7.1,复数概念及四则运算（解析版）

1、本文格式为word版，下载可任意编辑7.1,复数概念及四则运算（解析版） 7.1 复数的概念及四则运算 1. 复数的概念；2. 复数的分类；3. 复数相等的条件；4. 复数与复平面内点的关系；5. 复数模的计算；6. 复数与平面对量的一一对应；7. 复数模的几何意义的应用；8. 复数的代数形式的加减运算；9. 复数加减法及复数模的几何意义；10. 复数代数形式的乘除法运算；11. 虚数单位的幂的周期性；12. 共轭复数；13. 复数代数形式的四则运算；14. 复数的综合应用. 一、单选题 1（2021河南新乡县一中期末（文）1 32ii+= （ ） a3 12 2i - b3 12 2i +

2、c3 12 2i - - d3 12 2i - + 【答案】a 【解析】 依据复数的除法运算法则，可得复数1 3 (1 3 ) 3 12 2 ( ) 2 2i i iii i i+ - += = -× -. 故选：a. 2（2021河南平顶山期末（文）已知复数 z满意4zi -i，则 z的虚部为（ ） a4i b4 c1 d1 【答案】b 【解析】 由复数4zi -i，得2(4 ) 4 1 4 z i i i i i = - = - = + ， 所以复数 z的虚部为 4 故选：b 3（2021黑龙江龙凤大庆四中月考（文）若复数 z 满意 1 zi i = - （ i 为虚数单位），则

3、其共轭复数 z 的虚部为（ ） a i - b i c 1 - d 1 【答案】d 【解析】 由 zi1i，z( )( )1 11i i iii i i- - -= = - - ，所以共轭复数 z =-1+ i ，虚部为 1 故选 d 4（2021内蒙古扎鲁特旗扎鲁特一中期末（文）复数12 z i = - ，212z i = - ，则1 2z z = （ ） a52i - b522i - c 1 i + d512i - 【答案】a 【解析】 21 21 1 5(2 ) 1 22 2 2z z i i i i iiæ ö= - - = - - + = -ç 

4、7;è ø 故选：a 5（2021湖北张湾十堰东风高级中学月考）已知复数 z 满意 (1 ) z i i × - = ，则 z-= （ ）. a22 b1 c2 d2 【答案】a 【解析】 ( )( )( )1 11 1 1 2i i i izi i i+ - += = =- - + 所以2 21 1 2| |2 2 2z- æ ö æ ö= + =ç ÷ ç ÷è ø è ø 故选：a 6（2021黑龙江龙凤大庆四中月考（理）在复平面内，复数2

5、1ii +对应的点位于（ ） a第一象限 b其次象限 c第三象限 d第四象限 【答案】a 【解析】 在复平面内，复数21ii +=( )( )( )2 11+1 1i iii i-=+ - 复数所对应的点（1，1）位于第一象限 故选：a 7（2021黑龙江龙凤大庆四中月考（理）已知 i为虚数单位，复数 z满意 ( ) 1 2 2 i z i - = + ，则 z z× = ( ) a4 b2 c 4 - d 2 - 【答案】a 【解析】 ( ) 1 2 2 i z i - = + ，( )( )( )( )2 1 1 2 221 1 1i i iz ii i i+ + + = = =

6、- - +，2 z i = -，4 z z × =. 故选:a. 8（2021河北枣强中学其他（文）已知复数21izi=+（ i 为虚数单位），则 z z× = （ ） a2 b2 c1 d12 【答案】b 【解析】 由题意知2 221 2izi= = =+， 利用性质2z z z × = ，得2 z z × =， 故选：b 9（2021湖北襄城襄阳四中其他（理）已知复数 ( )(1 2 ) ( ) z a i i a r = + - Î 的实部为 3，其中 i 为虚数单位，则复数 z 的虚部为（ ） a 1 - b -i c 1 d i 【答

7、案】a 【解析】 【详解】 ( )(1 2 ) 2 (1 2 ) z a i i a a i = + - = + + - ， 2 3 1 a a + = = 1 2 1 a - =- . 故选：a. 10（2021江西期末（理）若复数22a izi+=-为纯虚数（ a r Î ，i 为虚数单位），则复数 1 z i + + 的虚部为（ ） a 2i b2 c 3i d3 【答案】b 【解析】 ( )( )( )( )( ) 2 2 4 2 2 22 2 2 5 5a i i a a i ai i ii + + + + -= = +- - +为纯虚数,2 205a-= 且405a +&

8、#185; , 解得 1 a = , z i = , 1 1 2 z i i + + = + ,其虚部为 2. 故选：b. 二、多选题 11（2021江苏泰州期末）已知复数 1 z i = + （其中 i 为虚数单位），则以下说法正确的有（ ） a复数 z 的虚部为 i b 2 z = c复数 z 的共轭复数 1z i = - d复数 z 在复平面内对应的点在第一象限 【答案】bcd 【解析】 由于复数 1 z i = + ， 所以其虚部为 1 ，即 a错误； 2 21 1 2 z = + = ，故 b 正确； 复数 z 的共轭复数1 z i = -，故 c 正确； 复数 z 在复平面内对应的

9、点为 ( ) 1,1 ，明显位于第一象限，故 d正确. 故选：bcd. 12（2021江苏宿迁期中）已知1z ，2z 为复数，下列命题不正确的是（ ） a若1 2z z = ，则1 2= z z b若1 2= z z，则1 2z z = c若1 2z z > 则1 2z z > d若1 2z z > ，则1 2z z > 【答案】bcd 【解析】 由于两个复数之间只有等与不等，不能比较大小，所以 c、d两项都不正确； 当两个复数的模相等时，复数不肯定相等， 比如 1 1 i i - = + ，但是 1 1 i i - ¹ + ，所以 b 项是错误的； 由于当两

10、个复数相等时，模肯定相等，所以 a 项正确； 故选：bcd. 13.（2021烟台市训练科学讨论院期末）下面关于复数的四个命题中，结论正确的是（ ） a若复数 z r Î ，则 zr Î b若复数 z 满意2z Îr ，则 z r Î c若复数 z 满意1rzÎ ，则 z r Î d若复数1z ，2z 满意1 2z z r Î ，则1 2z z = 【答案】ac 【解析】 a选项，设复数 ( , ) z a bi a b r = + Î ，则 ( i , ) z a b a b = - Îr ，由于 z

11、r Î ，所以 0 b=，因此 za r = Î，即 a正确； b 选项，设复数 ( , ) z a bi a b r = + Î ，则 ( )22 2 22 z a bi a b abi = + = - + ， 由于2z Îr ，所0 ab= ，若0, 0 a b = ¹ ，则 zr Ï ；故 b 错； c 选项，设复数 ( , ) z a bi a b r = + Î ，则2 2 2 2 2 21 1 a bi a biz a bi a b a b a b-= = = -+ + + +， 由于1rzÎ ，所以2

12、 20ba b=+，即 0 b= ，所以 z a r = Î ；故 c 正确； d选项，设复数1( , ) z a bi a b r = + Î ，2( , ) z c di c d r = + Î ， 则 ( )( ) ( ) ( )1 2z z a bi c di ac bd ad bc i = + + = - + + ， 由于1 2z z r Î ，所以0 ad bc + = ，若11ab= ìí=î，22cd= ìí= -î能满意 0 ad bc + = ，但1 2z z ¹

13、，故 d错误. 故选：ac. 14（2021江苏镇江期末）已知复数1 32 2i w = - + （i 是虚数单位）， w 是 w 的共轭复数，则下列的结论正确的是（ ） a2w w = b31 w = - c21 0 w w + + = d ww > 【答案】ac 【解析】 1 32 2i w = - + 所以1 32 2i w = - -， 21 3 3 1 34 2 4 2 2i i w w = - - = - - = ，故 a 正确， 3 21 3 1 3 1 312 2 2 2 4 4i i w w wæ öæ öæ ö

14、;= = - - - + = - - =ç ÷ç ÷ ç ÷è øè øè ø，故 b 错误， 21 3 1 31 1 02 2 2 2i i w w + + = - - - + + = ，故 c 正确， 虚数不能比较大小，故 d错误， 故选：ac . 三、填空题 15（2021北京平谷期末）已知复数2 iiz-= ，那么 | | z = _ 【答案】 5 【解析】 由于222 21 2i i iz ii i- -= = = - - ， 所以 |z| 5 = 故答案为： 5

15、16（2021湖北张湾车城高中月考（理）已知复数 z 满意 ( ) 1 1 i z i - = + （ i 为虚数单位），则 z 的实部为_ 【答案】22 【解析】 ( ) 1 1 i z i - = + ，( )( )( )1 2 1 2 2 21 1 1 1 2 2i iz ii i i i+ + = = = = +- - - +， z 的实部为22. 故答案为：22. 17（2021江苏南通其他）已知复数 z的实部为 0，且满意 ( ) 1 4 i z a i + = - ，其中 i 为虚数单位，则实数 a的值是_. 【答案】 4 . 【解析】 设 z bi = ， b r Î

16、 . 由 ( ) 1 4 i bi b bi a i + =- + = - ，得 4 b=- ， 4 a b = - = . 故答案为： 4 . 四、双空题 18（2021浙江省杭州其次中学高三其他）1 32izi+=+，则 z 的共轭复数 z = _， z z× = _. 【答案】 1 i - 2 【解析】 2 21 3 (1 3 )(2 ) 2 6 312 2 1 5i i i i iz ii+ + - + - += = = = + +， 所以1 z i = -， 2 21 1 2 z z × = + =， 故答案为： 1 i - ； 2 . 19（2021浙江高三其他

17、）已知复数 1 z a ai = + + （ a r Î ， i 为虚数单位），若 z 为纯虚数，则 a = _，z = _. 【答案】-1 1 【解析】 复数 1 z a ai = + + （ a r Î ， i 为虚数单位）为纯虚数，则 1 0 a + = 且 0 a ¹ ，故 1 a=- ， 1 z = . 故答案为：-1，1. 20（2021浙江高三开学考试）已知复数 z ：满意 1 ) 3 i z i + = + （ （ i 为虚数单位），则复数 z 的实部为_， z = _. 【答案】 2 5 【解析】 由于复数 z 满意 1 ) 3 i z i +

18、= + （ ， 所以( )( )3 1 ) 321 1 1 )i i iz ii i i+ - += = = -+ + -（， 所以( )( )23 1 ) 32 1 51 1 1 )i i izi i i+ - += = = + =+ + -（. 故答案为： 2 ； 5 21（2021浙江杭州高三三模）已知 , a bÎr ，复数 z a i = - 且 11zbii= +（ i 为虚数单位），则 ab=_， z = _ 【答案】 6 ab=- 10 z = 【解析】 复数 z a i = - 且 11zbii= + ( )(1 ) ( 1) ( 1)11 2 2a i a i i

19、 a a ibii- - - - - += = = + 11212aab-=+- = 32ab= - 6 ab=- ，2 23 ( 1) 10 z = + - = 故答案为 6 - ， 10 五、解答题 22（2021江苏宿迁期中）已知复数 ( ) ( )2 23 18 3 , z m m m m i m r = + - + - Î ，其中 i 为虚数单位. （1）若复数 z 是实数，求实数 m 的值； （2）若复数 z 是纯虚数，求实数 m 的值. 【答案】（1） 0 或 3 ；（2） 6 - . 【解析】 （1）若复数 z 是实数，则23 0 m m - = 所以 0 m= 或

20、3 m= . （2）若复数 z 是纯虚数，则223 03 18 0m mm mì - ¹í+ - =î 所以 6 m=- . 23（2021西安市长安区第五中学月考（文）如图所示，平行四边形 oabc，顶点 o，a，c 分别表示 0,32i，24i，试求： (1) , ao bc 所表示的复数； (2)对角线 ca 所表示的复数； (3)b 点对应的复数 【答案】(1) 32i (2) 52i (3) 16i 【解析】 (1) aooa = -，所以 ao 所表示的复数为32i. 由于 bcao =，所以 bc 所表示的复数为32i. (2) caoa

21、oc = -，所以 ca 所表示的复数为(32i)(24i)52i. (3) oboa oc = +，所以 ob 所表示的复数为(32i)(24i)16i， 即 b 点对应的复数为 16i. 24（2021湖北张湾车城高中月考（理）已知复数( )2262 153m mz m m im- -= + - -+（ i 是虚数单位） （1）复数 z 是实数，求实数 m 的值； （2）复数 z 是虚数，求实数 m 的取值范围； （3）复数 z 是纯虚数，求实数 m 的值. 【答案】（1） 5 m= ；（2） 5 m¹ 且 3 m¹ - ；（3） 3 m= 或 2 . 【解析】 （1）

22、复数 z 是实数，则22 15 03 0m mmì - - =í+ ¹î， 解得 5 m= ； （2）复数 z 是虚数，则22 15 03m mmì - - ¹í¹ -î， 解得 5 m¹ 且 3 m¹ - ； （3）复数是纯虚数，则226 032 15 0m mmm mì - - =ï¹ -íï- - ¹î， 解得 3 m= 或 2 25（2021江苏徐州期末）复数 ( ) ( ) ( )21 5 2 6 15 z

23、 i m i m i = + + - + - （1）实数 m取什么数时，z是实数； （2）实数 m取什么数时，z是纯虚数； （3）实数 m取什么数时，z对应的点在直线 7 0 x y + + = 上 【答案】（1） 5 m= 或 3 - ；（2） 2 m=- ；（3）12m = 或 2 - 【解析】 复数2 2 2(1 ) (5 2 ) (6 15 ) ( 5 6) ( 2 15) z i m i m i m m m m i = + + - + - = + + + - - （1）由22 15 0 m m - - =，解得 5 m= 或 3 - 5 m = 或 3 - 时，复数 z 为实数 （2

24、）由225 6 02 15 0m mm mì + + =í- - ¹î，解得 2 m=- 2 m =- 时，复数 z 为纯虚数 （3）由2 2( 5 6) ( 2 15) 7 0 m m m m + + + - - + = 化为：22 3 2 0 m m + - =， 解得12m = 或 2 - 12m = 或 2 - ， z 对应点在直线 7 0 x y + + = 上 26（2021河南郑州期中（文）已知 ( ) ( )21 216 2= 10 , 2 5 , ,5 1z a i z a i a r ia a- - = + - Î+ -为虚数单位.若1 2z z +是实数. （1）求实数 a 的值； （2）求1 2z z × 的值. 【答案】（1）3；（2） 3 i - + . 【解析】 （1） ( )2116105z a ia= - -+， ( )222 51z a ia= + -， ( ) ( ) ( ) ( )2 21 216 2 16 210 2 5 2 5 105 1 5