计算方法课件-第5章-数值微分与数值积分

1、1 5.1 5.1 数值微分数值微分 5.2 5.2 数值积分数值积分20002()( )( )()( )limlim()()limhhhf xhf xf xf xhfxhhf xhf xhh 微积分中，关于导数的定义如下：微积分中，关于导数的定义如下：自然，而又简单的方法就是，自然，而又简单的方法就是，取极限的近似值，即差商取极限的近似值，即差商.5.1 5.1 数值微分数值微分5.1.1 5.1.1 差商型求导公式差商型求导公式3000()()()f xhf xfxh 由由Taylor展开展开2000002()()()( ),!hf xhf xhfxfxxh因此，有误差因此，有误差0002

2、()()( )()( )( )!f xhf xhR xfxfO hh 5.1 5.1 数值微分数值微分5.1.1 5.1.1 差商型求导公式差商型求导公式4000()()()f xf xhfxh 由由Taylor展开展开2000002()()()( ),!hf xhf xhfxfxxh因此，有误差因此，有误差0002()()( )()( )( )!f xf xhhR xfxfO hh 5.1 5.1 数值微分数值微分5.1.1 5.1.1 差商型求导公式差商型求导公式50002()()()f xhf xhfxh 由由Taylor展开展开23000010102300002020()()()()(

3、),2!3!()()()()(),2!3!hhf xhf xhfxfxfxxhhhf xhf xhfxfxfxhx因此，有误差因此，有误差00022212()()( )()2 ()()( )()126f xhf xhR xfxhhhfffO h5.1 5.1 数值微分数值微分5.1.1 5.1.1 差商型求导公式差商型求导公式6由误差表达式，由误差表达式，h h越小，误差越小，但同时舍入误差增大，越小，误差越小，但同时舍入误差增大，所以，有个所以，有个最佳步长最佳步长我们可以用事后误差估计的方法来确定我们可以用事后误差估计的方法来确定设设D(h),D(h/2)D(h),D(h/2)分别为步长为

4、分别为步长为h,h/2h,h/2的差商公式。则的差商公式。则( )( )2hD hD 时的步长时的步长h/2h/2就是合适的步长就是合适的步长( )( )( )( )( /2)( /2)fxD hO hfxD hO h( )( )( )2( )( /2)( /2)fxD hO hfxD hO h( )( )2( )2 ( /2)fxD hfxD h( )( /2)( )( /2)fxD hD hD h7f(x)=exp(xf(x)=exp(x) )hf(1.15)R(x)hf(1.15)R(x)0.103.1630-0.00480.053.1590-0.00080.093.1622-0.004

5、00.043.1588-0.00060.083.1613-0.00310.033.1583-0.00010.073.1607-0.00250.023.1575-0.00070.063.1600-0.00180.013.1550-0.0032例：例：8 插值是建立逼近函数的手段，用以研究原函数的性质。插值是建立逼近函数的手段，用以研究原函数的性质。因此，可以用插值函数的导数近似为原函数的导数。因此，可以用插值函数的导数近似为原函数的导数。( )( )( )( )kknfxLx 误差误差(1)( )( )( )( )( )(1)!nnnnfRxxf xLxn (1)( )( )( )( )(1)!

6、knknnkdfRxxdxn 5.1 5.1 数值微分数值微分5.1.2 5.1.2 插值型求导公式插值型求导公式注意注意：为了便于估计误差，限定只能对节点上的导数值采用插值为了便于估计误差，限定只能对节点上的导数值采用插值多项式的相应导数进行近似。多项式的相应导数进行近似。91 1、两点公式、两点公式5.1 5.1 数值微分数值微分5.1.2 5.1.2 插值型求导公式插值型求导公式01011010110101001010110()()( )()()()()()()()()xxf xf xxxL xf xf xxxxxxxf xf xfxxxf xf xfxxx 给定两点上的函数值给定两点上

7、的函数值 01(),(),f xf x这称为这称为两点公式两点公式。 10截断误差截断误差: 00010010100()()()() |2!()|2!()2xxxxfR xxxxxfxxxxhf 左左端端11111011101()()()() |2!()|2!()2xxxxfR xxxxxfxxxxhf 右右端端11若给定三点上的函数值若给定三点上的函数值 则由则由 0(),0,1,2,iiiyf xxxih i 0201122012010210122021020112012010210122021xxxxxxxxxxxxLxyyyxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxyyyxxxx

8、xxxxxxxx 0120202020121200122223 ()4 ()()()()(5.1.8)2()():()()(5.1.9)2()4 ()3 ()()()(5.1.10)2f xf xf xfxL xhyyf xf xfxL xxxhf xf xf xfxL xh 得得这称为这称为三点公式三点公式，其中（，其中（5.1.95.1.9）又称为）又称为中点公式中点公式。 2、三点公式三点公式12220122122223()()3()-()6()()3hRxfhRxfhRxf 左左 端端 中中 右右 端端 例例1 1：已知列表：已知列表X 2.5 2.55 2.60 2.65 2.70Y

9、 1.58114 1.59687 1.61245 1.62788 1.64317(2.50),(2.6),(2.7)fff求求的的近近似似值值。13解解: h=0.051(2.50)( 3 1.581144 1.596871.61245)2 0.050.3161f 1(2.60)( 1.596871.62788)2 0.050.3101f 1(2.70)(1.612454 1.627883 1.64317)2 0.050.3044f 140212201011210120122021()()()()( )()()()()()()()()ixxxxxxxxL xyyxxxxxxxxxxxxyxxx

10、x二阶导数公式及误差二阶导数公式及误差对其求二阶导数得对其求二阶导数得01222()2 ()()()(),0,1,2(5.1.12)iif xf xf xfxL xih 由由Taylar展开可得误差估计式展开可得误差估计式 24()(),0,1,2(5.1.13)12iihfxPxfi 155.2 5.2 数值积分数值积分5.2.1 5.2.1 插值型求积公式插值型求积公式 （1 1）插值型求积公式）插值型求积公式 （2 2）Newton-CotesNewton-Cotes型求积公式型求积公式 （3 3）梯形公式、）梯形公式、SimpsonSimpson公式和公式和CotesCotes公式公式

11、5.2.2 5.2.2 复化求积公式复化求积公式 （1 1）复化梯形公式）复化梯形公式 （2 2）复化）复化SimpsonSimpson公式公式5.2.3 Romberg5.2.3 Romberg积分法积分法 （1 1）梯形逐步减半算法）梯形逐步减半算法 （2 2）RombergRomberg积分法积分法 16 问题：问题：如何求积分如何求积分,d)( baxxfI数学分析：数学分析：牛顿牛顿- -莱布尼茨莱布尼茨( (Newton-Leibniz) )公式：公式： ).()(d)(aFbFxxfba N-LN-L公式失效的情形：公式失效的情形： （1 1）被积函数，诸如）被积函数，诸如 等等

12、，找不到用等等，找不到用初等函数表示的原函数；初等函数表示的原函数； 2sin, sinxxx （2 2）当）当 是由测量或数值计算给出的一张数据表是由测量或数值计算给出的一张数据表. .这时，牛顿这时，牛顿- -莱布尼茨公式也不能直接运用莱布尼茨公式也不能直接运用; ; ()fx17 问题问题：点：点的具体位置一般是不知道的，因而难以的具体位置一般是不知道的，因而难以 准确算出准确算出 的值，怎么办？的值，怎么办？)(f 只要对平均高度只要对平均高度 提供一种算法，相应地便可获得提供一种算法，相应地便可获得)(f一种数值求积方法一种数值求积方法. . 由积分中值定理知，在积分区间由积分中值定

13、理知，在积分区间 内存在一点内存在一点，成立成立 ,ba)()(d)( fabxxfba 构造数值积分公式的基本思想：构造数值积分公式的基本思想：).()()(afabdxxfba （1）左矩形公式）左矩形公式18（3 3）用区间中点）用区间中点 的的“高度高度” ” 近似地取代平近似地取代平均均高度高度 ，则又可导出所谓中矩形公式，则又可导出所谓中矩形公式2abc ()fc)(f).2()()(bafabdxxfba ).()()(bfabdxxfba （2）右矩形公式）右矩形公式（4 4）用两端点）用两端点“高度高度” ” 与与 的算术平均作为平均高的算术平均作为平均高度度)(af)(bf

14、)(f的近似值，这样导出的求积公式的近似值，这样导出的求积公式)()(2)(bfafabdxxfba 是梯形公式是梯形公式. . 19 一般地，可以在区间一般地，可以在区间 上适当选取某些节点上适当选取某些节点 ，,bakx然后用然后用 加权平均得到平均高度加权平均得到平均高度 的近似值，这样的近似值，这样()kfx)(f nkkkbaxfAxxf0)(d)(权权 仅仅与节点仅仅与节点 的选取有关，的选取有关，kAkx构造出的求积公式具有下列形式：构造出的求积公式具有下列形式：的具体形式的具体形式. . ()fx 而不依赖于被积函数而不依赖于被积函数式中式中 称为称为求积节点求积节点； 称为称

15、为求积系数求积系数, ,亦称伴随节点亦称伴随节点 的的权权. kxkAkx将这种思想一般化：将这种思想一般化：20（1 1）插值型求积公式）插值型求积公式 思思想想是是：进进行行插插值值型型数数值值积积分分的的对对于于 dxxfba)(), 1 ,0)(,)1(,.110nixfbxxxaxnbaini 算算出出：个个分分点点插插入入将将x0 x1-xi-1xixi+1-xnf(x0)f(x1)-f(xi-1)f(xi)f(xi+1)-f(xn)2.2.由下列列表函数求由下列列表函数求L-L-插值多项式插值多项式)()()(0 niiinxlxfxL21 dxxLdxxfnbaba)()(.

16、300()( )()nnbia iiiniif xl x dxA f xI 记记为为称为称为插值型求积公式插值型求积公式， 称为称为求积求积节点节点， nxxx,10称为称为求积系数求积系数，其和 ), 1 , 0()(nidxxlAibadefi 00()nnbiaiiibaAlx dxdxba 22求积系数求积系数 通过插值基函数通过插值基函数 积分得出积分得出 kA()klx.d)( bakkxxlA 由插值余项定理即知，其由插值余项定理即知，其余项余项 nIIfR 式中式中与变量与变量 有关，有关， x01()()()().nxxxxxxx ,d)()!1()()1( banxxnf

17、因此，当因此，当 f(x) f(x) 为次数不超过为次数不超过 n n 次的多项式时，插值型求次的多项式时，插值型求积公式精确成立。积公式精确成立。 23（2） Newton-Cotes公式公式 nnjijinbanjijnnjijjijbaiiidtjtininabhdtjijtdxxxxxdxxlAthaxninabhihax00000)(! )( !)1()(, 1 , 0;得得由由 nnjijinnidtjtniniC00)()!( !)1(记记则则 ， niiCabA)( 0()()nnniiiIbaCf x 考虑等距节点的情形考虑等距节点的情形 Newton-Cotes公式公式Co

18、tesCotes系数系数 24n=1,2,4的的N-C公式公式21)!11(!11)1(21)1()!01(!01)1(,11011)1(11001)1(0 tdtCdttCn有有时时这称为这称为梯形公式梯形公式； 几何意义：用梯形面积几何意义：用梯形面积代替代替f(x)作为曲边的曲边作为曲边的曲边梯形面积。梯形面积。 nnjijinnidtjtniniC00)()!( !)1( TbfafabI记记为为 )()(21xy)(xfy )(1xLy 图图1 梯形公式梯形公式 ab（3 3）梯形公式、）梯形公式、SimpsonSimpson公式和公式和CotesCotes公式公式2561)1(21

19、64)2(2161)2)(1()!02(! 02)1(,220)2(220)2(12002)2(0 dtttCdtttCdtttCn有有时时SbfbafafabxfCxfCxfCabxfCabIiii记记 )()2(4)(6)()()()()()()(2)2(21)2(10)2(020)2(2这称为这称为Simpsion公式公式。 nnjijinnidtjtniniC00)()!( !) 1()(xfy )(2xLy xy图图2 Simpson公式公式 ab几何意义：用抛物线几何意义：用抛物线 作曲边的曲边作曲边的曲边梯形面积代替梯形面积代替f(x)作作为曲边的曲边梯形面积。为曲边的曲边梯形面

20、积。 )(2xLy 26 CfffffabIn记为记为有有时时 4321047321232790,4这称为这称为Cotes公式公式。 3()()()2 !()()()2()()( 5 .2 .8 )1 2bTabafExaxbd xfxaxbd xbaf 求积公式的误差（余项）求积公式的误差（余项）275(4)( ),( , )(5.2.9)90shEfa b 8(6)( ),( , ),(5.2.10)945ChEfa b 28 例例 5. 1 分别用梯形公式、分别用梯形公式、Simpson公式计算定积分公式计算定积分 10 xIe dx 01101.85914;2Iee 解解11.7182

21、8;Ie梯形公式的误差梯形公式的误差1.859141.718280.14086.SimpsonSimpson公式及误差公式及误差10121041.71886;6Ieee 1.718861.718280.00058.29 nkbankxxkmdefnmxxmxxkmkkkdxxfdxxfIFnkdxxfdxxLIxxnabhnkkhaxbakkkkkk111)()(, 2 , 1)()(,), 1 , 0( ,111合合并并得得上上作作近近似似在在每每一一个个小小区区间间作作等等距距分分割割对对区区间间5.2.2 5.2.2 复化求积公式复化求积公式 30当取当取 m=1 时，称为时，称为复化梯

22、形公式复化梯形公式，简记为，简记为Tn()11111()()2( )( )2()(5.2.11)2nnnkkknkkhTFf xf xbaf af bf xn （1 1）复化梯形公式）复化梯形公式 nkxfxfhIITxxkkkkkk, 2 , 1)()(2.,1111 公公式式，积积分分值值积积为为上上使使用用对对区区间间31当取当取 m=2 时，称为时，称为复化复化Simpson公式公式，简记为，简记为Sn12212201122110()4 ()()3( )( )2()4()(5.2.13)6nniiiinniiiihSf xf xf xbaf af bf xf xn 22222122,2

23、()4 ()()0,1,2,13iiiiibaxxSimpsonhnhf xf xf xin 上上使使用用公公式式： ( ( = =) )（2 2）复化）复化SimpsonSimpson公式公式32复合求积公式的误差（余项）复合求积公式的误差（余项） 2(4)4(5.2.12)12( )(5.2.14)2880nnTnSnbaEITfhbaEISfh 3310 xe dx 解：解：使用复化梯形公式使用复化梯形公式使用复化使用复化Simpson公式：公式：例例 5. 3 5. 3 分别用复化梯形公式、复化分别用复化梯形公式、复化SimpsonSimpson公式计算定积分公式计算定积分 7811

24、1(0)(1)22 881.7205kkTfff 334101 111(0)(1)224(21)6 4881.7183iiSfffifi 34 为便于估计误差，实际计算时常常采用步长逐次减半的算为便于估计误差，实际计算时常常采用步长逐次减半的算法，下面介绍其思想。法，下面介绍其思想。 由由 2222)(1212 hfabTIhfabTInn 2221 nnTITI得得5.2.3 Romberg5.2.3 Romberg积分法积分法 （1 1）梯形逐步减半算法）梯形逐步减半算法 221()41nnnITTT 352222231()(5.2.17)411()(5.2.18)41nnnnnnISSS

25、ICCC 类类似似可可得得所以得所以得 221()(5.2.15)41nnnITTT 所以所以 36 根据式根据式 (5.2.15) 进行进行事后误差估计事后误差估计 ， 如此递推计算，如此递推计算，直到某个直到某个n 满足满足 为止为止 ，取取 为所求的近似值，为所求的近似值，这就是这就是梯形公式的步长逐次减半算法梯形公式的步长逐次减半算法。因此，可先用因此，可先用 计算出计算出T1，并把步长，并把步长减半算出减半算出T2 ，若，若 则则T2 即为即为所求的近似值，否则再把步长减半，算出所求的近似值，否则再把步长减半，算出T4;)()(21bfafabT ,(3112为精度要求）为精度要求）

26、 TT,3124TT nnTT231nT237为减少计算量，需建立递推公式，现对复合梯形公式推导之。为减少计算量，需建立递推公式，现对复合梯形公式推导之。 21111121 ( )( )4 ( )( )41(21)(5.2.12()22(2)22(21)2226)2nknmnmnnnmbaf aknbaf abaTf af bnbaf af bnbmnabaTf ambaf amnnn 这里这里 对应于新的步长，对应于新的步长， 对对应于新分点。应于新分点。 nab2 ), 2 , 1(2)12(nmnabma 11 ( )( )2()2nnkbabaTf af bf aknn 由由38因此可

27、建立梯形公式的步长逐次减半递推公式：因此可建立梯形公式的步长逐次减半递推公式： 01122221 ( )( )21(21)222(1,2,)kkkkkibaTf af bbabaTTf aik 39 类似地，可对类似地，可对 Simpson 公式和公式和 Cotes 公公式分别利用（式分别利用（5.2.17）和（）和（5.2.18）进行事后）进行事后误差估计，建立步长逐次减半的算法。误差估计，建立步长逐次减半的算法。 *222,.nnnnnIIIIII区间折半即若则4010sin(0.9460831)xIdxIx 例例计计 算算9397933. 09588510. 0219207355. 02

28、1)21(21219207355. 08414709. 0121)1()0(20112210 fTTffT9456909. 0)87()85()83()81(81219445135. 09088516. 09896158. 0419397933. 021)43()41(412123122222 ffffTTffTT解解:419460831. 0109460830. 099460827. 089460815. 079460796. 069460596. 059459850. 049456909. 039445135. 029397933. 019207355. 002kTk计算结果见下表计算结果见下表4222222221()(5.2.15)411()034133,1(4)(5.2.20)3nnnnnnnnnnnnnITTTITTTTTTTTSSTT 由由得得比比精精度度更更高高。考考察察可可知知，即即有有这说明收敛较快的这说明收敛较快的 Simpson 步长减半序列步长减半序列 可由梯形公式的可由梯形公式的步长减半序列步长减半序列 构造生成。构造生成。 2kS 2kT5.2.3 Romberg积分法积分法（2）Romberg积分法积分法43类似地，类似地， 22222221()(5.2.17)411(4)0411(16)(5.2.22)15nnnnn