Chapter(静电场标势微分方程)

1、1第二章第二章 静电场静电场本章内容：电磁场的基本理论应用本章内容：电磁场的基本理论应用到最简单的情况：电荷静止，相应到最简单的情况：电荷静止，相应的电场不随时间而变化的情况。的电场不随时间而变化的情况。本章研究的主要问题：在给定的自本章研究的主要问题：在给定的自由电荷分布以及周围空间介质和导由电荷分布以及周围空间介质和导体分布的情况下，求解静电场。体分布的情况下，求解静电场。21. 静电场标势微分方程静电场标势微分方程2. 唯一性定理唯一性定理3. 分离变量法分离变量法4. 镜像法镜像法5. 格林函数法格林函数法6. 电多级矩电多级矩本章具体内容：本章具体内容：3第一节第一节 静电场的标势及

2、其微分方程静电场的标势及其微分方程4在静止情况下，电场与磁场无关，在静止情况下，电场与磁场无关，麦氏方程组的电场部分为麦氏方程组的电场部分为这两方程连同介这两方程连同介质的电磁性质方质的电磁性质方程是解决静电问程是解决静电问题的基础。题的基础。静电场的无旋性是它的一个重要特静电场的无旋性是它的一个重要特性，由于无旋性，我们可以引入一性，由于无旋性，我们可以引入一个标势来描述静电场，和力学中用个标势来描述静电场，和力学中用势函数描述保守力场的方法一样。势函数描述保守力场的方法一样。0 E D一、静电场的标势一、静电场的标势 E5 21dPPlE 21d)()(12PPlEPP 把单位正电荷由把单

3、位正电荷由P1点移点移至至P2点，电场点，电场E对它所作对它所作的的功功为为这功定义为这功定义为P1点和点和P2点点的的电势差电势差。若电场。若电场对电荷做了正功，则电对电荷做了正功，则电势势下降。由此下降。由此6 PlEPd)( 由这定义，由这定义，只有两点的电势差才有只有两点的电势差才有物理意义物理意义，一点上的电势的绝对数值是，一点上的电势的绝对数值是没有物理意义的。参考点的选择是任意的，没有物理意义的。参考点的选择是任意的，在电荷分布于有限区域的情况下，常常选无在电荷分布于有限区域的情况下，常常选无穷远点作为参考点。令穷远点作为参考点。令 ( )=0有有7 0dlE 120CCdlEd

4、lE 12ddCClElE无旋性的积分形式是电场无旋性的积分形式是电场沿任一闭合回路的环量等沿任一闭合回路的环量等于零，即于零，即设设C1和和C2为为P1和和P2点的两点的两条不同路径。条不同路径。C1与与C2合成合成闭合回路，因此闭合回路，因此电荷由电荷由P1点移至点移至P2点时电场点时电场对它所作的功与路径无关，对它所作的功与路径无关，只和两端点有关。只和两端点有关。8lEdd lzzyyxxddddd E相距为相距为dl的两点的的两点的电势差电势差由于由于因此，因此，电场强度电场强度E等于电势等于电势的负梯度的负梯度当已知电场强度时，可以求出电势；反过来，已当已知电场强度时，可以求出电势

5、；反过来，已知电势知电势时，通过求梯度就可以求得电场强度。时，通过求梯度就可以求得电场强度。90 E E0 ED lEdd PlEPd)( 21d)()(12PPlEPP 10点电荷点电荷Q激发的激发的电场强度电场强度rrQE304 其中其中r为源点到场点为源点到场点的距离。把此式沿径的距离。把此式沿径向场点到无穷远点积向场点到无穷远点积分，电势为分，电势为rQrrQPr0204d4)( 11一组点电荷一组点电荷Qi激发的激发的电势电势 iiirQP04)( 若电荷连续分布，电荷密度若电荷连续分布，电荷密度为为，设，设r为源点为源点x到场点到场点x的的距离，则场点距离，则场点x处的电势为处的电

6、势为 rVxx04d)()( 12二、静电势的微分方程和边值关系二、静电势的微分方程和边值关系均匀各向同均匀各向同性线性介质性线性介质ED 代入代入 2其中其中为自由电荷密度。泊松方程是静电势满足的基本为自由电荷密度。泊松方程是静电势满足的基本微分方程。给出边界条件就可以确定电势微分方程。给出边界条件就可以确定电势的解。的解。 D得泊松方程得泊松方程13通过转换获得两介质界通过转换获得两介质界面上电势面上电势必须满足边值必须满足边值关系关系 )(0)(1212DDnEEn14法向电场不连续法向电场不连续 nn112202121 PPE 电荷沿法线方向移动电荷沿法线方向移动, 切切线分量不做功，

7、沿法线线分量不做功，沿法线方向做功为零（因电场方向做功为零（因电场有限，且间距趋于零）有限，且间距趋于零）21 15导体的特殊性导体的特殊性1、导体内部不带电，电荷只能分布于导体表面上；、导体内部不带电，电荷只能分布于导体表面上；2、导体内部电场为零；、导体内部电场为零；3、导体表面上电场必沿法线方向，因此导体表面为、导体表面上电场必沿法线方向，因此导体表面为等势面，整个导体的电势相等。等势面，整个导体的电势相等。设导体表面所带电荷面密度为设导体表面所带电荷面密度为，设它外面的介质电容，设它外面的介质电容率为率为，导体表面的边界条件为，导体表面的边界条件为C n16三、静电场能量三、静电场能量

8、 VDEWd21 )( )(DDDDDE由由E=-和和D= 得得因此因此VDVWd )(21d21 17式中右边第二项散度体积分化为面积分式中右边第二项散度体积分化为面积分0dd)( rSDVD 所以所以 VWd2118例例1 求均匀电场求均匀电场E0的电势。的电势。均匀电场每一点强度均匀电场每一点强度E0相同，其电场线为平相同，其电场线为平行直线。选空间任一点为原点，并设该点上行直线。选空间任一点为原点，并设该点上的电势为的电势为0，那么任一点，那么任一点P处的电势为处的电势为xElElEPPP 00000000 dd)( 解解19若选若选 0=0，则有，则有xE 0 其中其中x为为P点的位

9、矢。注意均匀电场可以看作由无点的位矢。注意均匀电场可以看作由无穷大平行板电容器产生，其电荷分布不在有限区域穷大平行板电容器产生，其电荷分布不在有限区域内，因此不能选内，因此不能选 ( )=0.20例例2 均匀带电的无限长直导线的电荷线均匀带电的无限长直导线的电荷线密度为密度为 ，求电势。，求电势。如图，设场点如图，设场点P到导线到导线的垂直距离为的垂直距离为R，电荷，电荷元元 dz, 到到P点的距离为点的距离为22Rz 解解21 2204d)(RzzP 积分结果无穷大，无穷大的出现和电荷和积分结果无穷大，无穷大的出现和电荷和电荷不是有限区域内的分布有关。电荷不是有限区域内的分布有关。则则 )(

10、ln4)(220RzzP 22计算两点计算两点P和和P0的电势差可以不出现无穷的电势差可以不出现无穷大。设大。设P0点与导线的垂直距离为点与导线的垂直距离为R0，则，则P点和点和P0点的电势差为点的电势差为MMMRzzRzzPP 2022200ln4lim)()( 002200ln2ln4RRRR 2222022022011111111ln4limMRMRMRMRM 23若选若选P0点为参考点，规定，点为参考点，规定，00ln2)(RRR 取取的梯度得的梯度得RRER02 则则0 zEE 0)(0 R 24例例3 求带电量求带电量Q、半径为、半径为a的导体球的静电场总能量。的导体球的静电场总能量。整个导体为等势整个导体为等势体体, 导体球的电导体球的电荷分布于球面上荷分布于球面上