第4章Cohen类时-频分布ppt课件

1、第第4章章Cohen类时频分布类时频分布第第4章章Cohen类时频分布类时频分布 4.1 前言前言 4.2 Wigner分布与模糊函数分布与模糊函数 4.3 Cohen类时频分布类时频分布 4.4 时频分布所希望的性质时频分布所希望的性质 及核函数的制约及核函数的制约 4.5 核函数对时频分布中核函数对时频分布中 交叉项的抑制交叉项的抑制 4.6 减少交叉项干扰的核的设计减少交叉项干扰的核的设计第第4章章Cohen类时频分布类时频分布4.1 前言前言 1966年，年，Cohen给出了时频分布的更普通表示给出了时频分布的更普通表示方式：方式：式中式中 称为时频分布的核函数，也可以了解称为时频分布

2、的核函数，也可以了解为是加在原为是加在原Wigner分布上的窗函数。不同的分布上的窗函数。不同的 ，可以得到不同类型的时频分布。可以得到不同类型的时频分布。 目前已提出的绝大部分具有双线性方式的时频目前已提出的绝大部分具有双线性方式的时频分布都可以看作是分布都可以看作是Cohen类的成员。类的成员。 ，：，ddudeg2ux2ux21gtCutjx，g，g第第4章章Cohen类时频分布类时频分布4.2 Wigner分布与模糊函数分布与模糊函数u模糊函数定义 u令 为一复信号，由定义 的瞬时自相关函数为u 4.2.1u并定义 相对 的傅立叶变换u u 4.2.2u为 的WVD。 tx tx22t

3、xtxtrx，trxdtrtWjxx， tx第第4章章Cohen类时频分布类时频分布 的对称模糊函数的对称模糊函数 定义为定义为 相对变相对变量量 的傅立叶逆变，即：的傅立叶逆变，即： 4.3.3由由4.2.3式，有式，有 (4.2.4对该式两边取相对变量对该式两边取相对变量 的傅立叶变换，立刻可得的傅立叶变换，立刻可得 4.2.5该式阐明，信号的该式阐明，信号的WVD是其是其AF的二维傅立叶变换。的二维傅立叶变换。 dteAtrtjxx，ddeAtWtjxx， tx，xA，trxtdtetr21Atjxx，第第4章章Cohen类时频分布类时频分布 令令 为一复信号，定义为一复信号，定义 ，

4、分别是作正、分别是作正、负移位和正、负频率调制所得到的新信号，即：负移位和正、负频率调制所得到的新信号，即： 4.2.6a 4.2.6b 式中为时移，为频移，显然式中为时移，为频移，显然 (4.2.7即：模糊函数可了解为信号在作时移和频率调制后的即：模糊函数可了解为信号在作时移和频率调制后的 内积。内积。 tx tx1 tx2 2tj1e2txtx 2tje2txtx ,22221Adtetxtxtxtxtj，u 模糊函数的含义模糊函数的含义 第第4章章Cohen类时频分布类时频分布 当将信号当将信号 发射出去并由一固定目的作发射出去并由一固定目的作无失真反射回来时，反射信号应是无失真反射回来

5、时，反射信号应是 。经过估计时间可知道从信号发射点到目的的经过估计时间可知道从信号发射点到目的的间隔。假设目的是挪动的，由多普勒效应，间隔。假设目的是挪动的，由多普勒效应，还还将产生频移，即接遭到的信号应是将产生频移，即接遭到的信号应是 。因此，模糊函数在雷达实际中具有重要的作因此，模糊函数在雷达实际中具有重要的作用。用。 txtxtjetx第第4章章Cohen类时频分布类时频分布u 模糊函数的性质：模糊函数的性质： .假设假设 ， 那么那么 4.2.8 2. 假设假设 ， 那么那么 4.2.9 的最大值一直在平面的最大值一直在平面 的原点，且该最大值即的原点，且该最大值即是信号的能量，即：是

6、信号的能量，即：4.2.10假设我们再定义假设我们再定义 4.2.11 0ttxty，xtjyAeA0 tjetxty0，xjyAeA0，xA，xxxEAA00max，22XXRx，第第4章章Cohen类时频分布类时频分布为为 的的“瞬时瞬时谱自相关，式中为的谱自相关，式中为的FT，那，那么：么： 4.2.12 4.2.13且且 4.2.14 deRtWtjxx，de2X2XtjdeR21Ajxx，de2X2X21jdtdetrRtjxx， X第第4章章Cohen类时频分布类时频分布uWVDWVD和和AFAF的本质区别：的本质区别：u不论不论 是实信号还是复信号，其是实信号还是复信号，其WVD

7、WVD一一直是实信号，但其模糊函数普通为复函直是实信号，但其模糊函数普通为复函数。数。u两个信号两个信号 ， 的互的互WVDWVD满足满足u u 4.2.15a4.2.15au而其互而其互AFAF不存在上述关系，即不存在上述关系，即uu 4.2.15b4.2.15b tx tx ty，tWtWxyyx，xyyxAA第第4章章Cohen类时频分布类时频分布 WVD和和AF分别处在不同的分别处在不同的“域：域： ：时频域，对应：时频域，对应 ：瞬时自相关域，对应：瞬时自相关域，对应 ：“瞬时谱自相关域，对应瞬时谱自相关域，对应 ：模糊函数域，对应：模糊函数域，对应之所以称之所以称 为为“模糊函数，

8、是由于模糊函数，是由于 和和 分分别对应了频域的别对应了频域的“频移和时域的频移和时域的“时移。时移。),( t),( tWx),(t),(trx),(),(xR),(),(xA),(xA第第4章章Cohen类时频分布类时频分布1tFFF1FFF) 2() 2(), (txtxtrx11FFt),(xA), ( tWx图4.2.1WVD和AF的关系第第4章章Cohen类时频分布类时频分布 举例阐明举例阐明 和和 在在 和和 平面上平面上的位置的不同的位置的不同 例例4.2.1令令 4.2.16我们在例我们在例3.3.5中已求出其中已求出其WVD是是 4.2.17同样可求出其模糊函数是同样可求出

9、其模糊函数是 4.2.18),( tWx),(xA),( t),( tjtttx02041exp2exp22002exp/xW ttt ，0022exp441exp21tjAx，第第4章章Cohen类时频分布类时频分布分析结论：分析结论：1 是实函数，而是实函数，而 是复函数；是复函数；2 的中心在的中心在 处，它是一高斯型函数，处，它是一高斯型函数，时域、频域的扩展受时域、频域的扩展受 的控制；的控制； 的中心在的中心在 处，其幅值也是高斯处，其幅值也是高斯型函数，且遭到一复正弦的调制。该复正弦型函数，且遭到一复正弦的调制。该复正弦在在 和和 轴方向上的震荡频率由轴方向上的震荡频率由 和和

10、所控制。所控制。这就是说，这就是说， 和和 并不影响并不影响 的中心位置，的中心位置，影响的只是其震荡速度。影响的只是其震荡速度。，tWx，xA，xA，xA，tWx00，t 00，0t0t00第第4章章Cohen类时频分布类时频分布例例4.2 令令 4.2.19其模糊函数其模糊函数AF： (4.2.20) 及及 是是 的的AF的互项，其中：的互项，其中： 4.2.21式中式中 ， ， ，因此因此 的中心为的中心为 的中心为的中心为 212412expiiitjtttx，1221,21xxxxixxAAAAiuduu22dxxttjt44121A21expexp,，21,xxA，12,xxA t

11、x221tttu21d221u21dttt 2121tttdd，21,xxA，12,xxA 1212tttdd，第第4章章Cohen类时频分布类时频分布4.2.2x(t) 的模糊函数与时频分布, (a) 模糊函数, (b) 时频分布第第4章章Cohen类时频分布类时频分布 将将WVDWVD的互项及的互项及.21式均写成极坐标的方式，即：式均写成极坐标的方式，即： 4.2.22a4.2.22a 4.2.22b4.2.22b由由.21式，有式，有 4.2.23a4.2.23a由由.2式，有式，有 4.2.23b4.2.23b，tjtAtWWWxx

12、exp21,，AAxxjAAexp21,uAt，uA，dWtt，dWtt，第第4章章Cohen类时频分布类时频分布上式结果阐明：上式结果阐明： WVD互项的相位对互项的相位对 和和 的偏导数分别对应于的偏导数分别对应于该信该信号模糊函数的互项的中心坐标，即号模糊函数的互项的中心坐标，即 。AF中中互项的位互项的位置直接反映了置直接反映了WVD中交叉项的震荡情况。中交叉项的震荡情况。WVD中中交叉项震交叉项震荡越厉害，那么，荡越厉害，那么，AF中互项的中心距中互项的中心距 平面的平面的原点越原点越远，反之，我们由远，反之，我们由AF互项的中心位置又可大致判别互项的中心位置又可大致判别WVD互互项

13、的震荡程度。项的震荡程度。 tddt，第第4章章Cohen类时频分布类时频分布 WVD WVD和和AFAF各自互项与自项的位置及它们互项间的关各自互项与自项的位置及它们互项间的关系提供了一个抑制系提供了一个抑制WVDWVD中交叉项的有效途径，即：中交叉项的有效途径，即：1 1首先对首先对 求模糊函数，由于求模糊函数，由于 的自项一的自项一直在平面直在平面 的原点处，而互项远离原点，因此，的原点处，而互项远离原点，因此，我们可设计一个我们可设计一个 平面的低通滤波器对平面的低通滤波器对 滤波，从而有效地抑制了滤波，从而有效地抑制了 中的交叉项；中的交叉项；2 2对滤波后的对滤波后的AFAF按按4

14、.式作二维傅立叶变式作二维傅立叶变换，得到换，得到 。这时。这时 的已是被抑制了的已是被抑制了交叉项的新交叉项的新WVDWVD。 tx，xA，xA，xA，tWx，tWx第第4章章Cohen类时频分布类时频分布AF中越是远离原点的交叉项，在中越是远离原点的交叉项，在 的作用的作用下，抑制的效果越明显。下，抑制的效果越明显。 dtdtdd12uut1t2tt图4.2.3 同一信号AF及WVD互项与自项的位置表示图，g第第4章章Cohen类时频分布类时频分布4.3 Cohen类时频分布类时频分布 u时频分布方式时频分布方式 u 令令 ，Cohen类分布的一致表示方式类分布的一致表示方

15、式变为变为u u u 4.3.1u即即Wigner分布是分布是Cohen类的成员，且是最简类的成员，且是最简单的一种。单的一种。 1，g ，：，tWde2tx2txdudetu2ux2uxdedude2ux2ux21ddude2ux2ux21gtCxjjtujjutjx第第4章章Cohen类时频分布类时频分布 Rihaczec分布分布 Page分布分布 ChoiWillams分布分布 BornJordan分布分布2jeg，2jeg，22jeg， sin，g第第4章章Cohen类时频分布类时频分布u Cohen Cohen类分布的其它表示方式类分布的其它表示方式 u1 1、用、用 的频谱的频谱

16、表示，即表示，即u u2 2、用模糊函数表示、用模糊函数表示 .2 u .3u3 3、用、用WVDWVD表示表示u .4u )(X tx ddudeguXuXtCtujx，2221 ddegAtCtjxx， dudutGuWtCxx，241第第4章章Cohen类时频分布类时频分布4、用广义模糊函数表示、用广义模糊函数表示在在4.3.3式中，定义式中，定义 4.3.5为信号的广义模糊函数，那么为信号的广义模糊函数，那么 4.3.65、用广义时间相关表示、用广义时间相关表示定义时间自相关域的核函数为：定义时间自相关域的核函数为： 4.3.7那么广义时

17、间自相关定义为：那么广义时间自相关定义为： 4.3.8 ，gAMxxddeMtCtjxx，degtgjt， duutgurtrx，21第第4章章Cohen类时频分布类时频分布 4.3.96、用广义谱自相关表示。定义、用广义谱自相关表示。定义 4.3.10为谱自相关域的核函数，那么广义谱自相关定为谱自相关域的核函数，那么广义谱自相关定义为：义为： 4.3.11这样，这样， 可表为可表为 的傅立叶逆变换，的傅立叶逆变换，即：即： 4.3.12detrtCjxx，degGj， dGRRXX，21，tCx，xRdeR21tCjtxx，第第4章章Cohen类时频分布类时频分布u Cohen类时频分布的六

18、种表达方式，归纳类时频分布的六种表达方式，归纳起来可分为四类：起来可分为四类：u 和和 在域在域 内的卷积内的卷积4.3.4；u广义模糊函数的广义模糊函数的 傅立叶变换傅立叶变换4.3.5、4.3.6及及4.3.3；u瞬时时间自相关瞬时时间自相关 和时间自相关域核函数和时间自相关域核函数u 在在t方向上卷积后的方向上卷积后的 傅立叶变换傅立叶变换(.9；u瞬时谱自相关瞬时谱自相关 和谱自相关域核函数和谱自相关域核函数 在在 方向上卷积的傅立叶变换方向上卷积的傅立叶变换.12。，tWx，tG，tD2，trx，tgxD1，xR，G第第4章章Cohen类时频分布类时

19、频分布 由由MoyalsMoyals公式，可以证明，图谱也是公式，可以证明，图谱也是CohenCohen类的成员，即：类的成员，即： .13式中式中 是作是作STFTSTFT时所用时域窗函数时所用时域窗函数 的的WVDWVD。比。比较较.4式，式， 对应对应 ，它应是，它应是某一模某一模糊函数的糊函数的2-D2-D傅立叶变换。傅立叶变换。dudutWuWtSTFThxx，2，tWh th，tWh，tG第第4章章Cohen类时频分布类时频分布表表4.3.1知时频分布及其核函数知时频分布及其核函数 Spectrogram谱图 ZhaoAtlasMarks Choi

20、WilliamsED Page BornJordanCohen Rihaczek ReRihacze 伪Wigner分布 1 Wigner 时频分布表达式 核函数 分布称号 ，g，tCx detxtxj22 h dehtxtxj222cos tjeXtxRe2je tjeXtxaasin atatjjdudeuxuxea221212je 2ttjt detxt22e dudeuxuxjtu2224222 agsin21 atatj1dud2ux2uxegdueuhuhuj22 2dethxj第第4章章Cohen类时频分布类时频分布4.44.4时频分布所希望的性质及时频分布所希望的性质及对核函数

21、的制约对核函数的制约 由表由表.1可以看出，给出不同的核函数可以得可以看出，给出不同的核函数可以得到不同的分布。因此，经过对核函数的性能的分析，到不同的分布。因此，经过对核函数的性能的分析，可以调查其时频分布的能性，可以得到一个新的分可以调查其时频分布的能性，可以得到一个新的分布，对核函数施加一些制约条件，有能够得到我们所布，对核函数施加一些制约条件，有能够得到我们所希望的时频分布的性质。表希望的时频分布的性质。表.1列出了这些性质列出了这些性质 及对核函数的制约及对核函数的制约 。 iP iQ第第4章章Cohen类时频分布类时频分布表4.4.1所希望的时频分布

22、的性质及对核函数的制约性质名称性质名称 表达式表达式 对核函数的约束对核函数的约束 ：非负性：非负性 ： 是某些函数的模糊函数是某些函数的模糊函数 ：实值性：实值性 ： ：时移：时移 ： 不取决于不取决于t ：频移：频移 : 不取决于不取决于 ：时间边：时间边 界条件界条件 ： ：频率边：频率边 界条件界条件 ：0P0Q，g1P2P3P4P，tRtCxQ2QQ34Q5Q，gg，00ttCtCttxtsxs，g00，tCtCetxtsxstj，g 221txdtCx， ， 10g 2XdttCx， ，10g5P，ttCx0第第4章章Cohen类时频分布类时频分布 ： 是一个 低通滤波器 ：减少干

23、扰 ：假设 ， 那么对 ：频率支持域 ：假设 ，那么对 ：时间支持域 ： 及 ：群延迟 ： 及 ：瞬时频率 6P7P8P4Q7Q8Q dtCdtCtxxi，00g6Q dttCdtttCxxg，5Q 0,tx有ctt 0degtj，t2P10PQ10Q 0X0,，有tCxc0degj， 2，gD2，00g 0tx第第4章章Cohen类时频分布类时频分布表表4.4.2六个时频分布满足性质情况比较六个时频分布满足性质情况比较 性质名称性质名称分布名称分布名称 WignerRihaczekRe RihaczekChoiwilliamsSpectrogramBornJordan Y Y Y Y Y Y

24、 Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y 0P1P2P3P4P5P6P7P8P9P10PY-Yes第第4章章Cohen类时频分布类时频分布u 性质性质 及对核函数及对核函数 的要求的要求 给出一些给出一些解释解释 u ，时频分布的非负性，即，时频分布的非负性，即u u但遗憾的是，对知的许多分布，它们并不满但遗憾的是，对知的许多分布，它们并不满足这一性足这一性u质。如表质。如表.2中的六个分布，只需谱图总中的六个分布，只需谱图总是正的。是正的。u条件

25、条件 指出，假想象保证指出，假想象保证CohenCohen类的某一成类的某一成员是恒正员是恒正u的分布，那么的分布，那么 应是某一函数的模糊函应是某一函数的模糊函数。数。iP，giQ0P，ttCx00Q，g第第4章章Cohen类时频分布类时频分布 实值性，即实值性，即 ， ：证明：由证明：由4.1.1式，式，令令 ， ，那么上式变为，那么上式变为显然，如要求显然，如要求 ，必有，必有 ，tRtCxQ，gg1P duddeg2ux2ux21tCutjx， duddeg2ux2ux21tCutjx，tCtCxx，gg第第4章章Cohen类时频分布类时频分布时移：时移： ：假设：假设 ，那么，那么

26、： 不决议于不决议于 证明：由于证明：由于 处于处于 域，和域，和t无无关，所以它不影关，所以它不影响分布的时移性质；响分布的时移性质；频移：频移： ：假设：假设 ，那么，那么 ： 与无关与无关性质性质 与与 称为称为Cohen类时频分布类时频分布的的“移不变移不变性质，它包含了时移和频移性质，它包含了时移和频移 。2P 0ttxts，0 xsttCtC2Q，gt，g，3P tjetxts00 xstCtC，3Q，g2P3P第第4章章Cohen类时频分布类时频分布时间边缘条件，即时间边缘条件，即 ： ： 频率边缘条件，即频率边缘条件，即 ： ：4P 221txdtCx，4Q ，10g5P 2X

27、dttCx，5Q ，10g第第4章章Cohen类时频分布类时频分布瞬时频率与瞬时频率与 的关系，即的关系，即 ： ： 及及 群延迟与群延迟与 的关系，即的关系，即 ： ： 及及 6P dtCdtCtxxi，6Q4Q00，g，tCx，tCx7P dttCdtttCxxg，7Q5Q，00g 第第4章章Cohen类时频分布类时频分布 时域支撑范围，即时域支撑范围，即：假设：假设 时，时， ，希望，希望 ，对，对 ： 频域支撑范围，即频域支撑范围，即 ：假设：假设 时，时， ，希望，希望 ： ：减少交叉项干扰：减少交叉项干扰 ： 是是 平面上的平面上的2D低通函数。低通函数。8Pctt 0tx0，tC

28、xctt 8Qtdegtj20，9Pc 0XcxtC，09Q20degj对，10P10Q，g，第第4章章Cohen类时频分布类时频分布 给定一个信号给定一个信号 ，记其时频分布为，记其时频分布为 。假定。假定 在在 和和 的范围内为零，假设的范围内为零，假设 在在 和和 的的范范围内也为零，那么围内也为零，那么 称具有弱有限时间支撑性质。同理，称具有弱有限时间支撑性质。同理，假定假定 在在 之外为零，假设之外为零，假设 在在 也为也为零，那么称零，那么称 具有弱有限频率支撑性质。具有弱有限频率支撑性质。 和和 指的指的是是弱有限支撑。弱有限支撑。 假设信号假设信号 分段为零，分段为零， 在在

29、为零的区间内也为为零的区间内也为零，那么零，那么 称具有强有限时间支撑性质。强有限支撑的称具有强有限时间支撑性质。强有限支撑的含含义是：只需义是：只需 为零，在所对应的时间段内为零，在所对应的时间段内 恒为零。恒为零。 同理可定义强有限频率支撑。同理可定义强有限频率支撑。 tx，tTFx tx1tt 2tt ，tTFx1tt 2tt ，tTFx X21，tTFx，tTFx21，8P9P tx tx，tTFx，tTFx，tTFx tx第第4章章Cohen类时频分布类时频分布4.54.5核函数对时频分布中交叉项的抑制核函数对时频分布中交叉项的抑制 单分量信号和多分量信号的区别是在恣意单分量信号和多

30、分量信号的区别是在恣意固定的固定的时辰，该信号的瞬时频率时辰，该信号的瞬时频率 是单值的还是多是单值的还是多值的。值的。一个多分量信号又可表为单分量的和，即：一个多分量信号又可表为单分量的和，即： (4.5.1)式中式中 都是单分量信号，因此都是单分量信号，因此 4.5.2) ti nkktxtx1 nktxi，21 2tx2tx n1in1jjin1kk2tx2tx2tx2tx第第4章章Cohen类时频分布类时频分布相应的时频分布相应的时频分布 4.5.3也由自项和互项所组成。互项即是交叉项，它是对真也由自项和互项所组成。互项即是交叉项，它是对真正时频分布的干扰，应设法将其去除或尽量减轻。正

31、时频分布的干扰，应设法将其去除或尽量减轻。减轻减轻 中交叉项的一个有效途径是经过的模糊中交叉项的一个有效途径是经过的模糊函数来实现。函数来实现。 的广义模糊函数：的广义模糊函数： 4.5.4核函数核函数 取平面取平面 上的上的2-D低通函数。可去除低通函数。可去除或抑制时频分布中的交叉项。或抑制时频分布中的交叉项。n1in1jxxn1kxxxtCtCtCjikk，,，tCx txninjxxnkxxxjikkMMM11,1,，g，第第4章章Cohen类时频分布类时频分布u举例阐明核函数举例阐明核函数 对交叉项的效果对交叉项的效果u 例例 指数核指数核 u 4.5.7)u其相应的其相应的TF分布

32、称为指数分布分布称为指数分布ED，属于，属于Cohen类。类。u 显然显然 ， ，且当，且当 和和 同时不为零同时不为零u时时 。 为常数。为常数。 越大，自项的分辨率越高，越大，自项的分辨率越高， 越小，越小，u对交叉项的抑制越大。因此，对交叉项的抑制越大。因此， 的取值应在自项分辨的取值应在自项分辨率和交叉项率和交叉项u的抑制之间取折中，并视信号的特点而定。假设信的抑制之间取折中，并视信号的特点而定。假设信号的幅度和频号的幅度和频u率变化得快，应取较大的率变化得快，应取较大的 ，反之取较小，反之取较小 。 的取值的取值引荐在引荐在u0.110之间。当之间。当 时，时， ，ED变成变成WVD

33、，可以有，可以有u效地抑制交叉项，但不能保证性质效地抑制交叉项，但不能保证性质 和和 。，g22 eg ，100，g10g0g，1，g1，g8P9P第第4章章Cohen类时频分布类时频分布EDED对应的时域的核为对应的时域的核为 .8相应的时频分布是相应的时频分布是 .9222exp44jtg tgedt，dudeuxuxttCWjx224exp4222，第第4章章Cohen类时频分布类时频分布 例例.1令令 由三个时频由三个时频“原子原子组成，组成， 和和 具有一样的归一化频率具有一样的归一化频率0.40.4，但具有不同的时间位置分，但具有不同

34、的时间位置分别是别是3232和和9696。令。令 和和 具有一样的时间位置，但归一具有一样的时间位置，但归一化频率为化频率为0.10.1。 的时域波形如图的时域波形如图4.5.1a4.5.1a所示，其理想的时所示，其理想的时频分布如图频分布如图4.5.1b4.5.1b所示。其所示。其WVDWVD如图如图4.5.1c4.5.1c所示。图所示。图c c中存在中存在着由这三个着由这三个“原子原子两两产生的共三个交叉项。图两两产生的共三个交叉项。图4.5.1d4.5.1d是是 的模糊函数。图的模糊函数。图4.5.1e4.5.1e是指数核是指数核 的等高线图，的等高线图， tx tx1 tx2 tx3

35、tx2 tx tx22exp ，g第第4章章Cohen类时频分布类时频分布2040608010012000.40.5TimeNormalized frequency20406080100120-1013 Gaussian atom(s) tx图图4.5.1a 的时域波形的时域波形 图图4.5.1 b 理想时频分布理想时频分布 tx第第4章章Cohen类时频分布类时频分布2040608010012000.050.40.45WV, lin. scale, contour, Threshold=5%Time sFrequency Hz图图4

36、.5.1(c ) 的的WVD tx 可以看到，图中存在着由这三个可以看到，图中存在着由这三个“原子原子两两产生的共三两两产生的共三个交叉项个交叉项 第第4章章Cohen类时频分布类时频分布-100-50050100-0.5-0.4-0.3-0.2-0.30.4AF的自项位于中心，在的自项位于中心，在 轴和轴和 轴上各有两个互项，在轴上各有两个互项，在第二和第四象限也各有一个互项，因此，该信号的第二和第四象限也各有一个互项，因此，该信号的AF共有共有6个互项。个互项。 图4.5.1d 的模糊函数 tx第第4章章Cohen类时频分布类时频分布图图4.5.1(e) 指数核指数核

37、的等高线图的等高线图 它在原点最大，在它在原点最大，在 轴和轴和 轴上恒为轴上恒为1 1。改动。改动 ，可，可调理坐标轴两边两个等高线的间隔。调理坐标轴两边两个等高线的间隔。 越大，间隔越越大，间隔越大，反之间隔越小。大，反之间隔越小。-60-40-200204060-0.4-0.3-0.2-22exp ，g第第4章章Cohen类时频分布类时频分布在第二和第四两个象限的互项已被去除，在在第二和第四两个象限的互项已被去除，在 轴和轴和 轴上的轴上的四个互项在图中表达出来，但实践上也被抑制。四个互项在图中表达出来，但实践上也被抑制。图图4.5.1(f) 4.5

38、.1(f) -60-40-200204060-0.4-0.3-0.2-，xAg第第4章章Cohen类时频分布类时频分布图4.5.1g 是用ED求出的 的时频分布 2040608010012000.050.40.45CW, Lg=4, Lh=13 sigma=9.6, Nf=128, lin. scale, contour, Threshold=5%Time sFrequency Hz tx交叉项较之图交叉项较之图4.5.1b的的WVD，已大大减轻，已大大减轻 第第4章章Cohen类时频分布类时频分布4.6减少交叉项

39、干扰的核的设计减少交叉项干扰的核的设计 假设假设 可以写成变量可以写成变量 ， 的积的函数，的积的函数，即即那么该核函数称为那么该核函数称为“积核积核，在表，在表4.3.1中中 ，sinc 及及ED核都是积核。核都是积核。 假设假设 可以写成可以写成 各自函数的积，各自函数的积，即即那么那么 称为可分别的核。称为可分别的核。 ，ggg，2cos2jea，g, )(21ggg，gu 定义定义第第4章章Cohen类时频分布类时频分布u 可分别核的计步骤：可分别核的计步骤：u步骤步骤1 设计一个根本函数设计一个根本函数 ，使满足下述，使满足下述条件：条件：ua 有单位面积，即有单位面积，即 ；ub

40、为偶对称，即为偶对称，即 ；uc 是时限的，即当是时限的，即当 时时 。ud 以以t=0为中心向边沿平滑减少，为中心向边沿平滑减少，以保证含有较少以保证含有较少u的高频分量。的高频分量。u步骤步骤2 取取 的傅立叶变换，即的傅立叶变换，即u步骤步骤3 用用 替代替代 中的中的 ，得到积核函数，得到积核函数u 4.6.1 th th th th th 1dtth thth21t 0th th dtethHjt)(HHg，第第4章章Cohen类时频分布类时频分布 按以上原那么设计出的核按以上原那么设计出的核 ，所对应的分，所对应的分布称为减少布称为减少干扰分布，即干扰分布，即RID。RID主要强调

41、如何抑制交叉项干主要强调如何抑制交叉项干扰，但同扰，但同时也兼顾时频分布的其它性质。时也兼顾时频分布的其它性质。 式式4.6.1的核函数的核函数 ，条件，条件a对应对应 和和 ，条，条件件b保证了保证了 ， 和和 。如今调查条件。如今调查条件c。现。现将将4.6.1两边相对作傅立叶变换，即两边相对作傅立叶变换，即 4.6.2按傅立叶变换的变量加权性质，有按傅立叶变换的变量加权性质，有 4.6.3，g，g5Q4Q7Q6Q1QdeHtgdegjtjt，th2th2deHjt第第4章章Cohen类时频分布类时频分布因此条件因此条件c意味着满足意味着满足 和和 。 条件条件d的目的是用以减少交叉项干扰，即令的目的是用以减少交叉项干扰，即令 是