2017年用构造法求数列的通项公式

1、用构造法求数列的通项公式求数列的通项公式是高考重点考查的内容，作为两类特殊数列-等差数列等比数列可直接根据它们的通项公式求解，但也有一些数列要通过构造转化为等差数列或等比数列，之后再应用各自的通项公式求解，体现化归思想在数列中的具体应用例1： (06年XX高考题)数列an中，a1 i,an1 2an 1则an()A. 2nB. 2n 1C. 2n 1D. 2n 1解法 1 ： an 1 2an 1an 1 1 2an 2 2(an 1)又21 12an 112an 1an 1是首项为2公比为2的等比数列an 12 2n 12n, an 2n 1,所以选 C解法2归纳总结：若数列an满足an p

2、an q(p 1,q为常数)，则令anp(an)来构造等比数列,并利用对应项相等求的值，求通项公式。例 2：数列 an 中，a1 1, a2 3,an 2 3an 1 2an,贝U an解：an 2 an 12（an 1an）a2 a1 2an an 1为首项为2公比也为2的等比数列。n 1, 一a n an 12）（n>1）n>1时an(an an 1) (an 1 an 2)(a2a1) a1?n 12n 2n1 2 on 211 2显然n=1时满足上式2n 1小结：先构造an 1an等比数列，再用叠加法，等比数列求和求出通项公式,例3：已知数列an中a15, a22, an2

3、an13an2,(n3)求这个数列的通项公式。解：an2an 1 3a n 2an 1 3(an 1 an 2)又a1a27, an an形成首项为7,公比为3的等比数列,则 an an 17 3n 2又 an 3an 1(an 13an 2 ) ，a2 3a113 ) an3an 1形成了一个首项为一13,公比为一1的等比数列则 an 3am ( 13) ( 1)n 2 3 4an 7 3n 1 13 ( 1)n 17 on 113 n 1an 7 3( 1)44小结：本题是两次构造等比数列，属于构造方面比较级，最终用加减消元的方法确定出数列的 通项公式。例4：设数列an的前项和为Sn,若2

4、an 2nSn成立，(1)求证：an n 2n 1是等比数列。(2)求这个数列的通项公式证明：(1)当 n 1,b a1 2 (b 1)a1, a12又 b an 2n (b 1) Snb an 12n 1 (b 1) Sn 1一 b an 1 b an 2n (b 1) an 1an 1 b an 2当 b 2时，有 an 12an 2nan 1 (n 1) 2n2an 2n (n 1) 2n2 (a0n 2n 1)又 a121 11n 1an n 2为首项为1,公比为2的等比数列，(2)n 1on 1n 1an n 22 , an (n 1) 2小结：本题构造非常特殊，要注意恰当的化简和提

5、取公因式，本题集中体现了构造等比数列的价值与魅力，同时也彰显构造思想在高考中的地位和作用。例5：数列an满足a1 3,an 1 2an 3 2n 1,则小A. (3n 1) 2nB. (6n 3) 2n 1C. 3(2n 1) 2n 1 D. (3n 2) 2n 1解：an 1 2an 3 2n 1,会2n 1an 1 an 3 乂 a132n 12n ,22包3 2nan-构成了一个首项这3 ,公差为2n23的等差数列,an33- (n 1) 3 3n -2n223an 2 2n 1 (3n -) (6n 3) 2n 1 所以选 B。小结：构造等比数列，注意形 包，当n n 1时，变为巴二。

6、2n)2“ 1例6 ：已知函数f(x) (JX J2)2,(x 0),又数列an中a12 ,其前n项和为Sn, (nN ),对所有大于1的自然数n都有Snf(Sn1),求数列an的通项公式。解：f(x) (.X .2)2,Sn f(Sn1)( . Sn 1.2)2,S； .Sn；2, &Sn；2Sa1.2岳是首项为<2 ,公差为J2的等差数列。商五(n !)及 <2n, Sn 2n2。22_n 2时，an Sn Sn 1 2n 2(n 1) 4n 2且当n 1时，a12 4 1 2符合条件通项公式为an 4n 2例7: (2006XX高考题)已知a1 2,点(an,an1)

7、在函数f (x) x2 x的图象上，其中n 1,2,3, 求数列an 的通项公式。解： f (x) x2 2x又(an ,an 1)在函数图象上2an 1 an2anan 1 1 an2an 1 (an 1,lg(an 1 1)21g(an 1)1g(an 1 1)-2, lg(a1 1) lg31g(an 1)1g(an 1)是首项为1g3公比为2的等比数列n 12n 11gan 12n 11g3 1g322n 1an 1 3n n 1an321小结：前一个题构造出7Sn为等差数列，并且利用通项与和的关系来确定数列的通项公式,后一个题构造1g an 1为等比数列，再利用对数性质求解。数列与函

8、数的综合运用是当今高考的重点与热点，因此我们在解决数列问题时应充分利用函数有关知识，以它的概念与性质为纽带，架起函数与数列的桥梁 揭示它们之间内在联系，从而有效地解决数列问题。例 8: (2007XX 高考题)已知数列 an 满足 a1 2,an 1ann 1 (2) 2n , ( n N* )其中 0,求数列的通项公式方法指导：将已知条件中的递推关系变形，应用转化成等差数列形式，从而为求an的通项公式提供方便，一切问题可迎刃而解。解：an 1ann1 (2) 2n,(n N*,0)an 1an, 2、n 1, 2、n/F-(-)(-)1an 1/2、n1 anz 2 x n.F(-)(-)1

9、,。an 12 x n 1an2na12所以 F (-) (-)1, 0所以ann(2)n为等差数列，其首项为 0,公差为1;(2)n1,an (n1)2n例9:数列an中,a12a,则3ana42A.19B.1615C.解:an3an3anan 1-13a n是首项为a4a1an1乙1公差3的等差数列。2(n1)3n6n 5an6n 5219所以选变式题型:数列 an中,a12, an 12an3an求an解：an2an3anan 11 3an2anan，则32,an 12(an13),又上 a1是首项为an5 一一公比为2的等比数列5/1、n1 155/1、nl(), 32 2an2 2an小结：an 115(1)n 12(2f (an)且为一次分式型或构造出倒数成等差数列或构造出倒数加常数成等比数列，发散之后，两种构