《余弦定理、正弦定理应用举例（二）》示范公开课教学课件【高中数学】

1、平面向量的应用复习引入复习引入 问题问题1 1：前面两节课我们定量的探究了三角形边和角的关系，得到了余弦定理和正弦定理，你能默写出来吗？ 答案：答案：（1）余弦定理（law of cosines）三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即2222cosabcbcA2222cosbacacB2222coscababC （2）正弦定理（law of sines）在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 .sinsinsinabcABC复习引入复习引入 问题问题1 1：前面两节课我们定量的探究了三角形边和角的关系，得到了余弦定理和正弦定理，你能默写出

2、来吗？ 追问追问1 1：在解三角形的题目中，除了运用正余弦定理及推论，会运用哪些知识？运用这些知识带给我们什么启示？ 答案：答案：同角三角函数、三角形内角和关系、三角函数和差变换等；注重知识间的联系、灵活运用知识应用应用举例举例 例例1 1：如图（1-1），A，B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A，B两点间距离的方法，并求出A，B间的距离.AB图（1-1） 追问追问1 1：想测量不能到达的两点A，B间的距离，需要对岸选一个测量基点C，那么可以构造出什么？测得什么？ 答案：答案：可以构造出一个ABC，只能测得角 的大小.ACB 例例1 1：如图（1-1），A，B两点都在河的对岸（不可到

3、达），设计一种测量A，B两点间距离的方法，并求出A，B间的距离.AB图（1-1） 追问追问2 2：构造出一个三角形，能解决问题吗？ 答案：答案：不能，需要再选一个测量基点D.应用应用举例举例 例例1 1：如图（1-1），A，B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A，B两点间距离的方法，并求出A，B间的距离. 追问追问3 3：两个测量基点可以构造出什么？测得什么？（如图1-2所示）ABDC 及 的大小. 答案：答案：可以再构造出ABD、ADC、BDC，测出线段CD的长， ， ACDCDBBDA图（1-2）应用应用举例举例 例例1 1：如图（1-1），A，B两点都在河的对岸（不可到达），设计

4、一种测量A，B两点间距离的方法，并求出A，B间的距离. 追问追问4 4：测得CD的长度以及这些角度之后呢？ 答案：答案：在ADC和BDC中利用正弦定理得到AC和BC的大小，再利用余弦定理得到AB的大小，即为所求.ABDC图（1-2）应用应用举例举例 例例1 1：如图（1-1），A，B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A，B两点间距离的方法，并求出A，B间的距离. 追问追问5 5：这是解三角形中的什么问题？ 答案：答案：求AC和BC是“已知两角和任一边，求其余的两边和一角”，求AB是“已知两边和它们的夹角，求第三边”.ABDC图（1-2）应用应用举例举例 例例1 1：如图（1-1），A，

5、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A，B两点间距离的方法，并求出A，B间的距离.ABDC图（1-2） 答案答案：如图1-2，在A，B两点的对岸选定两点C，D，测得 ，并且在C，D两点分别测得CDa ， ， ， .在ADC和BDC中，由正弦定理，BCAACDCDBDBAsin()sin()sin 180()sin()aaACsinsinsin 180()sin()aaBC得应用应用举例举例 例例1 1：如图（1-1），A，B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A，B两点间距离的方法，并求出A，B间的距离.ABDC图（1-2）于是，在ABC中，由余弦定理可得A，B两点间的距离222

6、cosABACBCACBC2222222sin ()sin2sin()sin cossin ()sin ()sin()sin()aaa应用应用举例举例 例例1 1：如图（1-1），A，B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A，B两点间距离的方法，并求出A，B间的距离. 追问追问6 6：在上述测量的方案下，还有其他计算A，B两点间距离的方法吗？ABDC图（1-2） 答案：答案：在测得CD的长度以及 ， ， 和 的角度后，在ADC和BDC中利用余弦定理得到AB的大小.ACBACDCDBBDA应用应用举例举例 答案：答案：（1）先选定两个基点，（2）测得基点距离和基点与基点、基点与测量点形成的

7、各个角度，（3）利用正弦定理得到其中一个基点到测量两点间距离的表达式，（4）利用余弦定理得到测量两点间的距离. 例例1 1：如图（1-1），A，B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A，B两点间距离的方法，并求出A，B间的距离. 追问追问7 7：测量不可到达两点间距离的思路是怎样？ABDC图（1-2）应用应用举例举例 例例2 2：如图（2-1），AB是底部B不可到达的一座建筑物，A为建筑物的最高点.设计一种测量建筑物高度AB的方法，并求出建筑物的高度. AB图（2-1）应用应用举例举例 例例2 2：如图（2-1），AB是底部B不可到达的一座建筑物，A为建筑物的最高点.设计一种测量建筑物高

8、度AB的方法，并求出建筑物的高度. 追问追问1 1：想测量建筑物AB的高度，需要选一个水平测量基点C，那么可以构造出什么？测得什么？ 答案：答案：可以构造出RtACE和仰角的大小（如图2-1）.AB图（2-1）测角仪器GEC注注：仰角：仰角：一般地，当视线在水平线上方时，视线与水平线所夹的锐角或直角称为仰角. 俯角俯角：一般地，当视线在水平线下方时，视线与水平线所夹的锐角或直角称为俯角.应用应用举例举例 例例2 2：如图（2-1），AB是底部B不可到达的一座建筑物，A为建筑物的最高点.设计一种测量建筑物高度AB的方法，并求出建筑物的高度. 追问追问2 2：构造出一个直角三角形，能求出AB吗？

9、答案：答案：不能，需要求出基点到建筑物顶端的长度AC，再用锐角三角函数得到AB.AB图（2-1）测角仪器GEC应用应用举例举例 例例2 2：如图（2-1），AB是底部B不可到达的一座建筑物，A为建筑物的最高点.设计一种测量建筑物高度AB的方法，并求出建筑物的高度. 追问追问3 3：如何求AC？AB图（2-1）测角仪器GEC 答案：答案：再选取一个基点D，构造另一个含有AC的ACD，并测量另一个仰角 和DC的长度，再利用正弦定理得到AC的长度.ADCD应用应用举例举例 例例2 2：如图（2-1），AB是底部B不可到达的一座建筑物，A为建筑物的最高点.设计一种测量建筑物高度AB的方法，并求出建筑物

10、的高度. 追问追问4 4：求AC是解三角形中的什么问题？AB图（2-1）测角仪器GEC 答案：答案：求AC是“已知两角和任一边，求其余的两边和一角”.D应用应用举例举例 例例2 2：如图（2-1），AB是底部B不可到达的一座建筑物，A为建筑物的最高点.设计一种测量建筑物高度AB的方法，并求出建筑物的高度. 追问追问5 5：其中还需要注意些什么？AB图（2-1）测角仪器GEC 答案：答案：注意测量仪器的高度.D应用应用举例举例 例例2 2：如图（2-1），AB是底部B不可到达的一座建筑物，A为建筑物的最高点.设计一种测量建筑物高度AB的方法，并求出建筑物的高度. AB图（2-1）测角仪器GECD

11、 答案答案：如图，选择一条水平基线HG，使H，G，B三点在同一条直线上.在G，H 两点用测角仪器测得A的仰角分别是， ，测角仪器的高是h，那么，在ACD中，由正弦定理，得 . 所以，这座建筑物的高度为CDasinsin()aACABAEhsinAChsinsinsin()ah应用应用举例举例 例例2 2：如图（2-1），AB是底部B不可到达的一座建筑物，A为建筑物的最高点.设计一种测量建筑物高度AB的方法，并求出建筑物的高度. 追问追问5 5：测量底部不可到达的建筑物高度的思路是怎样？AB图（2-1）测角仪器GECD 答案：答案：（1）在水平基线上选定两个基点，（2）测得基点距离和两个基点的仰

12、角，（3）利用正弦定理得到其中一个基点到建筑物顶端距离的表达式，（4）利用锐角三角函数求出建筑物的高度，不要忽略了仪器的高度.应用应用举例举例 问题问题2 2：综合上面两题，归纳“将实际问题数学化，进而解决问题的步骤”. 答案：答案：（1）分析题意；（2）画图示意；（3）转化为数学问题；（4）运用有关知识解决问题.应用应用举例举例 例例3 3：位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向距离20 n mile的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船南偏西30o，且与甲船相距7 n mile 的C处的乙船.那么乙船前往营救遇险渔船时的目标方向线（由观测点看目标的视线

13、）的方向是北偏东多少度（精确到1o）？需要航行的距离是多少海里（精确到1 n mile）？ 追问追问1 1：南偏西30o什么意思？ 答案：答案：在平面上，正南偏向正西30o的方向为南偏西30o.应用应用举例举例 例例3 3：位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向距离20 n mile的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船南偏西30o，且与甲船相距7 n mile 的C处的乙船.那么乙船前往营救遇险渔船时的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是北偏东多少度（精确到1o）？需要航行的距离是多少海里（精确到1 n mile）？ 追问追问2 2：根据“正东方向

14、”“南偏西30o”“目标方向线”等信息，画出示意图后，这是解三角形中的什么问题？ 答案：答案：求BC是“已知两边和它们的夹角，求第三边”，求方向是“已知两边和其中一边的对角，求其余的边和角”.ACB北7 n mile20 n mile30o图（3-1）应用应用举例举例 例例3 3：位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向距离20 n mile的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船南偏西30o，且与甲船相距7 n mile 的C处的乙船.那么乙船前往营救遇险渔船时的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是北偏东多少度（精确到1o）？需要航行的距离是多少海里（

15、精确到1 n mile）？ 答案答案：根据题意，由余弦定理，得，于是 （n mile）.2222cos120BCABACAB AC221207220 72 58924BC 由正弦定理，得 ，于是 . 由于 ，所以 .sinsin1202024C3205 32sin2412C090C46C 因此，乙船前往营救余弦渔船时的方向约是北偏东 ，大约需要航行24 n mile.463076ACB北7 n mile20 n mile30o图（3-1）应用应用举例举例课堂小结课堂小结 问题问题3 3：回顾本节课所学的知识，思考：将实际问题数学化，进而使问题解决的步骤是怎样的？ 答案：答案： （1）分析题意；

16、（2）画图示意；（3）转化为数学问题；（4）运用有关知识解决问题.课堂小结课堂小结 问题问题3 3：回顾本节课所学的知识，思考：将实际问题数学化，进而使问题解决的步骤是怎样的？ 追问追问1 1：测量不可到达两点间距离的思路是怎样？ 答案：答案：（1）先选定两个基点，（2）测得基点距离和基点与基点、基点与测量点形成的各个角度，（3）利用正弦定理得到其中一个基点到测量两点间距离的表达式，（4）利用余弦定理得到测量两点间的距离.课堂小结课堂小结 问题问题3 3：回顾本节课所学的知识，思考：将实际问题数学化，进而使问题解决的步骤是怎样的？ 追问追问2 2：测量底部不可到达的建筑物高度的思路是怎样？ 答

17、案：答案：（1）在水平基线上选定两个基点，（2）测得基点距离和两个基点的仰角，（3）利用正弦定理得到其中一个基点到建筑物顶端距离的表达式，（4）利用锐角三角函数求出建筑物的高度，不要忽略了仪器的高度.课堂小结课堂小结 问题问题4 4：回顾本单元学习内容，并回答下面问题：（1）学习本章后，你觉得平面向量能解决哪些问题？（2）能不能画一个结构图来反映本单元的研究思路及内容？获得了怎样的研究问题的经验？ 答案：答案： （1）平面向量可以解决简单平面几何问题、物理问题和实际问题，并用向量方法推出了三角形边角关系的余弦定理、正弦定理.课堂小结课堂小结 问题问题4 4：回顾本单元学习内容，并回答下面问题：（1）学习本章后，你觉得平面向量能解决哪些问题？（2）能不能画一个结构图来反映本单元的