不定积分原理或概念的产生、发展及应用论文

1、2017第一学期高等数学不定积分原理或概念的产生、发展及应用刖百introduction不定积分的计算方法的研究不仅仅是某些经验方法的积累它存在着更多哲学的思辨.它依靠一定的逻辑规则为微积分学科的应用与思辩开拓了新途径，是定积分计算的基础.制对于不定积分的基本概念、原理、性质、运算公式进行总结与整理。本文结尾对本学期的高数学习进行总结与反思。不定积分原理不定积分可以看做是导数的逆运算，其结果为一族函数。根据牛顿-莱布尼茨公式，许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。这里要注意不定积分与定积分之间的关系：定积分是一个数，而不定积分是一个表达式，它们仅仅是数学上有一个计算关系。一个

2、函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间a,b上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。基本概念、定理、性质在微积分中，一个函数f的不定积分，或原函数，或反导数，是一个导数等于f的函数F,即F=f0不定积分和定积分间的关系由微积分基本定理确定。其中F是f的不定积分。(D函数的和的不定积分等于各个函数的不定积分的和；即：设函数/(%)及卜勺原函数存在，则|J/U)+g(x)rfjc-Jf(x)dx+网蒐)d文(2)求不定积分时，被积函数中的常数

3、因子可以提到积分号外面来。即：设函数/(X)的原函数存在,非零常数，则F*(jc)tfx=kf(x)dx/疝二F源4C日设F(x)是函数f(x)的一个原函数，我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+C(其中，C为任意常数)叫做函数f(x)的不定积分，又叫做函数f(x)的反导数，记作f(x)dx或者于(高等微积分中常省去dx),即f(x)dx=F(x)+Co其中则做积分号，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式，C叫做积分常数或积分常量，求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行不定积分。1由定义可知：求函数f(x)的不定积分，就是要求出f(x)的所有的原函数，由原函数的

4、性质可知，只要求出函数f(x)的一个原函数，再加上任意的常数C就得到函数f(x)的不定积分。积分公式法直接利用积分公式求出不定积分。1换元积分法换元积分法可分为第一类换元法与第二类换元法。1一、第一类换元法（即凑微分法）通过凑微分，最后依托于某个积分公式。进而求得原不定积分。例如Ie3xdx=C二、注：第二类换元法的变换式必须可逆，并且平（X）在相应区间上是单调的。第二类换元法经常用于消去被积函数中的根式。当被积函数是次数很高的二项式的时候，为了避免繁琐的展开式，有时也可以使用第二类换元法求解。常用的换元手段有两种：1、根式代换法，2、三角代换法。在实际应用中，代换法最常见的是链式法则，而往往

5、用此代替前面所说的换元。链式法则是一种最有效的微分方法，自然也是最有效的积分方法，下面介绍链式法则在积分中的应用：链式法则：JJ我们在写这个公式时，常常习惯用u来代替g,即:(h(x)u(x)dx-J(f(u(x)ydx-f(u(x)+C如果换一种写法，就是让：-dx-duax就可得：Lfr(u(x)du-f(u(x)+C这样就可以直接将dx消掉，走了一个捷径。分部积分法设函数和u,v具有连续导数，则d(uv)=udv+vdu。移项得到udv=d(uv)-vdui两边积分，得分部积分公式udv=uv-Wdu。(1)称公式为分部积分公式.如果积分vdu易于求出，则左端积分式随之得到.分部积分公式

6、运用成败的关键是恰当地选择u,v一般来说，u,v选取的原则是：21、积分容易者选为v,2、求导简单者选为u。例子：Inxdx中应设U=Inx,V=x分部积分法的实质是：将所求积分化为两个积分之差，积分容易者先积分。实际上是两次积分。有理函数分为整式(即多项式)和分式(即两个多项式的商)，分式分为真分式和假分式，而假分式经过多项式除法可以转化成一个整式和一个真分式的和.可见问题转化为计算真分式的积分.可以证明，任何真分式总能分解为部分分式之和辅助运算（三角函数恒等变换）平方关系：sinA2(a)+cosA2(%)=1tanA2(o)+1=secA2(%)cotA2(%)+1=cscA2(%)积的

7、关系：sin%=tan%*cos%cos%=coto*sin%tan%=sin%*sec%cot%=coso*csc%sec%=tano*csc%csco=seco*cot%倒数关系：tan%cot%=1sin%csc%=1cos%sec%=1两角和与差的三角函数:cos(%+3)=cos%cos3-sin%sinBcos(%-3)=cos%cosB+sin%sinBsin(%Q=sin%cosB玄os%sinBtan(+B)=(tan%+tan份/(1-tan%tanB)tan(%-B)=(tana-tanB)/(1+tan%tanB)辅助角公式：Asina+Bcosa=(AA2+BA2)A

8、(1/2)sin(%+t),其中sint=B/(AA2+BA2)A(1/2)cost=A/(AA2+BA2)A(1/2)倍角公式：sin(20=2sin%coso=2/(tan%+cot%)cos(2%)=cosA2(%)-sinA2(%)=2cosA2(%)-1=1-2sinA2(%)tan(2%)=2tan矶1-tan2(%)三倍角公式：sin(3%)=3sin%-4sinA3(%)cos(3%)=4cosA3(%)-3cosa半角公式：sin(o(/2)=1-cos%)/2)cos(/2)=土/1+coso)/2)tan(o(/2)=士m-cos%)/(1+cos%)=sin/(1+co

9、s%)=(1-cos%)/sina降哥公式sinA2(%)=(1-cos(2%)/2=versin(2%)/2cosA2(%)=(1+cos(2%)/2=vercos(2%)/2tanA2(o)=(1-cos(2%)/(1+cos(2%)万能公式：sin%=2tan(M2)/1+tanA2(/2)cos%=1-tanA2(/2)/1+tanA2(/2)tan%=2tan(/2)/1-tanA2(/2)积化和差公式：sinacos3=(1/2)sin(+B)+sin(%-B)cos%sin3=(1/2)sin(+B)-sin(%-B)lcos%cos3=(1/2)cos(+份+cos(%-B)s

10、in%sin3=-(1/2)cos(o+3)-cos(%-B)和差化积公式：sina+sin3=2sin(%+3)/2cos(-r3)/2sin%-sinp=2cos(o+B)/2sin(%-3)/2cosa+cos3=2cos(+四/2cos(%-3)/2cos%-cos3=-2sin(心B)/2sin(%-3)/2其他：sin%+sin(o+2兀/n)+sin(%+2兀*2/n)+sin(o+2兀*3/n)+sin%+2兀*(n-1)/n=0cos%+cos(%+2兀/n)+cos(%+2兀*2/n)+cos(%+2兀*3/n)+cos%+2兀*(n-1)/n=0以及sinA2(a)+si

11、nA2(%-2兀/3)+sin、2(%+2兀/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0解题示例|1yIJxy/xdx例1求J#I；*工寸dx=+C解：原式=Jf7方/工一F+工+C产十1二s一例2求J十1IiF+1)dx解：原式=,高数个人总结大学高等数学的学习主要针对于微积分的学习，微积分学为微分学和积分学的统称，微分学与积分学为两个相互独立的个体，其连接部分由微积分基本定理，即牛顿一一莱布尼茨公式连接。本学期学习从极限开始,至定积分应用结束。历时三个月的学习，我们对函数极限、导数、微分、不定积分、定积分与定积分的应用有了深刻的了解。高等数学区别

12、于中学阶段所学的初等数学。高等数学作为一门工学的基础学科，拥有与初等数学不同的特点，这就是高度的抽象性、严密的逻辑性和广泛的应用性。抽象性和计算性是数学最基本、最显著的特点，有了高度抽象和统一，我们才能深入地揭示其本质规律，才能使之得到更广泛的应用。严密的逻辑性是指在数学理论的归纳和整理中，无论是概念和表述，还是判断和推理，都要运用逻辑的规则，遵循思维的规律。所以说，数学也是一种思想方法，学习数学的过程就是思维训练的过程。高等数学相对于初等数学，其所需背诵的公式定理也相对较多，对学生而言理解能力也相对较高。例如在微分中值定理中，共涉及罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒公式、麦克劳林公式、拉

13、格朗日余项、皮亚诺余项与洛必达法则。其公式定理、适用条件都需要背诵。同样，在解题方式上也有很大的不同。中学数学通常每道题拥有自己独特的解题套路，一道题即使不明白其中的原理，依然可以通过套公式、死记硬背的方法解决问题。但是高等数学就不同，高等数学解题并不适合套公式与死记硬背，每道题的求解方式都不相同，公式结构的复杂、数量的繁多导致高等数学解题过程思考胜于背诵。理解一道题的精髓，了解定义中隐藏的内涵才是学好高数的关键。在微积分发展过程中，无数的科学家都付出了努力。包括泰勒斯、阿基米德、刘徽、牛顿、莱布尼茨等人。微积分的作用一言以蔽之：以直代曲。微积分的意义在于利用直线的线性变化量来代替非线性函数的变化量，从而可以求得精确的曲顶梯形的面积。但是微积分的意义远不止于此无数自然界的现象都可以通过一定的方法建立微分方程组来描述之。从纯粹的数学意义上而言，微积分利用线性手段解决非线性问题的思路乃是空前绝