矩阵的特征值和特征向量ppt课件

1、C4.2 矩阵的特征矩阵的特征值和特征向量值和特征向量阐明阐明., 0. 1言言的的特特征征值值问问题题是是对对方方阵阵而而特特征征向向量量 x .0,0,. 2 的的特特征征值值都都是是矩矩阵阵的的即即满满足足方方程程值值有有非非零零解解的的就就是是使使齐齐次次线线性性方方程程组组的的特特征征值值阶阶方方阵阵AEAxEAAn 一、特征值与特征向量的概念一、特征值与特征向量的概念., , 1的特征向量的特征向量的对应于特征值的对应于特征值称为称为量量非零向非零向的特征值的特征值称为方阵称为方阵这样的数这样的数那末那末成立成立使关系式使关系式维非零列向量维非零列向量和和如果数如果数阶矩阵阶矩阵是

2、是设设定义定义 AxAxAxxnnA 0. 3 EA 0212222111211 nnnnnnaaaaaaaaa次次方方程程为为未未知知数数的的一一元元称称以以n 0 EA . 的的为为A特特征征方方程程,次多项式次多项式的的它是它是n 记记 EAf 称称其其. 的的为为方方阵阵A特特征征多多项项式式 则则有有的的特特征征值值为为阶阶方方阵阵设设,. 4 21nijaAn ;)1(221121nnnaaa .)2(21An 解解例例1 1 .3113的的特特征征值值和和特特征征向向量量求求 A的特征多项式为的特征多项式为A 31131)3(2 )2)(4(682 . 4, 221 的的特特征征

3、值值为为所所以以A,00231123,2211 xx对对应应的的特特征征向向量量应应满满足足时时当当 . 0, 02121xxxx 即即,21xx 解解得得.11 1 p取取为为所所以以对对应应的的特特征征向向量量可可,001111,00431143,421212 xxxx即即由由时时当当 .11 ,221 pxx取为取为所以对应的特征向量可所以对应的特征向量可解得解得例例 .201034011的的特特征征值值和和特特征征向向量量求求矩矩阵阵 A解解,)1( )2(201034011 2 EAA的特征多项式为的特征多项式为. 1, 2321 的的特特征征值值为为所所以以A由由解解方方程程时时当

4、当. 0)2(,21 xEA ,0000100010010140132 EA,1001 p 得基础解系得基础解系.2)0(11的全部特征值的全部特征值是对应于是对应于所以所以 kpk由由解解方方程程时时当当. 0)(,132 xEA ,000210101101024012 EA,1212 p 得得基基础础解解系系.1)0(322的全部特征值的全部特征值是对应于是对应于所以所以 kpk例例 设设,314020112 A求求A的特征值与特征向量的特征值与特征向量解解 314020112EA ,2)1(2 02)1(2 令令. 2, 1321 的特征值为的特征值为得得A 由由解解方方程程时时当当.

5、0,11 xEA ,000010101414030111 EA,1011 p得基础解系得基础解系的的全全体体特特征征向向量量为为故故对对应应于于11 ).0( 1 kpk 由由解解方方程程时时当当. 02,232 xEA ,0000001141140001142 EA得根底解系为：得根底解系为：,401,11032 pp :232的全部特征向量为的全部特征向量为所以对应于所以对应于 ).0,(323322不不同同时时为为kk pkpk 例例 证明：假设证明：假设 是矩阵是矩阵A A的特征值，的特征值， 是是A A的属于的属于的特征向量，那么的特征向量，那么 x .)1(是是任任意意常常数数的的

6、特特征征值值是是mAmm .,)2(11的的特特征征值值是是可可逆逆时时当当 AA 证明证明 xAx 1 xAxxAAxA xxA22 再继续施行上述步骤再继续施行上述步骤 次，就得次，就得2 mxxAmm .,征征向向量量的的特特对对应应于于是是且且的的特特征征值值是是矩矩阵阵故故mmmmAxA 可得可得由由xAx xAxAAxA111 xxA11 , 0,2 可可逆逆时时当当A., 1111的的特特征征向向量量对对应应于于是是且且的的特特征征值值是是矩矩阵阵故故 AxA.,., 121212121线线性性无无关关则则各各不不相相等等如如果果向向量量依依次次是是与与之之对对应应的的特特征征个

7、个特特征征值值的的是是方方阵阵设设定定理理mmmmppppppmA 证明证明使使设设有有常常数数mxxx,21. 02211 mmpxpxpx那么那么 , 02211 mmpxpxpxA即即, 0222111 mmmpxpxpx 类推之，有类推之，有. 0222111 mmkmkkpxpxpx 1, 2 , 1 mk二、特征值和特征向量的性质二、特征值和特征向量的性质把上列各式合写成矩阵方式，得把上列各式合写成矩阵方式，得 11221112211111,mmmmmmmpxpxpx 0 , 0 , 0 于是有于是有可逆可逆从而该矩阵从而该矩阵该行列式不等于该行列式不等于不相等时不相等时当各当各式

8、式列列阵的行列式为范德蒙行阵的行列式为范德蒙行上式等号左端第二个矩上式等号左端第二个矩., 0,i ,0 ,0 ,0,2211 mmpxpxpx ., 2 , 10mjpxjj 即即, 0 jp但但 ., 2 , 10mjxj 故故.,21线线性性无无关关所所以以向向量量组组mppp留意留意.属于不同特征值的特征向量是线性无关属于不同特征值的特征向量是线性无关的的.属于同一特征值的特征向量的非零线性属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量组合仍是属于这个特征值的特征向量.矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的，一个特征值具有的特征

9、向量不独一；值而言的，一个特征值具有的特征向量不独一；一个特征向量不能属于不同的特征值一个特征向量不能属于不同的特征值 即即有有的的特特征征向向量量的的的的属属于于特特征征值值同同时时是是如如果果设设因因为为,2121 Ax xAxxAx21, xx21 , 021 x , 021 由由于于, 0 x则则.与与定定义义矛矛盾盾例例5 5 设设A A是是 阶方阵，其特征多项式为阶方阵，其特征多项式为n 0111aaaAEfnnnA .的的特特征征多多项项式式求求AT解解 AEfTAT 0111aaannn TAE AE 三、特征值与特征向量的求法三、特征值与特征向量的求法求矩阵特征值与特征向量的步骤：求矩阵特征值与特征向量的步骤： ;det . 1EAA 的的特特征征多多项项式式计计算算 ;,0det . 2 21的全部特征值的全部特征值就是就是的全部根的全部根求特征方程求特征方程AEAn .,0 , . 3 的特征向量的特征向量就是对应于就是对应于的非零解的非零解求齐次方程组求齐次方程组对于特征值对于特征值iiixEA 四、小结四、小结 ., 0det,2, 0A3Edet :4 的一个特征值的一个特征值求求满足条件满足条件阶方阵阶方阵设设 AAEAAAT思索题思索题思索题解答思索题解答知知由由可可逆逆故故因因为为0)3d