第二十五章 无穷级数

1、l第一节 数项级数的概念及其基本性质l第二节 数项级的敛散性l第三节 幂级数l第四节 函数的幂级数展开l第五节 傅里叶级数l第六节 周期为2 的函数展开成傅里叶级数l*第二十五章 无穷级数 和微分、积分一样，无穷级数是一个重要的数学工具.本章包括常数项级数与函数项级数两部分，介绍无穷级数的一些基本内容，并着重讨论如何将函数展开成幂级数以及傅里叶级数的问题.一、数项级的概念,0.30.3,0.03,0.003,0.0003,在中学代数课中 学习过无穷递缩等比数列的求和公式,并用于化无限循环小数为分数.如可认为是无穷多项的和 即0.310.3=0.3+0.03+0.003+1 0.13().(),

2、.这说明在实际中有时需要计算或研究无穷多数 项 的和对于这样的无穷多数 项 和的表达式 定义如下1231231,nnnnu u uuuuuuu义 设为一给定的数列,则表达式:称为数项无穷级数,简称级数.记作即定11231nnnuuuuu (25-1),nu式中称为级数的项或项通一般.?,. 简单地说 级数就是无穷多个数的和的式子,无穷多个数相加与有限个数相加有本质的不同,有限个数相加总是有和的,但无穷多个数相加是否也有 和数 呢 为回答这个问题 给出以下定义,12311,:;,lim,.nnnnnnnnnunSuuuunnSSSSuS义 对级数它的前 项之和称为级数的前 项部分和 如果时 部分

3、和构成的数列有极限即则称级数收敛,并称 级数的和于是 定21231nnnSuuuuu,nnS 如果时 部分和数列没有极限 则称级数发散,发散的级数无和.,nnSSS 由定义知,级数式(25-1)是否有和可以转化为研究数列是否有极限.当级数式(25-1)收敛时, 可作为和数 的近似值 此时 称121nnnnkk nrSSuuu 1(25 1)lim0nnnnur为级数式的项显然级数收敛的充要条件是余.例1 讨论等比级数（又称几何级数）12110,.nnnaqaaqaqaqaq的敛散性,其中是级数的公比21,1,(),;nnnSaaqaqaqqSnan 由于所以当时时 级数发散解0,1,0,;,n

4、nnqSaSa n为偶数当时因数列极限不存在 级数发散为奇数(1)| |1,.nqS当时,数列的极限不存在 级数发散,| |PPPnn=1=1当1时,收敛 当时发散返回2.1;nn 比值审敛法只需对一个正项级数的第 项与第项的比值求极限后根据极限值的特点进行判断 而比较审敛法需要对两个正项级数的通项首先进行比较,然后才能通过两级数的敛散性相互判断.返回3.运用莱布尼茨审敛法判断交错级数的敛散性.返回1.解:121limlim1 tantan22nnnnnnnn21111lim11.2222nnnnn.级数收敛返回2.解:1111nnnn1limlim0.nnnn交错级数收敛且是条件收敛.返回0

5、0120,:nnnnaxxaa aa1.形如的级数称为幂级数 其中为常数它有两种表达形式0(1),nnnaxx=0一般形式为(2).nnna x=0特殊形式为返回2.其步骤通常为: ,;S x1求出幂级数的收敛域 设其和函数为 2nnnS xa x=0对等式找规律进行代数运算; 2.S x3再进行 的上述运算的逆运算求出返回(:,(),)注 代数运算是指变量代换 求导或者积分 相加 减拆项等运算13.lim0,.nnnaa 当时它在内收敛返回1.解:1,.nnyxn y y =1令则原级数化为收敛半径为1,-11所以级数的收敛区间为 -2,0 返回2.解:21 1!1 !1 !nnnnnnnn

6、n =1=1=1011122 .2 !1 !nnnennn=2=1返回231.12!3!nxxxxexxn - ,+3521sin13!5!21 !nnxxxxxxn - ,+242cos112!4!2!nnxxxxxn - ,+返回 02.;f xxf xf xf xf xf xf x .不是.因为只要在 某一领域内具各阶导数总可以写出的幂级数 不考虑是否收敛或是否收敛于而 把展开成幂级数 是指不仅的幂级数存在,而且它收敛于返回 3.近似计算、微分方程的幂级数解法、用幂级数表达函数.返回1.解:lnxxaae0ln!nxnnaax xn -+返回2.解:1111113333 13313xxx

7、x 013133nnnx x 06返回1.因为正,余弦函数是我们熟悉的基本初等函数并且有较好的性质,所以能把函数展开成三角级数在很多问题上会化难为易比如物理学中用简谐振动的迭加来研究较复杂的波形.返回 .f xf x 2.周期函数在区间 - ,上满足狄利克雷条件时的傅里叶级数就成为傅里叶展开式返回 3.,.f x是根据的奇偶性 求出傅里叶级数确定的傅里叶系数再代公式返回1.解: f x是奇函数00,1,2nan 返回2.解: 00,1,2nf xan 将延拓成 - ,上的奇函数,则 200221sincossin222nxxbnxdxnxnxnn1nNn 0,f xx延拓后,此时在处间断故在 0,连续 即1sin0,2nxnxxn 1sin1000000,200,00.22nnxxffnff 在处收敛于其中返回 01cossin211.cos1sinnnnnan xn xf xabnn xaf xdxn=n xbf xdxn= 0,1,2 1,2返回 2.10,2n xinnn xinf xC eCf x edxn=- 1, 2返回1.解: 001122af x dxdx02cos0,nn xadxl