第五章 测量误差的基本知识

1、第五章第五章 测量误差的基本知识测量误差的基本知识 建筑工程测量建筑工程测量 李仲李仲 主编主编本章要目本章要目n测量误差的概述；测量误差的概述；n衡量精度的指标；衡量精度的指标；n算术平均值及其中误差；算术平均值及其中误差；n误差传播定律的概念和应用；误差传播定律的概念和应用；5.1 5.1 测量误差的概述测量误差的概述引子：测量误差及其来源引子：测量误差及其来源1.1.两个事实：两个事实：重复重复 观测值之间的差异观测值之间的差异观测值与理论值之间的差异观测值与理论值之间的差异2.2.测量误差的客观性：测量误差的客观性： 用重复观测、多余观测导致的差异，发现或反用重复观测、多余观测导致的差

2、异，发现或反映了测量误差的客观存在。映了测量误差的客观存在。一、测量误差产生的原因观测者感官鉴别能力限制观测者感官鉴别能力限制测量仪器制造工艺误差：测量仪器制造工艺误差：外界环境变化外界环境变化以上称为观测条件。以上称为观测条件。n观测条件的客观性决定测量误差的客观性。观测条件的客观性决定测量误差的客观性。n观测条件相同，观测值的精度相同，称为同观测条件相同，观测值的精度相同，称为同精度观测值。精度观测值。n否则是不等精度观测。否则是不等精度观测。研究测量误差的目的研究测量误差的目的n误差不可避免。误差不可避免。n测量的目标：测量的目标：n研究误差的分类，针对不同误差采取不同的措研究误差的分类

3、，针对不同误差采取不同的措施，以达到消除或减小误差对测量成果的影响施，以达到消除或减小误差对测量成果的影响的目的。的目的。二、二、 测量误差的分类测量误差的分类测量误差按其对测量误差按其对测量成果质量测量成果质量的影响性质，分为的影响性质，分为: :n系统误差系统误差: :n偶然误差偶然误差: :n粗差粗差: :测量误差按其表示形式，分为测量误差按其表示形式，分为: :n绝对误差绝对误差: :n相对误差相对误差: :还可以按误差来源、计算原理和应用范围等分类还可以按误差来源、计算原理和应用范围等分类: :n仪器误差、人为误差、环境误差；真误差、最或是仪器误差、人为误差、环境误差；真误差、最或是

4、误差、中误差、极限误差、容许误差；测距误差、误差、中误差、极限误差、容许误差；测距误差、测角误差、高差误差、坐标误差、高程误差等。测角误差、高差误差、坐标误差、高程误差等。1 1、系统误差、系统误差: :2 2、偶然误差、偶然误差: :2 2、偶然误差、偶然误差: :另外，还有粗差：另外，还有粗差：测量平差测量平差n在观测过程中，粗差、系统误差和偶然误差往在观测过程中，粗差、系统误差和偶然误差往往是同时存在的。往是同时存在的。n对一组剔除了粗差的观测值，首先应寻找、判对一组剔除了粗差的观测值，首先应寻找、判断和排除系统误差，或将其控制在允许的范围断和排除系统误差，或将其控制在允许的范围内，然后

5、根据内，然后根据偶然误差的特性偶然误差的特性（？）对该组观）对该组观测值进行数学处理，求出最接近未知量真值的测值进行数学处理，求出最接近未知量真值的估值，称为最或是值；同时，评定观测结果质估值，称为最或是值；同时，评定观测结果质量的优劣，即评定精度。量的优劣，即评定精度。n这项工作在测量上称为测量平差，简称平差。这项工作在测量上称为测量平差，简称平差。 三、三、 偶然误差的特性偶然误差的特性次观测值为三角形三个内角的各、式中：iiiiiiicbacba1801.1.三角形内角和观测误差三角形内角和观测误差统计表统计表误差区间d负 误 差正 误 差个数k相对个数个 数k相对个数0.00.20.2

6、0.40.40.60.60.80.81.01.01.21.21.41.41.61.6以上4540332317136400.1260.1120.0920.0640.0470.0360.0170.0110.0004641332116135200.1280.1150.0920.0590.0450.0360.0140.0060.000总和1810.5051770.495(频频率率) )nk0- 0.2-0.6-1.0-1.40.20.61.01.4 2.2.三角形内角和观测误差三角形内角和观测误差频率直方图频率直方图n有界性有界性：在一定观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值。n密集性密集性：

7、绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多。 (趋向性)n对称性对称性：绝对值相等的正、负误差出现的机会相等。n抵偿性抵偿性：在相同观测条件下（等精度观测），偶然误差的算术平均值随着观测次数的无限增多而趋于零。 0limlim21nnnnn偶然误差的特性偶然误差的特性：3.3.偶然误差偶然误差分布密度曲线分布密度曲线- -高斯正态分布高斯正态分布 22221)(ef理论分布函数：理论分布函数：第二节第二节 衡量精度的指标衡量精度的指标 什么是精度？什么是精度？在测量中，又称精密度，对某一量多次观测值之间在测量中，又称精密度，对某一量多次观测值之间的离散程度。集中则精密度高，离散精密度低。的离散

8、程度。集中则精密度高，离散精密度低。精度主要取决于偶然误差。精度主要取决于偶然误差。在相同的观测条件下的一组观测，都有相同的精度。在相同的观测条件下的一组观测，都有相同的精度。衡量观测值精度的方法：衡量观测值精度的方法：误差分布表误差分布表频率直方图频率直方图数值指标数值指标（衡量精度的指标）（衡量精度的指标） 设在同精度观测下出现一组偶然误差设在同精度观测下出现一组偶然误差 ,中误差由各个真误差平方的平均值计算，又称标中误差由各个真误差平方的平均值计算，又称标准差。准差。 n,21nm一、中误差一、中误差用真误差计算中误差用真误差计算中误差：必须知道真值。：必须知道真值。第一组观测第二组观测

9、次数观测值真误差次数观测值真误差118000002 -2118000001 -1218000003 -3217905958+2317905959 +1318000008-8417905957 +3418000002 -2518000001-1518000001-16180000000617905958+2718000003-3717905953+7817905957 +3818000000 0917905958 +2918000002 -21018000001-11017905959 +1n两组观测值中误差：两组观测值中误差：36 . 371 . 221 nmnm 第一组观测值精度高于第二组。

10、中误差能突出反映大误差的影响。n根据偶然误差的第一个特性，在一定观测条件下，根据偶然误差的第一个特性，在一定观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值，该限值偶然误差的绝对值不会超过一定的限值，该限值称为极限误差，简称限差。限差是偶然误差限制称为极限误差，简称限差。限差是偶然误差限制值，用作值，用作观测成果取舍观测成果取舍的标准。的标准。误差出现在误差出现在K K倍中误差区间内的倍中误差区间内的概率为：概率为：kmkmmdemkmP22221)(将将K=1K=1、2 2、3 3分别代入上式，可得到偶然误差分别分别代入上式，可得到偶然误差分别出现在一倍、二倍、三倍中误差区间内的概率：出现在一

11、倍、二倍、三倍中误差区间内的概率： P(|P(| | | m)=0.683=68.3 m)=0.683=68.3 P(| P(| | | 2m)=0.954=95.4 2m)=0.954=95.4 P(| P(| | | 3m)=0.997=99.7 3m)=0.997=99.7 在实际测量工作中由于观测次数有限，绝对值大于三在实际测量工作中由于观测次数有限，绝对值大于三倍中误差的偶然误差出现的机会很小，所以通常取倍中误差的偶然误差出现的机会很小，所以通常取三倍中误差作为偶然误差的极限误差的三倍中误差作为偶然误差的极限误差的估值估值。三、相对误差三、相对误差n绝对误差：绝对误差：在测量中不考虑

12、某量的大小，而只考虑该量的近似值对其准确值的误差本身的大小。真误差、中误差、极限误差。即绝对误差绝对误差的大小不能反映与观测量的大小的关系观测量的大小的关系。所以，在有些情况下，绝对误差并不能全面反映观测精度。n例如：分别丈量两段不同距离，一段为100m，一段为200m，中误差都是0.02m。此时是否能认为两段距离观测结果的精度相同？n必须引入相对误差的概念，目的是为了更客观地反映实际测量精度。绝对误差的绝对值与观测值之比，用分子为绝对误差的绝对值与观测值之比，用分子为1 1的分的分数形式表示。无量纲。分母越大，相对误差越小，数形式表示。无量纲。分母越大，相对误差越小，精度越高。分子是中误差则

13、有：精度越高。分子是中误差则有：10000120002. 05000110002. 012211lmKlmKmllmK相对闭合差：距离往返测量的较差的绝对值为分子。相对闭合差：距离往返测量的较差的绝对值为分子。相对容许误差：容许误差的绝对值为分子。相对容许误差：容许误差的绝对值为分子。相对误差（相对误差（K K）的定义）的定义第三节第三节 观测值的算术平均值及其中误差观测值的算术平均值及其中误差 1 1、算术平均值、算术平均值XlXlXlnn.2211： Xnln当观测次数无限增大时，根据偶然误差第四特性，当观测次数无限增大时，根据偶然误差第四特性，有有 XnlXnlnnnnlim0)(lim

14、lim 当观测次数有限时，通常取算术平均值为最可最可靠值（最或是值）靠值（最或是值），作为测量的最终结果。算算术平均值一般用术平均值一般用 表示。表示。n或nlllXn.21 nlX X2 2、同精度测量成果的精度评定、同精度测量成果的精度评定（1 1）观测值的精度评定：）观测值的精度评定：1)(22nvvm或观测值中误差：观测值中误差： 1nvvm最或是误差：最或是误差：观测值与最或然值的差值。用符号“v”表示。iilXv证明证明: :1122nnvXlvXlvXlL(1)(2)XlXlXlnn.22111122()()()nnvXXvXXvXX L1122()().()nnvX XvX X

15、vX X (3)(4)2()2 ()vvnXXXXv （4）式两边平方，求和因为：因为：v=0v=0， 所以：所以：所以所以22()()vvvvn XXXXnn 2xvvmnn22vvmmnn1nvvm2().xxXX用m 代替，其中m 为算术平均值中误差计算观测值中误差例子 毫米16. 3232. 615401nvvm452.123/ nlLn一、已知真值X，则真误差 n二、观测值中误差 XliinmilXivnlX1nvvmn一、真值不知，则 n二、观测值中误差 2 2、同精度测量成果的精度评定、同精度测量成果的精度评定第四节第四节 误差传播定律误差传播定律1.1.倍数函数倍数函数2.2.

16、和差函数和差函数 3.3.一般线性函数一般线性函数nnxZxZxZKKK.2211nKnxxZZ2nmnmxxxZZZ22222xZmKm xZKmm nnnyxZyxZyxZ.222111nnnnyxyyxxZZ222222222yxZyxyxZmmmmmnyxmmm222221.21nxxxZnmmmmxxxZxZxZmnmnmm22xxxxmmmmn.21nnxKxKxKZ.221122222112.nnZmKmKmKm ) 1(11.11.2222222221nnvvnmMmnmnmnmnMnlllXn推导结果：误差传播律：列函数式： 算术平均值中误差与观测次数的平方根成反比，算术平均

17、值的精度比各观测值的精度提高了 倍。n算术平均值的精度评定：算术平均值的精度评定：nndxxfdxxfdxxfdZ.2211 由于非线性函数的真误差关系式难于表达，考由于非线性函数的真误差关系式难于表达，考虑到真误差是个小量，真误差关系式可用全微虑到真误差是个小量，真误差关系式可用全微分近似表达：分近似表达：nnZxxfxxfxxf.22112222222112.mxfmxfmxfmZ22222221212znnfffmmmmxxxL2222221212znnfffmmmmxxx L2221mm 22212nmmmL2222222121nnmKmKmK函 数 名 称函 数 式中 误 差 传 播

18、 公 式倍数函数倍数函数和差函数和差函数 线性函数线性函数非线性函数非线性函数Z=KxZ=x1x2Z=x1x2xn Z=K1x1K2x2KnxnZ=f (x1,x2xn )mZ=Kmmz=mz=mz=2222222121nnmxfmxfmxfmz=误差传播定律的广泛应用：求观测值函数的中误差；误差传播定律的广泛应用：求观测值函数的中误差；研究容许误差的确定；分析观测可能达到的精度研究容许误差的确定；分析观测可能达到的精度四、误差传播定律的应用四、误差传播定律的应用例例1 1：倍数函数：倍数函数：量得量得 1:1000 1:1000 地形图上两点间长度地形图上两点间长度l l = =168.5mm168.5mm 0.2mm,0.2mm, 计算该两点实地距离计算该两点实地距离S S及其中误差及其中误差m ms s：m2 . 0m5 .168m2 . 0mm2002 . 01000100010001000SmmddlSlSlS解：解：列函数式列函数式: : 求全微分：求全微分： 中误差式：中误差式： 例例2 2：和差函数：和差函数：设对某一个三角形观测了其中设对某一个三角形观测了其中 ， 两个角，测角中误差两个角，测角中误差分别为分别为 ： 现按公式现按公式 =1