线性代数与解析几何考试复习资料

1、答疑题库线性代数与解析几何（二）例1试证，正交向量组一定是线性无关的。证，设：，1,2,，：飞是正交向量组，于是有 i,j 】 = 0i = j ,气，0设有数k1,k2 ,ks，使i k?： 2 一ks： s = 0，两边与:-i作内积得ki kzjks：s,i I - 0,二丨i =1,2，,s即匕' i，二丨=0，从而匕=0, i =1,2,s故A,2，/ s线性无关。注 显然，线性无关的向量级不一定是正交向量组。例2填空：已知n阶方阵A的特征值为、，匕,， n，对应的特征向量分别为 x1,x2 / ,xn. 则（1）kA（ k为常数）的特征值为 k-1,k2 ,kn，对应的特征

2、向量为 xx2，,xn ；（2）Am（ m为正整数）的特征值为1,'2,， n，对应的特征向量为 X1,X2 / ,Xn ；（3） A可逆时，A的特征值为，,，叮，对应的特征向量为 X1,X2/ ,Xn ；det A det A det A（4） A可逆时，A*的特征值为 兰y,_deLA,，对应的特征向量为X1,X2/ ,Xn_'1' 2' n（5）P为n阶可逆矩阵， PAp的特征植为 1, 2 /' , n，对塑料布的特征向量为1 1 1P X1,P X2, , P Xn ；（6） 设 f x =c0xm-c1xmJ-cmJx-cm，贝y矩 阵 多

3、项 式f A =C0 Am C! AmJcm4A cmE 的特征值为 f1 1, f 2 / , f ' n ,对应的特征向量为x1, x2 / , xn ；（7） A的特征值为1, 2,，'n。例3设A , B均为n阶正交矩阵，证明：det A =±1，且A, A*, AB, Ak （k为正整数） 均为正交矩阵。证人因 AT A 二 E, BT B 二 E，于是 det A A 二detE，即（detA$ =1，故 detA=±1.又 AT A7AtJAAt 鼻E j = E1所以A是正交矩阵。而由（A* T A* /（detAA-1 T（detAjA，）

4、=（detAf（A，j A，= E知A*正交矩阵，由于AB T AB 二 BTATAB 二 BTEB 二 BTB =E设AE是正交矩阵，由数学归纳法易证A*是正效矩阵。注即使AE均是n阶正交矩阵，但A+B不一定是正交矩阵，而A （ 为实数）仅当卩=1时才是正交矩阵，读者试证之。例4全体二维实向量集合V,加法与数乘运算定义为a,b 二 c,d = a c,b d ack a, b 二 ka,kb -a2I2 丿问V是否构成R上的线性空间？为什么？分析：需逐一验证两个封闭性及8条运算律，其中关键是零元及负元的确定，这可采用待定法，设x, y是V的零元，则对任意a,b，有a,bix,y = a, b

5、，即a x,b y a = a, b，解之得x = y= O，故（o,o）是零元，同理，为求 a,b的 负元 x, y ,由 a,b 二 x, y = 0,0,即 a x, y a = 0,0,解得x - -a, y =a2 - b，故 - a, a2 - b 是 a, b 的负元。解：显然V非空，且对所规定的两种运算封闭，因0,0且对任意 a,bV，有a,b 二 0,0 = a 0, b 0 a0 = a,b即（0,0）是V的零元；又a,bP： la,a2 b 二 a a,b a2 ba：a 二 0,0 即 a,b 的 负元为-a,a2 -b ;=a,b1 0(a,b )= 1 a,1 b

6、十1 ° 一1)a >3W,是R2 3的子空间。例6设W,W2为数域K上线性空间V的两上子空间，令W厂她=£卜且。w2）（称为w与W的交）；W 一她：°圧或：她？（称为w与W2的并）；2其余几条均可验证成立，故v构成R上的线性空间。注对于一个具体的线性空间，加法与数乘运算都要事先加以说明或规定，如果运算不是通常的运算，则相应的零元与负元可能与我们熟悉的形式不同。R2 W +她=a+a2aW1GL2eW2 （称为 W 与 W2 的和）。的下列子集是否构成子空间？为什么?（2）1b0=0cdab000cb,c, d r >a b c = 0,a,b,c R

7、 .W1解 （1）不构成子空间。因为A = B =0 °Lwi,A + B =0 0 0-LFJo Oo O2 o_即W1对矩阵加法不封闭，不构成子空间。- -o Oo Oo o_因2aibi0 'A =00 Ga b2W。001C2有 ai bi G =0,a2b? C2 =0,a +a2 d +b20A + B = I 121200& +c2a1 a2 i 亠 b b2 i 亠 Qc2 = 0 ,即kaA B 5，对任意k R有S。0【kc1且 ka1 kb| kC| = 0 ,即卩 kA W2 故问它们是否分别构成 V的子空间？如果能构成子空间，证明之；如果不能

8、，举出反例。证人（1）W, - W2是V的子空间，因 0, W.o她，所以0 W* - W2即它非空。设I, Wi - W2，则:J WL W2； 因 WiW 为子空间，故二亠卩三W,二亠；e W2，于是二亠卩=W2 W2。同样，对任意 k K，由k*三W,k W2得k W - W2，因而W, - W2的子空间。2（2） Wi - W2 不 1定是 V的子空间，如取V = R .令w =x,0 X R,W2、0,Y y R则它们均为 R'k2 +k3 +k4 =0 严+k +k° =0因系数行列式k1 k2 k4 =0k1 k2 k3 =0此方程组只有零解，故 g1,g2,g

9、3,g4线性无关。例8设V是实数域R上所有实函数的构成的线性空间，试讨论 V中元素e2x,x2,x的线性的子空间，取=1,0 J = 0,1 ，显然，1" W1 W2，但 a + P =（1,1 冋 yW2，因而W,W2不是R2的子空间。（3） W1 W2是V的子空间，这是因为，由 0 W*和0 W2得0=0 0, w W2，即W| W2非空，对任意-：z W1 W2, k K，有> f 1 ： 2,，、121, ：1 W,： 2, ：2 W2于是八4广二2 ：2 ,k> k2由于W1,W2中子空间，所以：、：1 W, ： 2： 2 W2 ,k ： W, k 2 她，从而

10、 W1 W2, W W.,故W W2是V的子空间。例7试论R2X2的元素0 1J 1G201G3<0 1丿的线性相关性。解 设实数k1,k2,k3,k4使得k1G1k2G2k3G3-k4G 0,则有相关性。，解 设实数k1, k2, k3使得ke2x - k2x2 - k3x = 0，该式对x求1阶和2阶层导数，并与原式联立得k1e2x +k2x2 + k3x =0宀駅“ +2k2x+k3 =0因系数列式,4k1e22k02x2e x x2e2x 2x 1 =2e2x（_2x2 +2x 1）芒 04e2x20齐次方程组只有零解，故 e2x,x2,x线性无关。注 一般地，若讨论函数 f1

11、x , f2 x / , fs x的线性相关性，可对诸函数分别求1阶，2阶，S-1阶导数（要求f1 x对x有S-1阶导数）。若行列式f1（x）fs（x）f1（x）fS（X）式0则f1 x , f2 x，,fs x线性无关，反之，则线性相关。例9 a+b|=|a-b的充要条件是（）（A） a =0或b =0（B） a b=0（C） a b=0（D） a = b解 a+b=ab=（a+bf=（a bf=ab=0 故选（c）该题的几何意义是以 a, b为边的平行四边形两对角线相等。例10设向量a -1,-2,2讣=,4?已知a在b上的射影是1,则，=（）。202020（A）0（ B）（ C）0 或（

12、D）333a b 5 2 丸22解丨丨ba1 故25 -20， 4' =25 '，即卩b 旧J25 7220203'2 - 20，= 0,，- 0或，如，则 5 - 2，： 0不合题意，故，-0，选（A）33a与 b上的射影不少书记为projba，这些书把代数射景与几何射景混同一个记号，本书把代数投影记为ba。例11设A ,-1,2,B2,0, ,C -1,1,1,D1,2,-1是四个点，已知以此四点为顶点的四面1体体积为，则=()。2(A)1( B) 3(C) _ 3或 _1( D) 1 或3解 AD A1 _ 3-31BD - ：_1,2,-1 - JCD =2,1

13、,-2?依题意得方程:1 - 1 -162-3-21 -九3-3+1刚-即-121 扎221-2或3选（D）。四面体D-ABC的体积，等于1 一乘以相应三个向量为棱的平行六面体体积。6例12过点（1 , 0, 1）平么于直线力2 仁°的直线方程是（2x_y + z + 1= 0(A)x -1y z -113-5(B)x _1 y z-11-3-5(C)x -1 y 3 z 4(D) x_2y 3 z 4L由一般方程首先检查所求直线的方向向量是否与所给直线的方向向量平行，这时,组成,可用数量积，比如1,3,-5?与1,2,数量积不为0,故可排除它，同样排除”1,3,-5?,于是只有（C

14、） （D）可能对，将1,0,1代入（D）满足方程，因而选（D）°解2正面何等一做：求L的方向向量：1,2, d2,-1,11,-3,d故所求直线为 x 1 =t; y = - 3t, z = 1 5t，取 t=1 得 x=2, y = -3, z = -4，故得方程 仝24。选（d ）135解这个题时，首先应检验所求直线的方向向量是否与所给直线的方向向量共线，而不应看点是否为（1, 0, 1），因为直线上的点有无数个，但平均向量的相应坐标成比例。解2中也可以得到所求向量为"1,-3,-5便排除了（ A ）、（ B）;再以（1, 0, 1 ）代入知应选（D） °例1

15、3 已知两点A （1, 2, 3）、B （2, 1 , 1）,求A、B联线与三坐标的交点。2 '11+41 6、-2,5, Z7父点是(0, 5, 7) o-1 -1与zox的交点为X2,0,z2，则 02=2.1 +人23 -2X21513,交点是A丿,与XOy面交点为",0，则3 - 0,，- 3137X3.y 344-23解2 建立A、B两点直线方程:x -1z -3。-4令 x =0,-5,7，得交点0, -5,7令 y =0,5_3,z "-，得交点3|,0,232令 Z =0，4xy-，得交点4解3用向量，如设与yoz交点为0, y1，乙贝U：AC =

16、_ 1, y12, Z1-3“/AB。y123Z1 -'3-4,y1=-5, z1 = 7等等，留给读者自行考虑。通过这样一个题的三种不同解法，目的是要读者熟悉向量的坐标与点的坐标及其相关系,是空间解析几何最基本的、最重要的基本方法。不但要学会，而且要熟悉。解2是最规范的解法，而解 3是向量代数的应用，最值得重视。例14仅由内积公理的四条，证明不等式:|(a,b)| 勻a|卅解对任意大实数，有：0 乞 a b, a b 兮二？；2 a,a 2 a,b b, b即 a 2 22 yb b 2 0故其判别式a,b $a|b 2即 |（a,b）勻 a| |b|注本题的不等式是著名柯西的不等式

17、，在后面讲到欧氏空间时，将会看到这个不等式的重要地位。例子中提到内积公理可归纳为三条，对任意两向量a,b定义实数 a,b满足i .a,b? =：b,a ; ii a,，b= a,b：a,c （ 厂是任意实数）iii a,a -0 ,且等号仅当a=0时成立。"x + y-2z + 1= 0例15求过点（1, 1, 2）与直线y平行的直线方程。x +2y _3z + 2 = 0解1 （求已知直线的方向向量，用叉乘）L1,1, -2? 1,2,-3 .；1,11 所求直线为：匸11y 1 z -2解2 （用过已知点的直线一般方程） 设所求直线为1x-111v ：卜 1 z - 2y一 =,

18、与所给直线平行,m n故 1m,n? 1,1,2 .； = m 2n 1=01,m, n1,2,3； = 2n_3n 1 = 0解出m = n =1是唯一解，得到与解 1 一样的直线方程。解4 （作直线一般方程）过已知点（1, 1, 2）作与x y - 2z T =0平行的平面方程:x -1 y 1 -2（z-2） =0作与x，2y-3z2=0平行的平面方程：x-1 2 y 1 -3z-2=0。得所求直线的一般方程：X +y _2z +4 = 0K +2y _3z + 7 = 0对于基本题，采用一题多解，可以起到一题多解，可以起到举一反三，触类帝通的作用，解1、解除、解3告诉我们怎样做题更巧妙

19、，而解4则说明，有些时候，建立直线的一般方程也很简便。16、求原点关于平面 6x 2y -9z - 121 =0的对称点。解：过原点作与已知还将有同相垂直的直线，参数方程是x = 6t, y = 2t, z = -9t代入平面得36 4 81t12 0,t =1因此，- 6,-2,9是所求点与原点联线的中点，故所求对称点为 -12,-4,18。Xi = 6k, y*i = 2k,Zi - -9k.可得冋样结果。例17在R4中，与矩阵123 4A = 2 3 4 5的每个行向量都正交的向量的全体所构成的R4的子空间的维数为3456_（）°（A ） 1（ B） 2（ C） 3（D） 4解

20、 应选（B）,因为=*乏R4,Ax=0，即为齐次线性方程组 Ax=0的解空间，故dim -4-rA=4-2=2 （读者易求出矩阵 A的秩为2） °注意：实向量X为实系数方程组 Ax=0的解二X与矩阵A的每个行向量都正交。例18已知e二S 2 1 "<33,3；T,e2 二2 1 2 丫，厂 I ,e3<3 33 丿广 122 YJ是R3的一个标准正交基，则向量=-1,0,2 T在此基下的坐标（列向量）为(A)(0,-2,1$(B) (-1,0.2 T(C) 1,0,-2 T(D) -2,0,1 T例 19 设 0( 1,0(2 ,：-n为n维欧氏空间v的一个标准

21、正交基， V中向量二、：在该基下的坐标分别为x =（h,x2，xn $ = (%,y2,yn f e Rn，则有(A)=,比：=x,y(B) |'|(C)（D）与：正交当且仅当X与y正交。解应选（D），事实上，由于j nn,J，Xii1 yr-iI imj 壬n,i,： j f Kyi =fx,y , i =t j =1i=1即与1 （关于v）的内积等于X与y （关于Rn）的内积，于是特别有0= x,y=0即：与：正交当且仅当x与y 正交。在标准正交基下，向量的线性运算及内积、 长度、夹角、距离的计算都等价于向量的坐标 （作为R中向量)的相应计算问题；对向量线性相关性及正交性的讨论也等

22、价于对它们的坐标 向量相应性质的讨论。例20设a是n阶可逆方阵，对于x =(为公2,，焉$乏Rn, y = (%, y2,，yn $乏Rn，证明：由x, y) =(Ax“Ay)(4.1)定义了 Rn的一个内积。证 只须验证(4.1)式是否满足内积公理。设 Ax =(ai,a2,an f = RnAy 二山血,，0 $Rn.则由(4.1)式，有nn(1) (y,x)=(Ay $(Ax )=送 闊=迟 a® =(Ax“Ay)=(x, y)i=1i =1(2) 对任意实数k，及Z = Z1 ,Z2 ,，Zn- Rn，有(kx, y = (Akx $ (Ay )= k( Ax $ (Ay )

23、= k x, y,(x + y,zj = A(x + y(Az)= Ax + Ay(Az )= (Ax)$ +(Ay $ (Az)=(Ax $ (Az)+ (Ay $ (Az )=x, z> + (y, z；：n(3) x, x=(Ax $ (Ax )= Z a： ZO而且i =1x, x = ai = 0 i = 1,2/ , n ：= Ax = 0 二 x = 0 (注意 A 可逆，因而当 Ax=0 时就有 x=0)。因此，(4.1 )式满足内积公理，从而是Rn的一个内积。如果对实向量空间 V中任意两向量x与y规定了一个实数 x, y与之对应，而且满足(1)对称性：x, y 二 y,

24、 x ，( 2)线性性质：kx, y = k x, y , x y, = x, y, z(3)非负性： x,x =0= x =0，则称这个二元函数x, y为V的一个内积，称以上三个条件为内积公理，V按此内积便构成一个欧氏空间。例21设1,2是欧氏空间V中两向量，证明：如果对任意：V，都有1则1 =。证由题设条件有*1, 2,，0,利用内积的线性性质，得-：'2-0，上式 对任意：；三V均成立，特别取：-1 -2则有 '； 1 -餐2，-丄1 -餐2 - - 1 -餐2 = 0 ,故? 2 =0,即: = ： 2。这里，证明利用了：在欧氏空间中，：= : - : =0u卜-= 0

25、。例22设二spa门匕1,2,3堤R4的一个子空间，其中：i 二 1,0,-1,2丁，： 2 = ：一1,1,1,0丁，： 3 二 3,-1,一3,4丁 求的正交补空间-。解先确定 的基。宀，：,的最大无关组可作为-的基，显然 ',>2线性无关，而>3 =21 -2，故1,2是>1, >2 ,3的一个最大无关组，因此， 12是的一个基本。 如果向量一：与 '，:七的线性组合正交， 因此与正交；反之，如果与，正交，则应 与：'1/'2都正交，所以-由满足方程组°1、= 0门T|1的所有向量-组成，若令】二XX2,X3,X4 ，则-

26、就是齐次线性方程组,：2 =0X1 -X +2X4 =0的解空间，易求得该方程组的一个基础解系为一為 +x2 +x3=01 二 1,0,1,0T, 2 二 -2,-2,0,1 T_ = sp a'n1, 2 匚-是R4的一个子空间，由于向量空间是由其基向量生成的，因此本题的关键是求-的基。例23设是n维欧氏空间V中一非零向量，证明：- - :| ：, | ：, ：z V , >- 0 是 V的一个子空间，且 dim 二n-1.证人 显然非空（因为0），任取中向量 二七及任意实数k ,则,：=0i =1,2，于是有 U- <1 1i',2- 0 kr,- k 11-

27、0故 < - ,k < - ，因此是V的一个子空间，令 U =span“，贝U U是V的1维子空间，且显然有：-U -，由射影定理知 V =U U = U -，因而有dim(V)二dim(U ) dim()所以 dim( ) = dim V -dim U 二 n-1 注意：因为7 =,于是由直和的充要条件就有dim（V） = dimf ） dim -。例24 设V1,V2是区氏空间V的两个子空间，证明：（i）% v2二y vi；（2）y - v2二y V?证（1）任取二三 iViV2y_ViV2，因ViViV2，故_ Vii 二 1,2，即:V-i =1,2 ,所以V-V2,即有V

28、1 V - V- - Vr；反之，任取 Vi - - 7厂，贝 Vi ,故_Vi i=1,2,于是对-m ： 2 :Vi,1,2 因1口，有_ ：,故三i：v1 v2 ,所以y - v2 y v2 ，综上可知，有 M v2 - v2-.（2 ）令 r =Vj i = 1,2，注意到一 = ，则由（1 ）有 亠心2 = 厂 厂一，即 y- v2-二 v1 - v2 。注意因子空间V1与V2的和为V1 V'<M :-rVj,i=1,2，故若_V1V2,则-Vi中任意向量>1心2 （其中i Vi；i =1,2 ）有>1心2 ，由此可知:-_ V1 V2当且仅当-：-（对V1

29、中任意向量 冷）或_Vj i =1,2 /4例 25 4 元次型 fX2 ,X3, x4= vxx1x2x1 x3x1x4X2X3X3X4 的秩为()。i =1（A ） 1（ B） 2（ C） 3（ D） 4解应选（D），因为f的秩，指的是f的（实对称）矩阵_2121121221122秩，而A的秩等于4。21正确写出二次型f （实对称）矩阵，是正确处理二次型有关问题的首要条件。例26已知二次型f Xi,X2,X3 =2Xi 8X2 X3 2aXiX2正定，则实数 a的取值范围是()。(A) a ： 8(B) a 4(C) a一4(D) -4 ： a 4解应选（D）。f的矩阵为2 a 0A= a

30、 8 8 f正定当且仅当A的各阶顺序主子都大于零，故由=2>0,J 1 1一2 a22=16a a0,A3 = A= 20，即得4<；a<；4.a 8注 对于 n 元二次型 f（X!,X2,，Xn ）=xtAx，其中 X=（X2,X2，Xn f = RA=（aj 烏 为实对称矩阵，若对任意的X = 0，都有f X 0，则称f正定（同时称f的矩阵A正定）， 以下诸条件都是f正定（A正定）的充分必要条件。（1） f的正惯性指数为 m （2）A的所有特征值都大于零；（3） A合同于单位矩阵，即存在可逆矩阵C,使得CTAC =1，或存在可逆矩阵 M,使得A =M TM ；（4）A的各

31、阶顺序主子式都大于零。另外，以下诸条件都是 f正定（A正定）的必要条件：（1）aH 0i =1,2, ,n ;（2）A 0一般地，对于具体给定的二次型f x = xtAx,用实对称矩阵A的各阶顺序主子式是否都大于零来判定f（或A）是否正定是比较方便的，而在有关正定性的理论性问题讨论中，正定的定义及其它充要条件（见本题后面的注）则运用较多。例27试确定参数t的取值范围，使二交型f x1 ,x2, x3 = x； I x； 5x3 2tx1 x2 - 2x1 x3 4x2x3 为正定二次型。解f的矩阵为_1 t -1A= t 1 2 f正定，当且当A的各阶顺序主子式都大于零，故由也1=1>0

32、，-1 2 5 一A 1 t21 1人2 = 1 t A 0,= t < 1,t 11 t -14 4 3 = A = t 12 =t（5t + 4）:>0,n ct cO得当且仅当一ctcO时f 正定。5 5-125本题利用“二次型 xT Ax正定二 实对称矩阵A的各阶顺序主子式都大于零”来判定二次型的正定型，注意，是由不等式组M 0*心2 >0来确定t.A >0例28下列映射中，不是线性变换的（）。（A）T:R3R2,T x, y, z = 2x y,2y - 3z , - x, y, z 三 R3（B）T:R2>R3,T x, y = x 1,y 1,1,一

33、 x,y R2（C） T :Rn n > Rn n,T X 二 XA,-X Rn n 而 A 为取定的 n 阶实方阵。（D）T：ca,blca,b,T f X 二 Xf t sindt,-f x ,C a,ba"""解应选（B），因为 T 2 x, y ： T 2x,2y ： 2x 1,2y 1,1 而2T x,y =2 x 1,y 1,1 二 2x 2,2y 2,2 故 T 2 x, y - 2T x, y 即 T 不保持数量乘 法，因而T不是线性变换。要证明映射T :V > W为线性变换，只须验证 T保持加法及数量乘法运算，即一，V,k F ,恒有

34、T=T厂T - ,T k>二kTV，而要证T不是线性变换，只须举一例子说明 T不保持加法或数量乘法。例29下列线性变换T为单射的是（）。（A）T : F l-x3 F x 3,T f x = f x 1 , 一f x 戶 F k_152（B）T :Rn t Rn,T（x）=Ax,Px Rn，其中 A=121-1 1 0一（C）T : R x 3 > Rx2,T f x ，一fxRlxldx1（D）T：C1,1】> R,T f x f xdx,f x F C1,1】解 应选（A），因为f xi；=a0 ax a2x2 F，由t的定义，有ideeT(f (x )= f (x +1

35、 )= a0 + q(x +1 )+a2(x +1)，故若 T(f(x= 0 ,则有 a。= a = a? = 0即f X =0故ketT = ；0,因此T为单射。注 备选项（B）、（6及（D）中的T核ket（T）都不是零空间（即 式0，使T（a ）=0）, 如（B ）中，因 A =0,故存在x式0，使T（x）=Ax = 0;在（C）中，设常数 kO则T k二k i； =0;在（D）中，有T x二xdx =0，故T不是单射。如果- ：鳥2，均有T ：i -T ： 2 ，或当T ：i =T ： 2时必有1 2，则称T为单 射，注意T L V,W 为单射二ketT二0二T将V中线性无关向量组映成

36、W中线生 无关向量组。例30 设W是欧氏空间V的一个子空间，爲,；r 是W的一个标准正交基，令映射T : V ； W 为 T ：- p r o j w - ：r, * “ 亠亠 *, ；r r,：三 V证明：T是线性变换（称 T为由V到W的正交射影）。证：任取:-,V，则由T的定义，有T -_：-,灯 J 亠亠-：亠：,；r ；r=4", M “ 亠 一V, ；* ；r ；r-J, ；1 ；牛，；r. J t , ；1J二T ： T ：即T保持加法运算，同理可证 T保持数乘运算，故 T为线性变换。本题证明了正交射影变换是一种线性变换，即Projw（-： 1 -'）= Pr o

37、j Projw :, Projw（k-：） = k Pr ojw 二推广之，则有Projw（r亠亠'：飞）=Projw >1亠Projw m，读者试在几何空间中由向量加法的多 边形法则验证这一结论。线性代数与解析几何（选择题1、f是X到Y的映射，g是Y到Z的映射，如果gf是单射以下说法正确的是：()(a) f和g都是单射。(b) f是单射。(c) g是单射。2、设A是数域P上n维线性空间V的线性变换，二是数域P上m维线性空间 W的 线性变换，以下说法正确的是：()(a) A*是线性变换；(b) - kP, kA是V的线性变换；(c) AB是线性空间W到V的线性映照； (d)2是V

38、的线性变换。3、设S是线性空间V的线性变换，Wi，W2都是A-子空间，并且V二W, W2，以下说法正确的是()(a) A在V的任一组基下的矩阵为对象矩阵；/aC 、(b) A在V的某一组基下的矩阵是1 A101°人2(c) A在V的某一组基下的矩阵是AA2；(d) A在V的任一组基下的矩1A3 阵都不是准对角阵。4、A是n维欧氏空间V的对称变换，以下说法正确的是：()(a) V中存在一组基i,2,in，A在基i,2,i,：r下的矩阵为准对角矩阵。(b) 设VM, ,V，是 A的所有不同的特征子空间，贝U V.i,V.2, ,V,的标准正交基 合起来是V的标准正交基；(c) V在一组基

39、下的矩阵是实对称矩阵的线性变换是对称变换。(d) 对称变换在V的任一组基下的矩阵是实对称矩阵。5、设A是数域P上线性空间V到 W的线性映射，,，2和F ；2, ；3分别是V和WA(： 1,： 2)=( ；1, ；2, ；3)A,那么()(a) A是线性映射；(b) A是数域P上的2 3矩阵；(c) A是一个数；(d) A是数域P上的3 2矩阵。6、每一对称双线性函数在任一基下的度量矩阵都是()a、对称矩阵 b、对角矩阵c、单位矩阵7、对每一对称矩阵对线性函数f，都存在一组基，使在这一基下，f的度量矩阵 是( )a、单位矩阵b、对角矩阵c、空矩阵8、对复数域上的对称双线性函数f都可以找到一组基，

40、使在这组基下f的度量矩 阵)a、单位矩阵b、对角元由1和0组成的对称角阵c、零矩阵9、设f捲龙,xn , = x1Ax经可逆线性变换，x = Cy化成二次型yiBy，贝U矩阵A, B, C满足关系()1 1a、 B = C AC b、 A 二 C AC10、二次型 f X1,X2,，Xn ,- 2X1X2 -4X2X3 - 3xf 的矩阵为(a、12'020-40 1-4-31 1 0b、10-20-2_3_c、11010-200-2-300111、设二次型 f(X1,X2x-x1Ax分别经可逆线性变换x=y和xTzZ变为d；亠.亠dry；和©z；亠'亠©z

41、；，贝9有(a、r=t b、r=t,dj 二 eji=1,2,，rc、r = t, d ei 为 A 的特征值。12、设A是实二次型f X1,X2,X3的矩阵，它的特征值为 1, 2, ' 3/' 1/' 2 3分别交1, '2, I的单位正交特征向量。正交花变换x =Ty将f X1,X2, X3化为*22丫； 3丫3，则 T 是()a、以r, ,：/为1，2，3列组成的矩阵；b、以12,3为1，2，3行组成的矩阵；c、以3,2,1为1，2，3行组成的矩阵。13实二次型的秩与符号差之和()a等于奇数 b、等于偶数 c、不一定是奇数还是偶数14、.设V是数域P上的

42、n (n >1)维线性空间， A是线性空间V的线性变换， A在v的 两组基下的矩阵分别为 A、B，那么 ()(a) 矩阵A与B只有一个特征值相同；(b) 矩阵A与B的特征值相同；(c) 矩阵A与B的特征值不同；(d) 矩阵A与B相同。15设a和b是3维几何空间的两个向量，则()(a) a b是一个实数；(b) (a b)_a, (a b)/b ; (c) a b =-b a ；(d) (a b)/a, (a b)_b.16设 A =1,2,3, B 二a, b,c,d,f : 1- a, 2 b, 3 c;g : 1T a, 2T a, 3T c,那么()(a) g不是A到B的映射；(b

43、) f不是A到B的映射；(c) f是A到B的映射，但不是满射；(d) f,g都不是A到B的映射。17. 设A是数域P上线性空间V到W的线性映射，；1,；2,；3和12分别是V 和 W 的基，A( ；1, ；2, ；3)=(： 1,： 2)A,那么()(a) A是数域P上的2 3矩阵；(b) A是一个数；(c) A是数域P上的3 2矩阵；(d) A是线性映射。2 2 218设椭球面的方程为匸» *笃冷=1，那么()a b c(a) 点(a,b,c)在椭球面上；(b) 椭球面的中心在点(a,b,c)；(c) 椭球面关于坐标平面yoz对称；(d) 椭球面关于坐标平面xoy对称。19. 设V

44、是数域P上的n (n 1)维线性空间，A是线性空间V的线性变换，A在V的两组基下的矩阵分别为 A、B,那么()(a)矩阵A与B相似；(b)矩阵A与B有一个特征值相同；(c) A = B ；(d)矩阵A与B的特征值不同。20. 设A是n维线性空间V的线性变换，W是A的不变子空间，那么()(a)存在：W, A：W ；(b)二 W, A： W ；(c) AW ；(d) W =AW.21. 设A是n维欧氏空间V的对称变换，那么()(a) A在V的任意一组基下的矩阵都是对角矩阵；(b) A在V的任意一组基下的矩阵都是对称矩阵；(C) - ：，I匸 V, (A ： , A ：)=(：,：)；(d) A的特

45、征值都是实数。22. 设r是实二次型f (X1,X2/ ,Xn)的秩，p是二次型的正惯性指数，q是二次 型的负惯性指数，s是二次型的符号差，那么 ()(a) r = p -q ；(b) r = p q ；(c) s =p q ；(d) s = q - p .23. 设f是线性空间V上的对称双线性函数，则f在V的任意一组基下的矩阵都是()(a)单位矩阵；(b)对角矩阵；(c)对称矩阵；(d)上三角矩阵。24.设A()是一个n n的-矩阵，那么 ()(a) 当 | A() =0 时，A()可逆；(b) 当| A( )|是非零常数时，A()可逆；(c) 当|A()|是一个常数时，A()可逆；(d)

46、当| A( )|是，的一个非零多项式时，A(J可逆。2 2 225.设单叶双曲面的方程为一2笃-2 = 1，那么()a b c(a) 单叶双曲面与坐标平面xoy的交线是一条双曲线；(b) 单叶双曲面与三个坐标平面的交线都是双曲线；(c) 单叶双曲面与坐标平面xoz的交线是一条双曲线；(d) 单叶双曲面与坐标平面yoz的交线是一个椭圆。26设a和b是3维几何空间的两个向量，则(a) a b = b a ；(c) a b =| a | |b |sin (a,b)；面二次型中正定的是(a) f (为山2山3)=X1X2(c) f (xX2,X3)2x|27.28.29.30.31.32.33.( )

47、(b) (a b)/a ；(d)当 a/b 时，a b = 0.(b) f(X1,X2,X3)= xf 2x| x；(d) f(X1,X2X)-x； x3经过非退化的线性替换，新二次型的矩阵与原二次型的矩阵()(a)相似；(b)合同；(c)相同；(d)既相似又合同。设V是数域P上线性空间，V1,V2是V的子空间，下面可能不是 V的子空 间的是()V1 V|0 1(a)A()20 1+扎的标准形为()(c)V1+ V2( d) V1的子空间。00 1'A是n级实矩阵，(a) A A 二 E下面向量中与向量(a)(a) (0,0,0,0)|1+ ' 0 |(b) I:0 F面条件中

48、不能断定(b) AA =E1 01：0 1)A 二 A，1 00 (1)A为正交阵的条件是(c) AA)(c)(d)(d)(1, 0,2,0)正交的单位向量是(b) (0,1,0,在下面向量空间V所定义的变换中，(a) A =；(b)c) A = k (k 是常数)；(d) 设A是数域P上线性空间V上的线性变换,13矩阵为A= |12 4 一yl2 寸2(c)(0= ,0,二)2 2不是线性变换的是(A ,是V中一固定非零向量；A =0,0是V中零向量。1, ；2是V的基，A在；1, ；2下的(d),则下面结论成立的是()(a) A 1= 1 2j ；(c) A ；尸；1+3；22 ；34 4

49、 ；(b) A 1= -1+3-2 ；(d) A；1= ；1 + 4；21(1,0, 2，)35. 设A是n维线性空间V的线性变换，W是A的不变子空间，那么()(a)存在：丄 wW,A:lW ；(b) . ：£ 三 W, A 一 = 0 ；(c) AW W ；(d) W = AW.36. 设A是n维欧氏空间V的正交变换，那么()(a) A在V的任意一组基下的矩阵都是正交矩阵；(b) A在V的任意一组标准正交基下的矩阵都是正交矩阵；(c) , I ' f V, (A: , ： ) (: , A ：)；(d) A的特征值都是实数。37. 设r是实二次型f(Xi,X2,Xn)的秩，

50、p是二次型的正惯性指数，q是二次型的负惯性指数，s是二次型的符号差，那么()(a)r=p-q ;(b)s= p q ;(c)r s是奇数；(d)r s是偶数。38. 设f是线性空间V上的对称双线性函数， 则f在V的任意一组基下的矩阵都是()(a)零矩阵；(b)反对称矩阵；(c) 对称矩阵；(d)下三角矩阵。39. 设A()是一个n n的，-矩阵，那么()(a) 若A()是可逆，-矩阵，则| A( ) |是一个非零常数；(b) A( )是九的多项式；(c) 当 A( J - 0 时，A( )可逆；(d) 当 |A( )=0 时，A( )可逆。二填空题1、过定点M°X0,y0,z。，方位

51、失量为a二Xn , Zb二X2.Y2.Z2的平面的坐标参数方程是()。2、过点(1, 0, 0 ), (0, 2, 0)和(0, 0, 1)的平面方程是()。3、设向量 i j k, b = i - j k,则 a b =()。4、 叙述平面Ax D = 0的特殊位置。()5、 叙述平面By Cz 0的特殊位置。()& 通过点A - 3,0,1 和 B2,-5,1的直线是()7、在直线- = - = -8上与原点相距25个单位的点的坐标是()2138、讨论直线的位置关系时，根据失量的()性质：9、 f :a b a2 b2是复数集C到实数集R的映射，g:a a 1是自然数集合N到N的映

52、射。h: f(x)二a2xn ，a1x a0 a9是Px 到P的映射，t: a二，a2,，ax a1 a2亠'ax是Px到P的映射。其中单射有()满射有() 双射有()10、判别下面定义的映照，是线性的有()，设P是数域1) ： = XX2,X3P3,R ： = x；,X2 X3,X；2) f x 二anxn aXjXxAa1X - a0 ePx, R f x 二 f 33) B,C Pmn，-X Pmn,RX 二 BXC11、 设V是数域P上线性空间，；1, ；2,，；n是V的基A、B是P上n阶方阵R ；1；2,，；n 二；1,；2,n A R ；1, ；2,，；n二；1,；2,，；nB那么R 、R、2R 3在基仆；2,，；n下矩阵是()12、设V、,及；1 , ；2,，；