应用统计学第14章--时间序列预测和统计指数

1、1 时间序列分析是一种广泛使用的数据分析方法，它主要用来描述与探索自然和社会经济现象随时间发展变化的数量规律性。通过本章的学习，我们希望读者能够了解不同的时间序列预测模型，比如移动平均法、指数平滑法、线性趋势、二次趋势、指数趋势、自回归和用于季节性数据的最小二乘模型，掌握统计实践中模型选择的方法，并同时了解指数的一些基础知识。 本章内容：本章内容： 14.1 时间序列模型的组成因素 14.2 年度时间序列数据的平滑 14.3 基于最小二乘法的趋势拟合和预测 14.4 自回归模型用于拟合和预测趋势 14.5 时间序列预测季节数据 14.6 指数 第第14章章 时间序列预测和指数时间序列预测和指数

2、 214.1 时间序列模型的组成因素时间序列模型的组成因素 时间序列预测有一个基本假设，那就是影响过去和现在活动的因素将继续以几乎相同的方式影响将来。因此，时间序列预测的主要目的是识别和区分这些影响因素，从而达到帮助我们进行预测的目的。为了达到这些目标，可以用许多数学模型来测量一个时间序列的基本组成因素。一般说来，一个时间序列主要包括如下因素：p趋势成分p波动成分循环因素随机因素季节因素31.年度时间序列模型年度时间序列模型iiiiICTYiTiCiI其中：i年的趋势分量值；i年的周期分量值；i年的不规则分量值。42.月度或季度时间序列模型月度或季度时间序列模型iiiiiICSTYiS=i时期

3、的季节分量值。 iTiCiI其中：i时期的趋势分量值；i时期的周期分量值；i时期的不规则分量值。514.2 年度时间序列数据的平滑年度时间序列数据的平滑 在考查年度数据时，由于受到年与年之间波动的影响，我们对该序列长期趋势没有很明显的直观印象，从而不能确定序列中是否存在长期上升或下降的趋势。想要对数据一段时期内的整体变化有更好的了解，可以运用移动平均法或指数平滑法。 1.移动平均法 移动平均法是对于选定的一个长度为L的时期，通过计算L个观测值的均值来预测未来的值，移动平均值以MA(L)表示。 结果取决于L的选取。 例如，5年移动平均，选取L=5; 7年移动平均，选取L=76举例：5年移动平均第

4、1个移动平均：第2个移动平均：5YYYYYMA(5)543215YYYYYMA(5)654327案例：年度销售数据案例：年度销售数据年年销售额销售额1234567891011 etc2340252732483337375040 etc8案例：年度销售数据案例：年度销售数据年年销售额销售额12324032542753264873383793710501140平均年平均年5年移动年移动平均平均329.4434.4533.0635.4737.4841.0939.455432135322725402329.4etc9年度数据与移动平均年度数据与移动平均 5年移动平均平滑了数据并且显示出某种潜在的变化趋

5、势102.2.指数平滑指数平滑 指数平滑法也是一种时间序列平滑的方法。除了平滑作用，当不确定长期趋势是否存在或长期趋势的类型时，还可以运用指数平滑法进行短期(即将来的某个时期)预测。 之所以称之为指数平滑，是因为这个方法包含一系列指数权重的移动平均。最近的一个值权重值最高，之前的值权重值较之略小，依次递减，第一个值的权重最小。整个序列中，每个指数平滑值都是在所有过去值的基础上得出的，这是指数平滑不同于移动平均的另一个优势。尽管指数平滑计算看上去似乎很麻烦，但是可以运用Microsoft Excel进行计算。 11指数平滑模型指数平滑模型11YE 1iiiE)W1(WYE其中：Ei = 时期 i

6、的指数平滑值Ei-1 = 时期 i 1的指数平滑值 Yi = 时期 i的观测值 W = 权重（平滑系数） 0 W 1i = 2, 3, 4, 12指数平滑举例指数平滑举例假设权重 W = 0.2时期时期 (i)销售额销售额(Yi)前一时期的预前一时期的预测值测值 (Ei-1)本时期的指数平滑值本时期的指数平滑值 (Ei)12345678910 23402527324833373750 -2326.426.1226.29627.43731.54931.84032.87233.69723(.2)(40)+(.8)(23)=26.4(.2)(25)+(.8)(26.4)=26.12(.2)(27)+

7、(.8)(26.12)=26.296(.2)(32)+(.8)(26.296)=27.437(.2)(48)+(.8)(27.437)=31.549(.2)(48)+(.8)(31.549)=31.840(.2)(33)+(.8)(31.840)=32.872(.2)(37)+(.8)(32.872)=33.697(.2)(50)+(.8)(33.697)=36.9581iiiW)E(1WYEE1 = Y113预测时期预测时期 i i + 1 + 1当前时期 (i)的平滑值为下一时期(i+1)的预测值：i1iEY1414.3 基于最小二乘法的趋势拟合和预测基于最小二乘法的趋势拟合和预测运用回归

8、分析预测趋势线：年时期X销售额Y19992000200120022003200401234520403050706501Ybb X以时间 X 作为自变量：15基于最小二乘法的趋势拟合和预测基于最小二乘法的趋势拟合和预测线性趋势方程为：21.9059.5714 iiYX年时期X销售额Y19992000200120022003200401234520403050706516基于最小二乘法的趋势拟合和预测基于最小二乘法的趋势拟合和预测当时间序列体现出非线性趋势时，可以采用非线性回归模型二次趋势预测方程：检验二次项的显著性：也可以尝试其它非线性函数类型以获取最佳拟合方程。2210iiXbXbbY17基

9、于最小二乘法的趋势拟合和预测基于最小二乘法的趋势拟合和预测指数趋势预测方程：01log( )iiYbb X其中 b0 = log(0)的估计b1 = log(1)的估计说明：%100) 1(1 为年度复增长率的估计值（用%表示）1814.4 自回归模型用于拟合和趋势预测自回归模型用于拟合和趋势预测 时间序列中的观测值往往与之前或之后的观测值高度相关，这种相关称为自相关。自回归模型是用来预测含有自相关的时间序列的一种方法。一阶自相关指一个时间序列中连续值之间的相关关系。二阶自相关指两个时期的值之间的相关关系。p阶自相关指一个时间序列中p个时期的值之间的相关关系。 p 阶自回归模型：ip- ip2

10、- i21- i10iYAYAYAAY随机误差1914.5 时间序列预测季节数据时间序列预测季节数据回顾包含季节变动的经典时间序列模型 ：假设季节为季度：定义3个虚拟变量：若为第1季度，则Q1 = 1，否则为0若为第2季度，则Q2 = 1，否则为0 若为第3季度， 则Q3 = 1，否则为0 (若Q1 = Q2 = Q3 = 0，那么第4季度为1）iiiiiYTSCI20时间序列预测季节数据时间序列预测季节数据变换为线性形式：31201234iXQQQiiY 01122334log( )log()log()log()log()log()log( )iiiYXQQQ(1-1)*100% = 季度复

11、增长率的估计值 ( %)2= 第1季度对第4季度的乘子估计值3=第2季度对第4季度的乘子估计值4=第3季度对第4季度的乘子估计值21季节模型估计季节模型估计指数预测方程：01213243log( )iiYbb Xb Qb Qb Q其中 b0 = log(0) 的估计值b1 = log(1)的估计值 etc说明：%100)1(1 = 季度复增长率估计值 ( %) =第1季度对第4季度的乘子估计值 =第2季度对第4季度的乘子估计值 =第3季度对第4季度的乘子估计值23422季度模型举例：季度模型举例：假设预测方程为：123log( )3.43.017.082.073.022iiYXQQQ b0 =

12、 3.43, so b1 = .017, so b2 = -.082, so b3 = -.073, so b4 = .022, so53.2691100b0040.1101b1828. 0102b2845.0103b3052.1104b423季度模型举例：季度模型举例：解释：53.26910040.11827.02845.03052.14第1年第1季度未校正的趋势值4.0% = 季度复增长率估计值以4%的季度增长率校正后，第1季度的平均销售额是第4季度平均销售额的 82.7% 以4%的季度增长率校正后，第2季度的平均销售额是第4季度平均销售额的 84.5% 以4%的季度增长率校正后，第3季度

13、的平均销售额是第4季度平均销售额的 105.2%值：2414.6 指数指数 简单地说，指数是一个时间序列中某个特定时点的观测值与另一个时点观测值的百分比。 通常，在商业和经济活动中，指数被用作商业或经济活动变化的指示值。指数有很多种，比如价格指数、数量指数、价格指数和社会指数。这里，我们只对价格指数进行简单介绍。 价格指数常常用来比较一种商品在给定时期的价格与在过去某一特定时间点的价格。简单价格指数主要用于单一商品。总价格指数用于跟踪一组商品(称之为市场篮)在给定时期的价格与过去某一特定时间点价格的变化。统计上，我们把作为比较基础的过去某一特定时间点称为基期。如果可能的话，在为某一指数选择基期

14、时，我们最好选择经济状况较为稳定的时期，而不要选择增长经济的顶峰或衰退经济的低谷。此外，基期应该选择相对较近的时期，这样在比较时就不会因为时间跨度太大而受到技术变化、消费者态度和习惯等因素的影响。 25简单价格指数简单价格指数100iibasePIP其中 Ii = i年的价格指数 Pi = i年的价格 Pbase = 基年的价格26指数举例：指数举例：1998 年 2006年的机票价格：2 .92)100(295272100200019981998PPI年年价格价格指数指数 (基年基年 = 2000)199827292.2199928897.620002951002001311105.4200

15、2322109.22003320108.52004348118.02005366124.12006384130.2100)100(295295100200020002000PPI2 .130)100(295384100200020062006PPI27指数：解释指数：解释1998年的价格是基年价格的92.2%2000年的价格是基年价格的 100% (根据定义，2000年时基年)2006年的价格是基年价格的130.2%2 .92)100(295272100200019981998PPI100)100(295295100200020002000PPI2 .130)100(295384100200020062006PPI28综合价格指数综合价格指数综合价格指数用于度量一组商品相对于基期的变化率：综合价格指数非加权综合价格指数加权综合价格指数Paasche 指数Laspeyres 指数29非加权综合价格指数非加权综合价格指数非加权综合价格指数公式：( )( )1(0)1100ntitiUniiPIP= 时间 t的非加权综合价格指数= 一组商品在时间