天津大学微积分几何应用PPT教案

1、天津大学微积分几何应用天津大学微积分几何应用第一步第一步 利用“化整为零 , 以常代变” 求出局部量的微分表达式xxfUd)(d第二步第二步 利用“ 积零为整 , 无限累加 ” 求出整体量的积分表达式Uxxfbad)(这种分析方法成为元素法元素法 (或微元分析法微元分析法)元素的几何形状常取为: 条, 带, 段, 环, 扇, 片, 壳 等近似值精确值第二节 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共51页第1页/共51页四、四、 旋转体的侧面积旋转体的侧面积 (补充补充)三、平行截面面积为已知函数的三、平行截面面积为已知函数的 立体体积立体体积(旋转体的体积旋转体的体积)一、一、 平面图形的面积

2、平面图形的面积二、二、 平面曲线的弧长平面曲线的弧长 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定积分在几何学上的应用 第六六章 第3页/共51页第2页/共51页1. 直角坐标情形直角坐标情形设曲线)0()(xfy与直线)(,babxax及 x 轴所围曲取x为积分变量,则xxfAd)(dxbaoy)(xfy xxxdxxfAbad)(机动 目录 上页 下页 返回 结束 边梯形面积为 A ,右下图所示图形面积为 yobxa)(2xfy )(1xfy xxfxfAbad)()(21xxxd第4页/共51页第3页/共51页22,xyxy在第一象限所围所围图形的面积 . xxy 2oy2xy xxxd解解:

3、 由xy22xy 得交点) 1, 1 ( , )0,0() 1 , 1 (1xxxAdd22332x01331x3110A机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共51页第4页/共51页xxy22oy4 xyxy22与直线的面积 . 解解: 由xy224 xy得交点)4,8( , )2,2()4,8(yyyAd)4(d221184 xy所围图形)2,2(221yy442361y为简便计算, 选取 y 作积分变量,则有yyyd42A机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共51页第5页/共51页abxoyx12222byax解解: 利用对称性 , xyAdd所围图形的面积 . 有axyA

4、0d4利用椭圆的参数方程)20(sincosttbytax应用定积分换元法得024Atbsinttad)sin(202dsin4ttbaba4212ba当 a = b 时得圆面积公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 xxd第7页/共51页第6页/共51页oyxababoyx)()(tytx给出时, 按顺时针方向规定起点和终点的参数值21,tt则曲边梯形面积21d)()(tttttA机动 目录 上页 下页 返回 结束 )(1axt对应)(1bxt对应第8页/共51页第7页/共51页)cos1 (, )sin(tayttax)0( a的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 .)cos1 (tadA解

5、解:ttad)cos1 ( ttad)cos1 (2022ttad2sin42042)2(tu 令uuadsin8042uuadsin162042216a4321223 a20A机动 目录 上页 下页 返回 结束 xyoa2第9页/共51页第8页/共51页,0)(, ,)(C设求由曲线)(r及,射线围成的曲边扇形的面积 .)(r x d在区间,上任取小区间d,则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为d)(21d2A所求曲边扇形的面积为d)(212A机动 目录 上页 下页 返回 结束 第10页/共51页第9页/共51页对应 从 0 变解解:)0(aarxa 2o dd)(212a20A22a331

6、022334a点击图片任意处点击图片任意处播放开始或暂停播放开始或暂停机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 到 2 所围图形面积 . 第11页/共51页第10页/共51页ttadcos82042所围图形的面积 . 解解:)0()cos1 (aarxa2o dd)cos1 (2122a02A02ad2cos44(利用对称性)2t令28a43212223a心形线 目录 上页 下页 返回 结束 第12页/共51页第11页/共51页2coscos21)2cos1 (21aa2oxyd)cos1 (2122a与圆所围图形的面积 . 解解: 利用对称性 ,)0()cos1 (aar2

7、221aA22221aad)2cos21cos223(所求面积)243(2122aa22245aa ar 2机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共51页第12页/共51页a2sin2a所围图形面积 . 解解: 利用对称性 ,2cos22ard2cos212a404A402a)2(d2cos0则所求面积为42a思考思考: 用定积分表示该双纽线与圆sin2ar 所围公共部分的面积 .2Adsin2026ad2cos21462a机动 目录 上页 下页 返回 结束 yox44答案答案:第14页/共51页第13页/共51页定义定义: 若在弧 AB 上任意作内接折线 ,0M1iMiMnMAByo

8、x当折线段的最大边长 0 时, 折线的长度趋向于一个确定的极限 ,此极限为曲线弧 AB 的弧长 , 即并称此曲线弧为可求长的.iiMM1定理定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的.(证明略)ni 10lims机动 目录 上页 下页 返回 结束 则称第15页/共51页第14页/共51页sdyxabo)()(bxaxfy)(xfy 弧长元素(弧微分) :xxxdxyd12因此所求弧长xysbad12xxfbad)(12(P168)22)(d)(ddyxs机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、平面曲线的弧长二、平面曲线的弧长第16页/共51页第15页/共51页)()()(ttytx弧长元素(弧微分)

9、:因此所求弧长tttsd)()(22tttd)()(2222)(d)(ddyxs机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共51页第16页/共51页)()( rr,sin)(,cos)(ryrx令因此所求弧长d)()(22rrsd)()(22yxd)()(22rr则得sd弧长元素(弧微分) :(自己验证)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第18页/共51页第17页/共51页)ch(cxccxccsh1)(chbxbcxcy成悬链线 .求这一段弧长 . 解解:xysd1d2xcxdsh12xcxdchbxcxs0dch2cxc sh20bcbcsh22chxxeex )(ch x2shxx

10、eex )(sh xxshxch机动 目录 上页 下页 返回 结束 cxbboy下垂悬链线方程为第19页/共51页第18页/共51页ttyxdcos2解解:,0cosx22xxysd1222的弧长.xxd)cos(12202xxd2cos22200sin22222x4机动 目录 上页 下页 返回 结束 第20页/共51页第19页/共51页)cos1 ()sin(tayttax)0( a一拱)20( t的弧长 .解解:tstytxd)()(d2dd2dd )cos1 (22tata22sintdttad)cos1 (2ttad2sin2ttasd2sin2202cos22ta02a8机动 目录

11、上页 下页 返回 结束 xyoa2第21页/共51页第20页/共51页d222aa相应于 02一段的弧长 . 解解:)0(aarxa2oar d)()(22rrsdd12 ad1202as(P349 公式39)212a21ln2102)412ln(24122aa小结 目录 上页 下页 返回 结束 第22页/共51页第21页/共51页设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x), ,)(baxA在则对应于小区间d,xxx的体积元素为xxAVd)(d因此所求立体体积为xxAVbad)(机动 目录 上页 下页 返回 结束 xabxxxd)(xA上连续,第23页/共51页第22页/共51页并与底面交成

12、角,222Ryx解解: 如图所示取坐标系, 则圆的方程为垂直于x 轴 的截面是直角三角形,其面积为tan)(21)(22xRxA)(RxRRxxRV022dtan)(2123231tan2xxR0Rtan323R利用对称性计算该平面截圆柱体所得立体的体积 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 oRxyx第24页/共51页第23页/共51页oRxy此时截面面积函数是什么 ?如何用定积分表示体积 ?),(yx)(yA提示提示:tan2yx22tan2yRyVR0tan2yyRyd22机动 目录 上页 下页 返回 结束 第25页/共51页第24页/共51页abzxyco垂直 x 轴的截面是椭圆1)1

13、 ()1 (22222222axaxczby1222222czbyax所围立体(椭球体)解解:它的面积为)1 ()(22axbcxA因此椭球体体积为xbcaxd)1 (22bc20abca34特别当 a = b = c 时就是球体体积 .)(axaaV02x233axx 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的体积.第26页/共51页第25页/共51页xyoabxyoab)(xfy 2)(xf轴旋转一周围成的立体体积时, 有轴绕xbxaxfy)()(xdbaV当考虑连续曲线段)()(dycyx绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时,有2)(yyddcVxxoy)(yxcdy机动 目录 上页 下页 返

14、回 结束 2、旋转体的体积、旋转体的体积第27页/共51页第26页/共51页ayxb12222byax所围图形绕 x 轴旋转而转而成的椭球体的体积. 解解: 方法方法1 利用直角坐标方程)(22axaxaaby则xxaabad)(220222(利用对称性)3222312xxaab0a234aboaV02xy d2机动 目录 上页 下页 返回 结束 x第28页/共51页第27页/共51页tbytaxsincos则xyVad202ttabdsin23222 ab32234ab1 02特别当b = a 时, 就得半径为a 的球体的体积.343a机动 目录 上页 下页 返回 结束 第29页/共51页第

15、28页/共51页xyoa2)cos1 ()sin(tayttax)0(a的一拱与 y0所围成的图形分别绕 x 轴 , y 轴旋转而成的立体体积 .解解: 绕 x 轴旋转而成的体积为xyVaxd202利用对称利用对称性性2022)cos1 (tattad)cos1 ( ttad)cos1 (2033ttad2sin16063uuadsin322063332 a6543212325aay机动 目录 上页 下页 返回 结束 )2(tu 令第30页/共51页第29页/共51页xyoa2a)cos1 ()sin(tayttax)0(aa2yyxVayd)(202222)sin(ttattadsin2yy

16、xad)(2021)(2yxx 22)sin(ttattadsin0注意上下限 !2023dsin)sin(tttta336a注注注 目录 上页 下页 返回 结束 )(1yxx 第31页/共51页第30页/共51页分部积分对称关于2202dsin)sin(tttt20322d)sinsin2sin(tttttt)(tu令uuusin)2(22uu2sin)(2uu dsin3(利用“偶倍奇零”)0dsin4uuu02dsin4uu24uudsin820222184226第32页/共51页第31页/共51页a2柱壳体积xxxdy也可按柱壳法求出yVyx2柱面面积xyxd2)cos1 ()sin(

17、tayttax机动 目录 上页 下页 返回 结束 xyxVayd2202)sin(tta)cos1 (ta22td02第33页/共51页第32页/共51页偶函数yVttattad)cos1 ()sin(222202043d2sin)sin(8tttta2tu 令043dsin)2sin2(16uuuua2 uv令vvvvadcos)2sin2(164322奇奇函数336a机动 目录 上页 下页 返回 结束 第34页/共51页第33页/共51页轴所围图及表示xtxxfytV)0(, )()()(xfy 在 x0 时为连续的非负函数, 且 ,0)0(f形绕直线 xt 旋转一周所成旋转体体积 , 证

18、明:. )(2)(tftV 证证:x)(xfxoytxxd利用柱壳法xxfxtVd)()(2d则xxfxttVtd)()(2)(0 xxfttd)(20 xxfxtd)(20 xxftVtd)(2)(0)(2tft)(2tft)(2)(tftV 机动 目录 上页 下页 返回 结束 故第35页/共51页第34页/共51页ox1 2yBC3A132xy与 x 轴围成的封闭图形绕直线 y3 旋转得的旋转体体积.(94 考研)解解: 利用对称性 ,y10 x,22x21 x,42x故旋转体体积为V432xxd)2(321022xxd)1 (2361022xxd) 1(22122xxd) 1(22022

19、15448在第一象限 机动 目录 上页 下页 返回 结束 xxd)4(322122第36页/共51页第35页/共51页xyoab设平面光滑曲线, ,)(1baCxfy求上的圆台的侧面积位于d,xxxsySd2d积分后得旋转体的侧面积xxfxfSbad)(1)(22,0)(xf且它绕 x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积 .侧面积元素:)(2xfxxfd)(12机动 目录 上页 下页 返回 结束 xyoab)(xfy abx第37页/共51页第36页/共51页xyo)(xfy abxsySd2d侧面积元素xyd2sdxdxyd2因为的线性主部 .若光滑曲线由参数方程)()()(ttytx给出,

20、 则它绕 x 轴旋转一周所得旋转体的不是薄片侧面积S 的 )(2ttttd)()(22S机动 目录 上页 下页 返回 结束 侧面积为第38页/共51页第37页/共51页xRyo上绕在,21222RRxxxRyxx 轴旋转一周所得的球台的侧面积 S .解解: 对曲线弧,2122xxxxRy应用公式得212xxS22xR 2 122xRxxd21d2xxxR)(212xxR当球台高 h2R 时, 得球的表面积公式24RS机动 目录 上页 下页 返回 结束 1x2xozyx第39页/共51页第38页/共51页一周所得的旋转体的表面积 S .解解: 利用对称性2022Sta3sin22 ttasinc

21、os32td2042dcossin12tttata52sin5112022512attacossin32绕 x 轴旋转 星形线 目录 上页 下页 返回 结束 taytax33sin,cos第40页/共51页第39页/共51页1. 平面图形的面积边界方程参数方程极坐标方程2. 平面曲线的弧长曲线方程参数方程方程极坐标方程22)(d)(ddyxs弧微分:d)()(d22rrs直角坐标方程上下限按顺时针方向确定直角坐标方程注意注意: 求弧长时积分上下限必须上大下小21d)()(tttttAd)(212A机动 目录 上页 下页 返回 结束 第41页/共51页第40页/共51页baxxAVd)(旋转体的

22、体积2)(yxA绕 x 轴 :4. 旋转体的侧面积sySd2d侧面积元素为(注意在不同坐标系下 ds 的表达式)yxxA2)(绕 y 轴 :(柱壳法)(xyy ,)(轴旋转绕xxyy 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第42页/共51页第41页/共51页1.用定积分表示图中阴影部分的面积 A 及边界长 s .提示提示: 交点为, )3,9( , ) 1, 1 (yAd 312yx 032 yxyxo13y)32(y2y332yd 31241yyd 31221弧线段部分直线段部分)52ln()376ln(4155373s机动 目录 上页 下页 返回 结束 以 x 为积分变量 , 则要分两段积分

23、, 故以 y 为积分变量. 第43页/共51页第42页/共51页)()(222bRRbyx绕 x 轴oxyRbR上上半圆为22xRby y22xRx下下222)(xRb222)(xRbRV02xdbR222求体积 :提示提示:方法方法1 利用对称性机动 目录 上页 下页 返回 结束 旋转而成的环体体积 V 及表面积 S .第44页/共51页第43页/共51页RbRVdy2x2ydRbRbV4oxyybyRyd)(22ybR222说明说明: 上式可变形为2RVb2d2bR 20机动 目录 上页 下页 返回 结束 上上半圆为,22xRby下下 y22xRx此式反映了环体微元的另一种取法(如图所示)

24、. dd2bRV第45页/共51页第44页/共51页oxyRbRR02)(222xRbxyd12R02)(222xRbxyd12相同二者2yRb08xyd12bR24利用对称性RS2b2S机动 目录 上页 下页 返回 结束 上式也可写成d2bR20上上半圆为,22xRby下下 y22xRx它也反映了环面微元的另一种取法. 第46页/共51页第45页/共51页分析曲线特点) 1( xxyoyx解解:41)(221 x1A) 1( xxy与 x 轴所围面积1101d) 1(xxxA61,0时2A12d) 1(xxxA,21AA 由61213123,0)2131(2得0,2321由图形的对称性 ,211,2143也合于所求. 为何值才能使) 1( xxy.) 1(轴围成的面积及与于xxxxy与 x 轴围成的面积等机动 目录 上页 下页 返回 结束 故第47页/共51页第46