空间中的垂直关系

1、第6节 二面角(一)1. 1. 二面角的定义：二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫二面从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫二面角，其大小通过二面角的平面角来度量角，其大小通过二面角的平面角来度量.2. 2. 二面角的平面角：二面角的平面角：(1)定义：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面定义：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角叫做二面角的平面角.(2)范围：范围： 0， 3.3.二面角的平面角的作法：二面角的平面角的作法：(1)定义法定义法(2)三垂线定

2、理法三垂线定理法(3)作棱的垂面法作棱的垂面法课课 前前 热热 身身1.下列命题中：下列命题中：两个相交平面组成的图形叫做二面角；两个相交平面组成的图形叫做二面角；异面直线异面直线a、b分别和一个二面角的两个面垂直，则分别和一个二面角的两个面垂直，则a、b组成的角与这个二面角的平面角相等或互补；组成的角与这个二面角的平面角相等或互补；二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；内作射线所成角的最小角；正四面体相邻两个面所成的二面角的平面角是锐角正四面体相邻两个面所成的二面角的平面角是锐角.其中，正确命题的序号是其中，正确命题的

3、序号是_.、2.如图，正方体如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，二面角中，二面角B1-AA1-C1的大小为的大小为_，二面角，二面角B-AA1-D的大小为的大小为_，二，二面角面角C1-BD-C的正切值是的正切值是_.245903. 在二面角在二面角-l-的一个平面的一个平面内有一条直线内有一条直线AB，它，它与棱与棱 l 所成的角为所成的角为45，与平面，与平面所成的角为所成的角为30，则，则这个二面角的大小是这个二面角的大小是_.45或或1354.三棱锥三棱锥ABCD中，中，AB=AC=BC=CD=AD=a，要使三要使三棱锥棱锥ABCD的体积最大，则二面角的体积最大，则二面角B-AC-

4、D的大小是的大小是 （ ）A BCD23324AA5. 在二面角在二面角-a-内，过内，过a作一个半平面作一个半平面，使二面角，使二面角-a-=45，二面角，二面角-a-=30，则，则内的任意一内的任意一点点P到平面到平面与平面与平面的距离之比为的距离之比为( )(A) (B)(C) (D)222323【解题回顾】本题是【解题回顾】本题是1990年全国高考题，年全国高考题，(1)的证明关的证明关系较复杂，需仔细分析。系较复杂，需仔细分析。(2)的平面角就是的平面角就是CDE，很，很多考生没有发现，却去人为作角，导致混乱多考生没有发现，却去人为作角，导致混乱.1.在三棱锥在三棱锥SABC中，中，

5、SA平面平面ABC，ABBC，DE垂直平分垂直平分SC ，且分别交，且分别交AC、SC于于D、E，又，又 SA=AB=a，BC=2a，(1)求证：求证：SC平面平面BDE；(2)求平面求平面BDE与平面与平面BDC所成的二面角大小所成的二面角大小.2.已知斜三棱柱已知斜三棱柱ABCA1B1C1中，中，BCA=90，AC=BC，A1在底面在底面ABC的射影恰为的射影恰为AC的中点的中点M. 又知又知AA1与底面与底面ABC所成的角为所成的角为60.(1)求证：求证：BC平面平面AA1C1C；(2)求二面角求二面角B-AA1-C的大小的大小.【解题回顾解题回顾】先由第先由第(1)小题的结论易知小题

6、的结论易知BCAA1，再利用作出棱再利用作出棱AA1的垂面的垂面BNC来确定平面角来确定平面角BNC.将题设中将题设中“AA1与底面与底面ABC所成的角为所成的角为60”改为改为“ BA1AC1 ” 仍可证得三角形仍可证得三角形AA1C为正三角形，所为正三角形，所求求二面角仍为二面角仍为 .本题的解答也可利用三垂线定理来推理本题的解答也可利用三垂线定理来推理.332arctan3.如图，正三棱柱如图，正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为的底面边长为a，侧棱，侧棱长为长为 ，若经过对角线，若经过对角线AB1且与对角线且与对角线BC1平行的平平行的平面交上底面一边面交上底面一边A1C1于点于点D

7、.(1)确定点确定点D的位置，并证明的位置，并证明你的结论；你的结论；(2)求二面角求二面角A1-AB1-D的大小的大小.a22【解题回顾解题回顾】第第(2)题中二面角的放置属于非常规位置题中二面角的放置属于非常规位置的图形的图形(同例同例(1)的变题的变题)，看起来有些费劲，但是一旦，看起来有些费劲，但是一旦将图形的空间位置关系看明白，即可发现解决此种问将图形的空间位置关系看明白，即可发现解决此种问题的基本方法仍然与常规位置时相同题的基本方法仍然与常规位置时相同.4.如图，已知如图，已知A1B1C1ABC是正三棱柱，是正三棱柱，D是是AC的中的中点点.(1)证明证明AB1平面平面DBC1.(

8、2)假设假设AB1BC1，求以，求以BC1为棱，为棱，DBC1与与CBC1为面为面的二面角的二面角的度数的度数.【解题回顾解题回顾】本题为本题为1994年全国高考理科试题，图中年全国高考理科试题，图中的正三棱柱放置的位置和一般放置的位置不同的正三棱柱放置的位置和一般放置的位置不同.这是高这是高考题中常出现的现象，目的是考查各种位置的正三棱考题中常出现的现象，目的是考查各种位置的正三棱柱性质，这一点应引起读者注意柱性质，这一点应引起读者注意.1. 二面角是立体几何的重点、热点、难点，求二面角二面角是立体几何的重点、热点、难点，求二面角的大小方法多，技巧性强但一般先想定义法，再想的大小方法多，技巧

9、性强但一般先想定义法，再想三垂线定理法，如课前热身三垂线定理法，如课前热身4，及能力，及能力思维思维方法方法1中，中，如果盲目作垂线，则会干扰思维如果盲目作垂线，则会干扰思维2. 实施解题过程仍要注意实施解题过程仍要注意“作、证、指、求作、证、指、求”四环节，四环节，计算一般是放在三角形中，因此，计算一般是放在三角形中，因此，“化归化归”思想很重思想很重要要.第7节 二面角(二)1.1.熟练掌握求二面角大小的基本方法：熟练掌握求二面角大小的基本方法：(1)先作平面角，再求其大小；先作平面角，再求其大小；(3)直接用公式直接用公式cos=S射射/S原原 2.2.掌握下列两类题型的解法：掌握下列两

10、类题型的解法：(1)折叠问题折叠问题将平面图形翻折成空间图形将平面图形翻折成空间图形.(2)“无棱无棱”二面角二面角在已知图形中未给出二面角在已知图形中未给出二面角的棱的棱.课课 前前 热热 身身1. 二面角二面角-AB-的平面角是锐角，的平面角是锐角，C是平面是平面内的内的点点(不在棱不在棱AB上上)，D是是C在平面在平面上的射影，上的射影，E是棱是棱AB上满足上满足CEB为锐角的任意一点，则为锐角的任意一点，则( )(A)CEBDEB(B)CEB=DEB(C)CEBDEB(D)CEB与与DEB的大小关系不能确定的大小关系不能确定A2. 直线直线AB与直二面角与直二面角-l-的两个半平面分别

11、交于的两个半平面分别交于A、B两点，且两点，且A、B l. 如果直线如果直线AB与与、所成的角所成的角分别是分别是1、2，则，则1+2的取值范围是的取值范围是( )(A) (B)(C)(D)2212102212021D3. 在长、宽、高分别为在长、宽、高分别为1、1、2的长方体的长方体ABCDA1B1C1D1中，截面中，截面BA1C1与底面与底面ABCD所成角的余弦值是所成角的余弦值是_.4. 把边长为把边长为a的正三角形的正三角形ABC沿着过重心沿着过重心G且与且与BC平平行的直线折成二面角，此时行的直线折成二面角，此时A点变为点变为 ，当，当时，则此二面角的大小为时，则此二面角的大小为_.

12、AaCA3531arccos(1/3)5.已知正方形已知正方形ABCD中，中，AC、BD相交于相交于O点，若将正点，若将正方形方形ABCD沿对角线沿对角线BD折成折成60的二面角后，给出的二面角后，给出下面下面4个结论：个结论：ACBD；ADCO；AOC为正三角形；为正三角形；过过B点作直线点作直线l平面平面BCD，则直线，则直线l平面平面AOC其其中正确命题的序号是中正确命题的序号是_1.平面四边形平面四边形ABCD中，中，AB=BC=CD=a，B=90，DCB=135，沿对角线，沿对角线AC将四边形折成直二面角将四边形折成直二面角.证：证：(1)AB面面BCD；(2)求面求面ABD与面与面

13、ACD所成的角所成的角.【解题回顾解题回顾】准确画出折叠后的图形，弄清有关点、准确画出折叠后的图形，弄清有关点、线之间的位置关系，便可知这是一个常见空间图形线之间的位置关系，便可知这是一个常见空间图形(四个面都是直角三角形的四面体四个面都是直角三角形的四面体).2.在直角梯形在直角梯形P1DCB中，中，P1DCB，CDP1D，P1D=6，BC=3，DC=3，A是是P1D的中点的中点. 沿沿AB把平面把平面P1AB折起到平面折起到平面PAB的位置，使二面角的位置，使二面角P-CD-B成成45，设设E、F分别为分别为AB、PD的中点的中点.(1)求证：求证：AF平面平面PEC；(2)求二面角求二面

14、角P-BC-A的大小；的大小；【解题回顾解题回顾】找二面角的平面角时不要盲目去作，而找二面角的平面角时不要盲目去作，而应首先由题设去分析，题目中是否已有应首先由题设去分析，题目中是否已有.3.正方体正方体ABCDA1B1C1D1中，中，E是是BC的中点，求平的中点，求平面面B1D1E和平面和平面ABCD所成的二面角的正弦值所成的二面角的正弦值.【解题回顾解题回顾】解法一利用公式解法一利用公式 . 思路简单明思路简单明了，但计算量较解法二大了，但计算量较解法二大.解法二的关键是确定二解法二的关键是确定二面角的棱，再通过三垂线定理作出平面角，最终解直面角的棱，再通过三垂线定理作出平面角，最终解直角

15、三角形可求出角三角形可求出.SScos4. 如图，在底面是直角梯形的四棱锥如图，在底面是直角梯形的四棱锥SABCD中，中，ABC=90，SA面面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=12.(1)求四棱锥求四棱锥SABCD的体积；的体积；(2)求面求面SCD与面与面SBA所成的二所成的二面角的正切值面角的正切值.【解题回顾】【解题回顾】(1)较易，较易，(2)因所求二面角无因所求二面角无“棱棱”，故，故先延长先延长BA、CD以确定棱以确定棱SE，然后证明，然后证明BSC为平面为平面角，本题当然可以用角，本题当然可以用 直接求直接求.原原射射SS cos(I)沿图中虚线将它们折叠起来，是哪一种特殊

16、几何体沿图中虚线将它们折叠起来，是哪一种特殊几何体?并请画出其直观图，比例尺是并请画出其直观图，比例尺是1/2；(II)需要多少个这样的几何体才能拼成一个棱长为需要多少个这样的几何体才能拼成一个棱长为6cm的正方体的正方体ABCDA1B1C1D1，请画出其示意图，请画出其示意图(需在示需在示意图中分别表示出这种几何体意图中分别表示出这种几何体)；5.如图为一几何体的展开图：如图为一几何体的展开图：(III)设正方体设正方体ABCDA1B1C1D1的棱的棱CC1的中点为的中点为E，试求：异面直线试求：异面直线EB与与AB1所成角的余弦值及平面所成角的余弦值及平面AB1E与平面与平面ABC所成二面角所成二面角(锐角锐角)的余弦值的余弦值.【解题回顾解题回顾】要研究翻折前后的两个图形，注意弄清要研究翻折前后的两个图形，注意弄清以下几点：以下几点：分别画出翻折前后的平面图形和立体图形，字母标分别画出翻折前后的平面图形和立体图形，字母标注要一致；注要一致；翻折前后几何图形的位置关系及相关量的变与不变翻折前后几何图形的位置关系及相关量的变与不变要分清；要分清；在解决立体图形问题进行计算时，要尽可能地参照在解决立体图形问题进行计算时，要尽可能地参照翻折前的平面图