第八章位移法

1、第第8 8章章 位移法位移法位移法位移法 8-5 8-5 直接由平衡条件建立位移法方程直接由平衡条件建立位移法方程8-6 8-6 对称性的利用对称性的利用 8-1 概述概述 8-2 8-2 等截面直杆的转角位移方程等截面直杆的转角位移方程8-3 8-3 位移法的基本未知量和基本结构位移法的基本未知量和基本结构 8-4 8-4 位移法的典型方程及计算步骤位移法的典型方程及计算步骤 8.1 8.1 概述概述位移法位移法位移法位移法：先确定某些位移，再推求内力。：先确定某些位移，再推求内力。 图图a a所示刚架在荷载所示刚架在荷载F F作用下发生虚线所示变形。略去作用下发生虚线所示变形。略去轴向变形

2、，可将结构分解如图轴向变形，可将结构分解如图b b、c c。思路思路：将结点：将结点1 1的角位移的角位移Z Z1 1 作为基本未知量，求作为基本未知量，求 出出Z Z1 1，进而求出各杆，进而求出各杆 内力。内力。需解决的问题需解决的问题：（：（1 1）用力法算出单跨超静定梁在各种外因作用）用力法算出单跨超静定梁在各种外因作用 下的内力；下的内力； （2 2）确定哪些位移作为基本未知量；）确定哪些位移作为基本未知量； （3 3）如何求出这些位移。）如何求出这些位移。位移法位移法一、杆端力的表示方法和正负号的规定一、杆端力的表示方法和正负号的规定PBAMAB 0MBA 0PBAFSBA 0FS

3、AB 0 8.2 8.2 等截面直杆的转角位移方程等截面直杆的转角位移方程符号规定：杆端弯矩以对符号规定：杆端弯矩以对杆端顺时针杆端顺时针方向为正；方向为正； 剪力剪力正负号规定同正负号规定同“材力材力”。 位移法位移法二、两端固定梁的转角位移方程二、两端固定梁的转角位移方程 图图a a所示两端固定的等截面梁，所示两端固定的等截面梁，两端支座发生了位移。取基本结构如两端支座发生了位移。取基本结构如图图b b。 X X3 3对梁的弯矩无影响，可不考虑，对梁的弯矩无影响，可不考虑，只需求解只需求解X X1 1、X X2 2。符号规定：符号规定： 均以均以顺时针顺时针方向为正；方向为正； AB 以使

4、整个杆件以使整个杆件顺时针顺时针方向转动为正。方向转动为正。BA、力法典型方程为力法典型方程为11112212112222ABXXXXlqPBABABBAABABt1Ct2CAFSBAMBAFSABMABEI位移法位移法作作X X1 1、X X2 2分别等于分别等于1 1时的单位弯矩图如图时的单位弯矩图如图c c、d d。EIlEIlEIl63,321122211由图由图e e可得可得lABAB21AB弦转角，顺时针方向为正。弦转角，顺时针方向为正。解典型方程得解典型方程得1222426426ABABBAABEIEIEIXlllEIEIEIXlll位移法位移法MAB=X1，MBA=X2，可得可

5、得固端弯矩固端弯矩 ：单跨梁在荷载作用及温度变化时产生的单跨梁在荷载作用及温度变化时产生的 杆端弯矩。杆端弯矩。FFBAABMM、 因此，当单跨梁除支座位移外，还有荷载作用及温度变因此，当单跨梁除支座位移外，还有荷载作用及温度变化时，其杆端弯矩为化时，其杆端弯矩为642642FABABABABFBABAABBAiMiiMliMiiMl转角位移方程转角位移方程令令杆件的线刚度杆件的线刚度lEIi 642642ABABABBABAABiMiiliMiil位移法位移法三、一端固定、另一端铰支梁的转角位移方程三、一端固定、另一端铰支梁的转角位移方程 对于一端固定另一端铰支的等截面梁，设对于一端固定另一

6、端铰支的等截面梁，设B B 端为铰支，则有端为铰支，则有0624FBAABABBAMliiiM)213(21FBAABABMilB不是独立的不是独立的1MFFF2BAABABMM330FABAABABBAiMiMlMlqPBABABAABt1Ct2CAFSBAFSABMABEI位移法位移法杆端弯矩杆端弯矩杆端剪力杆端剪力22FABFBABFSABSFSABSiiiliiiliiiFFllliiiFFlll ABABABBAABAABABABBAM426MM246 M6612661222FABFSAABSFSAABSiiliiFFlliiFFll ABAABBAABABABBAM33MM0333

7、3一端固定、另一端铰支梁的一端固定、另一端铰支梁的转角位移方程转角位移方程 两端固定梁的转角位移方程两端固定梁的转角位移方程 位移法位移法 8.3 8.3 位移法的位移法的基本未知量基本未知量和基本结构和基本结构基本未知量：基本未知量：结点角位移结点角位移结点线位移结点线位移1 1、结点的角位移：每一个刚结点有一个独立的角位移未知量。图、结点的角位移：每一个刚结点有一个独立的角位移未知量。图a a所示刚架所示刚架 独立结点角位移数目为独立结点角位移数目为2 2。2 2、结点的线位移：略去受弯杆件的轴向变形，设弯曲变形是微小的。如图、结点的线位移：略去受弯杆件的轴向变形，设弯曲变形是微小的。如图

8、a a， 4 4、5 5、6 6点不动，三根柱子长度不变，故点不动，三根柱子长度不变，故1 1、2 2、3 3点均无竖点均无竖 向位移。两根横梁长度不变。因而，向位移。两根横梁长度不变。因而，1 1、2 2、3 3点有相同的水点有相同的水 平位移。平位移。位移法位移法如何确定基本未知量如何确定基本未知量4 4、确定线位移的方法、确定线位移的方法: : （1 1）由两个已知不动点所引出的不共线的两杆交点也是不动点。）由两个已知不动点所引出的不共线的两杆交点也是不动点。 1 1、在刚结点处加上附加刚臂；、在刚结点处加上附加刚臂；2 2、在结点会发生线位移的方向上加上附加链杆；、在结点会发生线位移的

9、方向上加上附加链杆； 3 3、附加刚臂与附加链杆数目的总和即为基本未知量数目；、附加刚臂与附加链杆数目的总和即为基本未知量数目； （2 2）把刚架所有的刚结点（包括固定支座）改为铰结点，如此体）把刚架所有的刚结点（包括固定支座）改为铰结点，如此体系是一个几何可变体系，则使它变为几何不变体系所需添加的链杆数系是一个几何可变体系，则使它变为几何不变体系所需添加的链杆数目即等于原结构的独立线位移数目。目即等于原结构的独立线位移数目。附加刚臂附加刚臂：阻止刚结点的转动，但：阻止刚结点的转动，但 不能阻止结点的移动。不能阻止结点的移动。附加链杆附加链杆：阻止结点的线位移。：阻止结点的线位移。位移法位移法

10、把原结构的所有刚结点和固定支座均改为铰结点把原结构的所有刚结点和固定支座均改为铰结点铰结体系铰结体系，如图，如图b b。 图图a a所示刚架，在刚结点所示刚架，在刚结点1 1、3 3处处分别加上刚臂，在结点分别加上刚臂，在结点3 3处加上一根处加上一根水平支座链杆，则原结构的每根杆件水平支座链杆，则原结构的每根杆件都成为单跨超静定梁。都成为单跨超静定梁。 这个这个单跨超静定梁单跨超静定梁的组合体称为的组合体称为位移法的位移法的基本结构基本结构。如图。如图c c。位移法位移法图图a a所示刚架，所示刚架，结点角位移数目结点角位移数目=4=4（注意结点（注意结点2 2） 结点线位移数目结点线位移数

11、目=2=2加上加上4 4个刚臂，两根支座链杆，可得基本结构如图个刚臂，两根支座链杆，可得基本结构如图b b。位移法位移法图图a a所示刚架，结点所示刚架，结点线位移数目线位移数目=2=2图图b b所示刚架，结点所示刚架，结点角位移数目角位移数目=2=2 结点结点线位移数目线位移数目=2=2位移法位移法如何确定基本未知量举例：如何确定基本未知量举例：位移法位移法221133（考虑轴向变形）（考虑轴向变形）EIEAEAEA位移法位移法以图（以图（b）、（）、（c）（）（d）分别）分别代替图（代替图（b）、（）、（c）、（）、（d）：）：8-4 8-4 位移法的典型方程及计算步骤位移法的典型方程及计

12、算步骤CBBBA(b)Z1= BqR1 qCllBBBA(a)Z1= BCBBBA(c)R11qR1PCBA(d)ABCB(c)BABqC(d)CABqBB(b)位移法位移法原结构原结构基本体系基本体系1 1、基本体系、基本体系2 2、平衡条件、平衡条件 R11+R1P=0因为：因为：R11=r11 Z1 (见下图）见下图）所以：所以： r11 Z1 +R1P=0Z1= R1P r11CBBBAZ1= BqR1 Z1= BCBBBAR11qR1PCBAqCllBBBAr11Z1= CBBBAq位移法位移法CBAMp图图01111 pRZrlEIlEIlEIr73411 821qlRP EIql

13、lEIqlrRZp5678321111 M图图FS图图CBBBAZ1qBCAZ1= 1CBAqCllBBBA2EI/l4EI/l3EI/lBCAM1图图ql2/8ql2/8原结构原结构基本体系基本体系ql2/8ql2/28ql2/144ql/73ql/73ql/28结构的最后弯矩图由叠加法绘制结构的最后弯矩图由叠加法绘制:P11MMZM解题步骤解题步骤: :（1 1）选取位移法基本体系；）选取位移法基本体系；（2 2）列位移法典型方程；）列位移法典型方程； （3 3）绘单位弯矩图、荷载弯矩图；）绘单位弯矩图、荷载弯矩图；（4 4）求方程中的系数、自由项，解位移法方程；）求方程中的系数、自由项，

14、解位移法方程；（5 5）按）按M=M1Z1+M2Z2+MP绘弯矩图绘弯矩图 进而绘剪力图、轴力图。进而绘剪力图、轴力图。a a图所示刚架，图所示刚架，1313杆和杆和2424杆有侧杆有侧移产生，称为移产生，称为有侧移结构有侧移结构。由图由图c c、d d、e e可得可得002P222121P12111RRRRRRRR002P2221211P212111RZrZrRZrZrr11、r12分别表示分别表示Z1=1、Z2=1引起的刚臂上的反力矩。引起的刚臂上的反力矩。r21、r22分别表示分别表示Z1=1、Z2=1引起的链杆上的反力。引起的链杆上的反力。位移法典型方程位移法典型方程物理意义物理意义基

15、本结构在荷载等外因和各结点位移的共同作用下，每基本结构在荷载等外因和各结点位移的共同作用下，每一个附加联系上的附加反力矩和附加反力都应等于零。一个附加联系上的附加反力矩和附加反力都应等于零。原结构的静力平衡条件原结构的静力平衡条件位移法位移法求系数和自由项求系数和自由项8P1FlR2P2FRir711lir621lir61222215lir位移法位移法将系数和自由项代入典型方程并求解，可得将系数和自由项代入典型方程并求解，可得iFlZiFlZ22155222，5529结构的最后弯矩图可由叠加法绘制：结构的最后弯矩图可由叠加法绘制：P2211MZMZMM位移法位移法对于具有对于具有n n个独立结

16、点位移的结构，可建立个独立结点位移的结构，可建立n n个方程如下：个方程如下：000nP11P111P11111RZrZrZrRZrZrZrRZrZrZrnnnininininiiiinnii主系数：主系数：主斜线上的系数主斜线上的系数rii，或称为主反力，恒为正值。或称为主反力，恒为正值。典型方程典型方程副系数：副系数：其他系数其他系数rij，或称为副反力，可为正、负或零。或称为副反力，可为正、负或零。rij= rji。每个系数都是单位位移引起的反力或反力矩每个系数都是单位位移引起的反力或反力矩结构的结构的刚度系数刚度系数；位移法典型方程位移法典型方程结构的结构的刚度方程刚度方程；位移法；位

17、移法刚度法刚度法。位移法位移法例题例题1 1 试计算图示连续梁，绘弯矩图。各杆试计算图示连续梁，绘弯矩图。各杆EIEI相同。相同。 0022221211212111PPRZrZrRZrZr原结构原结构基本体系基本体系 解：结构的基本未知量：结点的角位移解：结构的基本未知量：结点的角位移Z Z1 1、 Z Z2 2，基本体系如图所示。，基本体系如图所示。 典型方程为典型方程为6EIi 设设绘制弯矩图，绘制弯矩图，取结点为隔离体。取结点为隔离体。11448riii212ri位移法位移法22437riii122ri1222.545PPRKN MRKN M 代入典型方程解得代入典型方程解得 EIZEI

18、Z73.4656.2821由由P2211MZMZMM位移法位移法例题例题2 2 试用位移法绘制图示刚架弯矩图。试用位移法绘制图示刚架弯矩图。4mACEBD40KN2m2m4m10KN.m18KN/m2EIEIEI4EI原结构原结构ACEBD40KN10KN.m18KN/mZ1Z2基本体系基本体系843M1图图 0022221211212111PPRZrZrRZrZr解：结构的基本未知量：结点解：结构的基本未知量：结点B B的角位移的角位移Z Z1 1、结点结点C C的角位移的角位移Z Z2 2，基本体系如图所示。，基本体系如图所示。 典型方程为典型方程为4,1,2,1,4ABBCDCCEEIi

19、iii则设设绘制弯矩图，取结点绘制弯矩图，取结点B B为隔离体为隔离体: :113811r 214r Z1=1 位移法位移法40KN10KN.m18KN/mMp图图(KN.m)84M2图图424206024242244416r124r 123436PPRKN MRKN M 代入典型方程解得代入典型方程解得212225/1065/40ZKN mEIZKN mEI由由P2211MZMZMM绘制弯矩图，取结点绘制弯矩图，取结点C C为隔离体为隔离体: :7.52.56.53.254753.526.536M图图(KN.m)Z2=1位移法位移法 例题例题3 3 试用位移法绘制图示刚架内力图。试用位移法绘

20、制图示刚架内力图。各杆各杆EIEI相同相同。3i4i2iM1图图Z1=1Z2=13i/a3i/aM2图图Mp图图qqa2/8qa2/83qa2/11M图图3qa2/22qa2/853qa2/8835qa2/88aaa/2aq原结构原结构qZ1Z2基本体系基本体系 0022221211212111PPRZrZrRZrZr 解：结构的基本未知量：结解：结构的基本未知量：结点的角位移点的角位移Z Z1 1、 结点线位结点线位移移Z Z2 2，基本体系如图所示。，基本体系如图所示。 典型方程为：典型方程为：6EIi 设设11437riii22222336iiiraaa12213irra 2333884

21、PqaqaqaR 代入典型方程解得：代入典型方程解得：231237,4444qaqaZZii221088PqaqaR基本体系基本体系1111221211222200r Zr ZRr Zr ZR 解：结构的基本未知量：结解：结构的基本未知量：结点的角位移点的角位移Z Z1 1、 Z Z2 2，基本体，基本体系如图所示。系如图所示。 典型方程为：典型方程为： 例题例题4 4 试用位移法绘制图示刚架内力图。试用位移法绘制图示刚架内力图。设支座设支座D D下沉下沉 。lllEDCBA2EI2EIEIEIZ1Z2M 图图6EI /l212EI /l212EI /l2位移法位移法117ri135PRKN

22、m 代入典型方程解得代入典型方程解得4m10KN4m4m2.5KN/mEIEI 练习练习 试用位移法绘制图示刚架内力图。试用位移法绘制图示刚架内力图。01111 pRZrZ2=13i4i2iM1图图2.5KN/m40KN.m5KN.mMp图图15ZKN mi7.51010FS图图(单位单位KN)20FN图图(单位单位KN)7.5位移法位移法10202040M图图(KN.m)如图如图b b，由结点，由结点1 1的力矩平衡条件的力矩平衡条件M1=001312 MM如图如图c c，由隔离体的投影平衡条件，由隔离体的投影平衡条件Fx=0042S13S FF设设Z Z1 1为顺时针方向，为顺时针方向，Z

23、 Z2 2向右，可得向右，可得11221133864iZMFlZliiZM2212S22113S32126ZliFFZliZliF 图图a a所示刚架用位移法求解时有两个基本未知量：刚结点所示刚架用位移法求解时有两个基本未知量：刚结点1 1的转角的转角Z Z1 1，结点，结点1 1、2 2的水平位移的水平位移Z Z2 2。8-5 8-5 直接由平衡条件建立位移法基本方程直接由平衡条件建立位移法基本方程位移法位移法由平衡条件可得由平衡条件可得02156086722121FZliZliFlZliiZZ1、Z2各杆端最后弯矩由转角位移方程求得。各杆端最后弯矩由转角位移方程求得。位移法位移法8-6 8

24、-6 对称性的利用对称性的利用 图图a a所示对称刚架，可将荷载分解为正、反对称两组。在正对称荷载作所示对称刚架，可将荷载分解为正、反对称两组。在正对称荷载作用下只有正对称的基本未知量，如图用下只有正对称的基本未知量，如图b b。在反对称荷载作用下只有反对称的基。在反对称荷载作用下只有反对称的基本未知量，如图本未知量，如图c c。图图b b利用对称性简化为图利用对称性简化为图d d。图图c c利用对称性简化为图利用对称性简化为图e e。用位移法求解用位移法求解用力法求解用力法求解位移法位移法 图图a a所示对称刚架，可将荷载分解为正、反对称两组。在正（反）对称所示对称刚架，可将荷载分解为正、反

25、对称两组。在正（反）对称荷载作用下，基本未知量数目是不同的。如图荷载作用下，基本未知量数目是不同的。如图b b、c c。荷载荷载位移法基本未知量数目位移法基本未知量数目力法基本未知量数目力法基本未知量数目正对称正对称反对称反对称3 33 36 66 6位移法位移法对称性利用举例：对称性利用举例：80kN15kN/m40kN40kN15kN/m40kN40kN40kN15kN/m40kN位移法位移法练习：练习：4kN.m1、利用位移法计算图示结构，绘、利用位移法计算图示结构，绘M图。已知：图。已知：4423104;/101 . 2cmIcmkNE 8m3m4m2m0.02mABCDEF16EI4EI5EI位移法位移法4kN.m0.02mABCDEF16EI4EI5EI1Z基本体系基本体系ABCDEF16EI2EI4EI11 Z2EI4EI6EI图图1MBCD4PMM、图4126位移法方程：位移法方程：111110pr Z 0126414 EI.