传热学-第四章

1、第四章导热问题的数值解法第四章导热问题的数值解法第四章导热问题的数值解法24-0 引言引言1 求解导热问题的三种基本方法求解导热问题的三种基本方法：(1) 理论分析法；理论分析法；(2) 数数值计算值计算 法；法；(3) 实验法实验法 2 三种方法的基本求解过程三种方法的基本求解过程 (1) 所谓理论分析方法，就是在理论分析的基础上，直接所谓理论分析方法，就是在理论分析的基础上，直接对微分方程在给定的定解条件下进行积分，这样获得的解对微分方程在给定的定解条件下进行积分，这样获得的解称之为分析解，或叫理论解；称之为分析解，或叫理论解； (2) 数值计算法，把原来在时间和空间连续的物理量的场，数值

2、计算法，把原来在时间和空间连续的物理量的场，用有限个离散点上的值的集合来代替，通过求解按一定方用有限个离散点上的值的集合来代替，通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代数方程，从而获得离散点上法建立起来的关于这些值的代数方程，从而获得离散点上被求物理量的值；并称之为数值解；被求物理量的值；并称之为数值解；第四章导热问题的数值解法3 (3) 实验法实验法 就是在传热学基本理论的指导下，采用对所就是在传热学基本理论的指导下，采用对所 研究对象的传热过程所求量的方法研究对象的传热过程所求量的方法3 三种方法的特点三种方法的特点 (1) 分析法分析法 a 能获得所研究问题的精确解，可以为实验和数值计

3、算能获得所研究问题的精确解，可以为实验和数值计算提供比较依据；提供比较依据； b 局限性很大，对复杂的问题无法求解；局限性很大，对复杂的问题无法求解； c 分析解具有普遍性，各种情况的影响清晰可见分析解具有普遍性，各种情况的影响清晰可见 第四章导热问题的数值解法4(2) 数值法数值法：在很大程度上弥补了分析法的缺点，适应性：在很大程度上弥补了分析法的缺点，适应性 强，特别对于复杂问题更显其优越性；与实强，特别对于复杂问题更显其优越性；与实 验法相比成本低验法相比成本低(3) 实验法实验法: 是传热学的基本研究方法，是传热学的基本研究方法，a 适应性不好；适应性不好； b 费用昂贵费用昂贵数值解

4、法：数值解法：有限差分法（有限差分法（finite-difference）、）、 有限元法（有限元法（finite-element） 、 边界元法（边界元法（boundary- element）、）、 分子动力学模拟（分子动力学模拟（MD） 第四章导热问题的数值解法54-1 导热问题数值求解的基本思想导热问题数值求解的基本思想 及内部节点离散方程的建立及内部节点离散方程的建立1 物物 理理 问问 题题 的的 数数 值值 求求 解解 过过 程程建立控制方程及定解条件确定节点（区域离散化）建立节点物理量的代数方程设立温度场的迭代初值求解代数方程是否收敛是否收敛解的分析解的分析改进初场是否第四章导热

5、问题的数值解法60tyf3thf2thf1thx二维矩形域内二维矩形域内稳态无内热源，稳态无内热源，常物性的导热常物性的导热问题问题2 例题条件例题条件第四章导热问题的数值解法7xyxynm(m,n)MN3 基本概念：控制容积、网格线、节点、界面线、步长基本概念：控制容积、网格线、节点、界面线、步长二维矩形二维矩形域内稳态域内稳态无内热源，无内热源，常物性的常物性的导热问题导热问题第四章导热问题的数值解法84 建立离散方程的常用方法：建立离散方程的常用方法：(1) Taylor（泰勒）级数展开法；（泰勒）级数展开法；(2) 多项式拟合法；多项式拟合法；(3) 控制容积积分法；控制容积积分法；(

6、4) 控制容积平衡法控制容积平衡法(也称为热平衡法也称为热平衡法)第四章导热问题的数值解法9(1) 泰勒级数展开法泰勒级数展开法根据泰勒级数展开式，用节点根据泰勒级数展开式，用节点( (i,ji,j) )的温度的温度t ti,ji,j来表示节点来表示节点( (i+1,ji+1,j) )而温度而温度t ti+1,ji+1,j用节点用节点(i,j(i,j) )的温度的温度t ti,ji,j来表示节点来表示节点(i-1,j)(i-1,j)的的温度温度t ti-1,ji-1,j! 3! 23,332,22, 1xxtxxtxxtttnmnmnmnmnm! 3! 23,332,22, 1xxtxxtxx

7、tttnmnmnmnmnm第四章导热问题的数值解法10若取上面式右边的前三项，并将式若取上面式右边的前三项，并将式和式和式相加相加移项整理即得二阶导数的中心差分：移项整理即得二阶导数的中心差分：同样可得：同样可得：)(222, 1, 1,22xoxtttxtnmnmnmnm)(2221,1,22yoytttytnmnmnmnm截断误差截断误差未明确写出的级数余项未明确写出的级数余项中的中的X X的最低阶数为的最低阶数为2 2第四章导热问题的数值解法11 对于二维稳态导热问题，在直角坐标中，其导热对于二维稳态导热问题，在直角坐标中，其导热微分方程为：微分方程为：其节点方程为：其节点方程为：0yt

8、xtv22220ytt2txtt2tj , i ,v21j , ij , i1j , i2j ,1ij , ij ,1i第四章导热问题的数值解法12(2) 控制容积平衡法控制容积平衡法(热平衡法热平衡法)基本思想：基本思想：对每个有限大小的控制容积应用能量守恒，从对每个有限大小的控制容积应用能量守恒，从而获得温度场的代数方程组，它从基本物理现象和基本定而获得温度场的代数方程组，它从基本物理现象和基本定律出发，不必事先建立控制方程，依据能量守恒和律出发，不必事先建立控制方程，依据能量守恒和Fourier导热定律即可。导热定律即可。能量守恒：流入控制体的总热流量控制体内热源生成热能量守恒：流入控制

9、体的总热流量控制体内热源生成热 流出控制体的总热流量控制体内能的增量流出控制体的总热流量控制体内能的增量即：即： 单位：单位：oviW第四章导热问题的数值解法13voi)(ovi即：从所有方向流入控制体的总热流量即：从所有方向流入控制体的总热流量 控制体内热源生成热控制体内热源生成热 控制体内能的增量控制体内能的增量注意：上面的公式对内部节点和边界节点均适用注意：上面的公式对内部节点和边界节点均适用第四章导热问题的数值解法1401,1, 1, 1nmnmnmnm稳态、无内热源时：稳态、无内热源时：从所有方向流入控制体的总热流量从所有方向流入控制体的总热流量0内部节点：内部节点：0右左下上(m,

10、 n)oyx(m-1,n)(m+1,n)(m,n-1) x x y y (m,n+1)第四章导热问题的数值解法15以二维、稳态、有内热源的导热问题为例以二维、稳态、有内热源的导热问题为例此时：此时：0v右左下上xtyxtAdddd左可见：当温度场还没有求出来之前，我们并不知道可见：当温度场还没有求出来之前，我们并不知道所以，必须假设相邻节点间的温度分布形式，这里我们所以，必须假设相邻节点间的温度分布形式，这里我们假定温度呈分段线性分布，如图所示假定温度呈分段线性分布，如图所示xt dd第四章导热问题的数值解法16(m,n)(m-1,n)(m+1,n)tm,ntm-1,ntm+1,nxttyxt

11、ynmnm, 1dd左可见，节点越多，假设的分段线性分布越接近真实的温度布。可见，节点越多，假设的分段线性分布越接近真实的温度布。此时：此时：xttynmnm, 1右yttxnmnm,1,上yttxnmnm,1,下内热源：内热源：yxVv第四章导热问题的数值解法170v右左下上0,1,1, 1, 1yxyttxyttxxttyxttynmnmnmnmnmnmnmnmyx时：时：042,1,1, 1, 1xtttttnmnmnmnmnmxtttttnmnmnmnmnm21,1, 1, 1,4第四章导热问题的数值解法18xtttttnmnmnmnmnm21,1,1,1,4无内热源时：无内热源时：变

12、为：变为：1,1, 1, 1,4nmnmnmnmnmttttt重要说明：重要说明：所求节点的温度前的系数一定等于其他所求节点的温度前的系数一定等于其他所有相邻节点温度前的系数之和。这一结论也适用所有相邻节点温度前的系数之和。这一结论也适用于边界节点。但这里不包括热流于边界节点。但这里不包括热流(或热流密度或热流密度)前的前的系数。系数。第四章导热问题的数值解法194-2 4-2 边界节点离散方程的建立及代数边界节点离散方程的建立及代数 方程的求解方程的求解对于第一类边界条件的热传导问题，处理比较简单，因为对于第一类边界条件的热传导问题，处理比较简单，因为已知边界的温度，可将其以数值的形式加入到

13、内节点的离已知边界的温度，可将其以数值的形式加入到内节点的离散方程中，组成封闭的代数方程组，直接求解。散方程中，组成封闭的代数方程组，直接求解。而对于第二类边界条件或第三类边界条件的热传导问题，而对于第二类边界条件或第三类边界条件的热传导问题，就必须用热平衡的方法，建立边界节点的离散方程，边界就必须用热平衡的方法，建立边界节点的离散方程，边界节点与内节点的离散方程一起组成封闭的代数方程组，才节点与内节点的离散方程一起组成封闭的代数方程组，才能求解。能求解。为了求解方便，这里我们将第二类边界条件及第三类边界为了求解方便，这里我们将第二类边界条件及第三类边界条件合并起来考虑，用条件合并起来考虑，用

14、qw表示边界上的热流密度或热流表示边界上的热流密度或热流密度表达式。用密度表达式。用表示内热源强度。表示内热源强度。第四章导热问题的数值解法201.1.边界节点离散方程的建立：边界节点离散方程的建立：qwxyqw(1) 平直边界上的节点平直边界上的节点2,1,1, 1,224xttqxttnmnmnmwnmnm0222,1,1, 1yxyttxyttxyqxttynmnmnmnmnmwnmnmyx第四章导热问题的数值解法21(2) 外部角点外部角点2222,1, 1,xqxtttnmwnmnmnm0222222,1, 1yxyttxqxqyxttynmnmnmwwnmnmyxxyqw第四章导热

15、问题的数值解法22(3) 内部角点内部角点)22322(6122, 11,1, 1,wnmnmnmnmnmqxxttttt0432222,1,1, 1, 1yxqxyttxyttxqyxttyxttynmwnmnmnmnmwnmnmnmnmyxxyqw第四章导热问题的数值解法23qw的情况：的情况：(1) 第二类边界条件：将第二类边界条件：将 ，带入上面各式即可，带入上面各式即可 绝热或对称边界条件？绝热或对称边界条件？(2)第三类边界条件：将第三类边界条件：将 ，带入上面各式，带入上面各式 即可即可 constqw)(,nmfwtthq课堂作业：将课堂作业：将 带入外部角点的带入外部角点的温

16、度离散方程，并化简到最后的形式温度离散方程，并化简到最后的形式)(,nmfwtthq(3) 辐射边界条件：辐射边界条件：)(4,4nmfwTTqconstqw或其他或其他第四章导热问题的数值解法242.2.节点方程组的求解节点方程组的求解nnnnnnnnnnnbtatatatbtatatatbtatatat.2211222221212112121111写出所有内节点和边界节点的温度差分方程写出所有内节点和边界节点的温度差分方程n个未知节点温度，个未知节点温度，n个代数方程式：个代数方程式：代数方程组的求解方法：代数方程组的求解方法：直接解法、迭代解法直接解法、迭代解法第四章导热问题的数值解法2

17、5直接解法：直接解法：通过有限次运算获得代数方程精确解通过有限次运算获得代数方程精确解; 矩阵求逆、高斯消元法矩阵求逆、高斯消元法迭代解法：迭代解法：先对要计算的场作出假设、在迭代计算过程中不先对要计算的场作出假设、在迭代计算过程中不断予以改进、直到计算结果与假定值的结果相差小于允许值。断予以改进、直到计算结果与假定值的结果相差小于允许值。称迭代计算已经收敛。称迭代计算已经收敛。缺点：缺点：所需内存较大、方程数目多时不便、不适用于非线性所需内存较大、方程数目多时不便、不适用于非线性问题（若物性为温度的函数，节点温度差分方程中的系数不问题（若物性为温度的函数，节点温度差分方程中的系数不再是常数，

18、而是温度的函数。这些系数在计算过程中要相应再是常数，而是温度的函数。这些系数在计算过程中要相应地不断更新）地不断更新）迭代解法有多种：迭代解法有多种：简单迭代（简单迭代（Jacobi迭代）、高斯迭代）、高斯-赛德尔赛德尔迭代、块迭代、交替方向迭代等迭代、块迭代、交替方向迭代等高斯高斯-赛德尔迭代的特点：赛德尔迭代的特点：每次迭代时总是使用节点温度的最每次迭代时总是使用节点温度的最新值新值第四章导热问题的数值解法26在计算后面的节点温度时应按下式（采用最新值）在计算后面的节点温度时应按下式（采用最新值）例如：根据第例如：根据第 k 次迭代的数值次迭代的数值(k)n(k)2(k)1.ttt、可以求得节点温度：可以求得节点温度：)(1)(1)(212)(111) 1(1.kknnkkkbtatatat)()() 1(11) 1(22) 1(11) 1()(3)(3) 1(232) 1(131) 1(3)(2)(2)(222) 1(121) 1(2.knknnnknnnknknknkknnkkkkknnkkkbtatatatatbtatatatbtatatat第