)J：_工 1 0= K截距式a, bx v 1一十二二1a bm h k 0一般式AxBy-C = 0A、B不全为。【典型例题】例1:已知直线(2m2+ m 3)x + (m2 m)y = 4m 1 . 当m=

4、时，直线的倾斜角为 45°.当m=时,直线在x轴上的截距为1.当m= 时，直线在y轴上的截距为3 .当m= 时，直线与x2轴平行.当m =时，直线过原点.【举一反三】1 .直线3y+* x+2=0的倾斜角是()1 . 30° B. 60°C. 120° D. 150°2 .设直线的斜率k=2,P1(3, 5) ,P27), P ( 1,y3)是直线上的三点，则x2,丫3依次是()A. -3, 4 B. 2, - 3 C. 4, - 3 D. 4, 33 .直线l1与l2关于x轴对称，l1的斜率是 巾，则12的斜率是()A.巾 B. - - C.

5、 - D.币 77'4 .直线l经过两点(1, 2), (3,4),则该直线的方程是.例2:已知三点 A (1, -1) ,B (3,3), C (4, 5). 求证：A、B、C三点在同一条直线上.练习：设a, b, c是互不相等的三个实数，如果 A (a, a3)、B (b, b3)、C (c, c3)在同一直线上，求证: a+b+c=O.例3：已知实数x,y满足尸2次+2 (-1 w Xw诚求：”的最大值与最小值变式训练3.若实数x,y满足等式(x-2)2+y2=3,那么义的最大值为()x1A. 23B.3C.-1D. 3例4.:已知定点P(6, 4)与直线l1：y = 4x,过点

6、P的直线l与li交于第一象限的 Q点，与x轴正半轴交于点 M .求 使OQM面积最小的直线l的方程.练习：直线l过点M(2 , 1),且分别交x轴y轴的正半轴于点 A、B, O为坐标原点.(1)当4AOB的面积最小时，求直线 l的方程；(2)当| MA " MB |取最小值时，求直线l的方程知识点二：直线与直线的位置关系一：两条直线的平行和垂直：(1)若 l1: y =k1x+匕，l2：y=k2x+d1/3=卜2,"六； l1_L12y k1k2=-1.(2)若 l1 : A1x +B1y+C1 =0, l2：A2x+B2y + C2 =0,有 l1/l2u A1B2 =

7、A2B1 且 A1c2 # A2cl. l1 _L 12 y A1A2+B1B2=0.二：点到直线的距离、直线与直线的距离Ax0 By0 C1 .点到直线的距离公式：点 P(Xo, y0)到直线l： Ax+By +C =0的距离：d 0" 二.A2 B2Ci -C22 .两平行直线间的距离：两条平行直线 Ax + By+C1=0, l2： Ax + By+C2 =0距离：d =： 二A2 B2三：两条直线的交角公式若直线1i的斜率为k1，的斜率为k2,则1.直线1i到l2的角。满足tanB=k22.直线1i与l2所成的角(简称夹角)。满足tan日=*2k1 .1+k1k21 十 k1

8、k2四：两条直线的交点：两条直线的交点的个数取决于这两条直线的方程组成的方程组的解的个数.五：五种常用的直线系方程 . 过两直线1i和l2交点的直线系方程为 A1x+B1y+C1+九(A"+B2y+C2)=0(不含 . 与直线y=kx + b平行的直线系方程为 y=kx + m (mw b). 过定点(Xo, y0)的直线系方程为yy0=k(x Xo)及x = xo. 与Ax + By+C=0平行的直线系方程设为 Ax+By + m = 0 (mw C). 与Ax + By+C=0垂直的直线系方程设为Bx-Ay + C1 = 0 (ABW0).【典型例题】例 1:已知直线 li：ax

9、+2y+6=0 和直线 l2：x+(a-1)y+a 2-1=0, (1)试判断li与12是否平行；(2) li，l2时，求a的值.练习：若直线11: ax+4y-20=0 , 12： x+ay-b=0 ,当a、b满足什么条件时，直线 11与12分别相交？平行？垂直？重 合？例2:已知直线l经过两条直线l1: x+2y = 0与l2： 3x4y10=0的交点，且与直线l3： 5x2y+3=0的夹角为三，求直线l的方程.4练习：某人在一山坡P处观看对面山顶上的一座铁塔，如图所示，塔高 BC=80 (米)，塔所在的山高 OB=220 (米)，OA=200 (米)，图中所示的山坡可视为直线l,且点P在

10、直线l上，l与水平地面的夹角为 a,tana=-2.试问，此人距水平地面多高时，观看塔的视角/BPC最大(不计此人的身高)？例3:直线y=2x是4ABC中/ C的平分线所在的直线，若 A、B坐标分别为A(-4, 2)、B(3, 1),求点C的 坐标并判断4ABC的形状.练习：三条直线l1: x+y+a=0 , l2： x+ay+1=0 ,卜：ax+y+1=0能构成三角形，求实数 a的取值范围。例4:设点A( 3, 5)和B(2, 15),在直线l: 3x 4y+ 4= 0上找一点p,使PA + PB为最小，并求出这个最小值.练习：已知过点A (1, 1)且斜率为m(m>0)的直线l与x、

11、y轴分别交于P、Q两点，过P、Q作直线2x + y =0的垂线，垂足分别为 R、S,求四边形PRSQ的面积的最小值.知识点三：圆与方程2一 . 221 .圆心为C(a、b),半径为r的圆的标准方程为(x a) +(yb) =r (r>0).2 .圆的一般方程 x2 + y2+Dx + Ey+F0(其中 D2+E2 4F>0), 圆心为(_D,_E),半径=22rJd2 +E2 -4F .23 .二元二次方程Ax2+Bxy + Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的方程的充要条件是 A=C#0; B =0; D2 +E2 -4AF >0.4.过两圆的公共点的圆系方程：设OCi： x

12、2+y2+D1x+E1y+F1=0, OC2： x2+y2+D?x+E?y+F2= 0,则经过两圆公共点的圆系方程为 (x2+y2+D1x+Ey+F1)+ 九(x2+y2+D»+E2y+F2)=0(九 =1).例1.根据下列条件，求圆的方程.(1)经过A(6, 5), B(0, 1)两点，并且圆心在直线3x+10y + 9=0上.(2)经过P(-2, 4), Q(3, 1)两点，并且在x轴上截得的弦长为 6.练习：求过点A (2, 3) , B (2, 5),且圆心在直线 x 2y3=0上的圆的方程.例2：已知圆x2+y2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P, Q两点，且O

13、PLOQ (。为坐标原点)，求该圆的圆心 坐标及半径.练习： 已知圆 C: (x-1) 2+(y-2)2=25 及直线 l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4 (m C 电(1)证明：不论 m取什么实数，直线l与圆C恒相交；(2)求直线l被圆C截得的弦长的最短长度及此时的直线方程例3:知点P (x, v)是圆(x+2)2+y2=l上任意一点.(1)求P点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值和最小值；(2)求x-2y的最大值和最小值;(3)求经的最大值和最小值x -1练习：已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+|=0.(1)求y-x的最大值和最小值；(2)求x2+y2的最大值和最小值,

14、例4:设圆满足：截y轴所得的弦长为2;被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为 3： 1.在满足条件 的所 有圆中，求圆心到直线 l: x 2y=0的距离最小的圆的方程。练习：如图，图。1和圆。2的半径都等于1,。1。2=4,过动点P分别作圆。1和圆。2的切线PM、PN(M、N为 切点)，使得PM = /2 PN ,试建立平面直角坐标系，并求动点P的轨迹方程.P知识点四：线与圆、圆与圆的位置关系1 .直线与圆的位置关系将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程，设它的判别式为,圆心C到直线l的距离为d,则直线与圆的位置关系满足以下关系：相切 u d = = 0；相交 u u；相离 u u2 .圆与圆的位置

15、关系设两圆的半径分别为 R和r(R>r)圆心距为d,则两圆的位置关系满足以下条件：外离 u d > R+ r；外切 a；相交 u；内切 u；内含 u。3 .圆的切线方程(1)过圆x2 +y2 =r2上的点P(xo,y0)的切线方程为：XoX + yoy = r2.(2)过圆(x a)2 +(y _b)2 =r2上的点 P(x°, y°)的切线方程为:(x -3)(X0 a) +(y b)(y0 b) = r2(3)过圆x2+y2+Dx +Ey+F =0上的点P(x0, y°)的切线方程为：D(x° x) E(y° y) x0x +

16、y0y + F = 0 .22A,B则直线AB的方程为222 .(4)右P(x0,y°)是圆x +y =r外一点，由P(x°, y°)向圆引两条切线，切点分别为 2 xx0 yy0 ' r222. 若P(x0,y°)是圆(x -a) +(y-b) =r外一点，由P(x°, y°)向圆引两条切线，切点分别为A,B则直线AB2的万程为(x0 - a)( x - a) (y0 - b)( y - b) = r (6)当点P(x0,y°)在圆外时，可设切方程为 y -y0 =k(x-x0),利用圆心到直线距离等于半径，即d

17、=r,求出k ；或利用4=0,求出k .若求得k只有一值，则还有一条斜率不存在的直线x = x°.例1：过。：x2+y2=2外一点P(4, 2)向圆引切线.(1)求过点P的圆的切线方程.(2)若切点为Pi、P2求过切点Pl、P2的直线方程.【举一反三】1.已知点P(1,222)和圆 C： x2+y2+ kx + 2y+k2 = 0 ,过P作C的切线有两条，则 k的取值范围是()A.k C R2.3B .kv32 3C .-:二 k :二 032.设集合A=(x,y)|x2+ y2< 4,B=(x,y)|(x 1)2+ (y- 1)2<2(r>0),当 An B=B

18、时，r 的取值范围是A. (0,也1) B. (0, 1C. ( 0, 2-2 D. (0, V2 3.若实数x、y满足等式(x-2)2 = 3 ,那么y的最大值为()x1A.一2-3、4.过点M(3,)且被圆x2y2=25截得弦长为8的直线的方程为22225.圆心在直线x-y-4=0上，且经过两圆 x +y 4x3=0和x+y 4y 3 = 0的交点的圆的万程是例2:求经过点A(4, 1),且与圆：x2+y2+2x6y + 5=0相切于点B(1 , 2)的圆的方程.练习：求圆心在直线5x-3y=8上，且与坐标轴相切圆的标准方程.例3:已知直线l: y=k(x + 2、；2)(k w短圆O：

19、x2 + y2=4相交于A、B两点，O为坐标原点.4AOB的面积为S. (1)试将S表示为k的函数S(k),并求出它的定义域.(2)求S(k)的最大值，并求出此时的 k值.练习：点P在直线2x+y+10=0上，PA、PB与圆x2+y2 =4相切于A、B两点，求四边形PAOB面积的最 小值.例 4:已知圆 C 方程为：x2 +y2 2x 4y 20 =0,直线 l 的方程为：(2m+1)x+(m + 1)y 7m4=0.(1)证明：无论 m取何值，直线l与圆C恒有两个公共点。(2)求直线l被圆C截得的线段的最短长度，并求出此时的 m值.练习：已知圆系x2 +y2 2ax+2(a2)y+2=0,其中aw归aC R,则该圆系恒过定点 海豚教育错题汇编1.在棱长为 a的正方体 ABCD AiBiCiDi中，M为AB的中点，则点 C到平囿