第2章 张量分析(清华大学张量分析,你值得拥有)

1、第第2章章 二阶二阶张量张量2022年年5月月14日日主要内容主要内容二阶二阶张量的矩阵张量的矩阵正则与退化的二阶张量正则与退化的二阶张量二阶张量二阶张量的标准型的标准型几种特殊几种特殊的二阶张量的二阶张量二阶张量二阶张量的分解的分解正交正交相似二阶张量相似二阶张量二阶张量的矩阵二阶张量的矩阵二阶张量的分量包含协变、逆变和两种混变形式二阶张量的分量包含协变、逆变和两种混变形式ijjiijijijijjiijTTTTTg gg gg gg g以上四以上四种分量形式对应着张量的四种矩阵形式种分量形式对应着张量的四种矩阵形式1234 jiijijijTTTT其中，其中， 矩阵是最重要的张量矩阵。矩阵

2、是最重要的张量矩阵。3WHY?二阶张量的转置张量二阶张量的转置张量TijjiijjijiijjiijTTTTTg gg gg gg g二阶张量的矩阵二阶张量的矩阵二阶张量的转置张量所对应的矩阵二阶张量的转置张量所对应的矩阵TTTTTTTT11233244() () () ()TTTTTTTT对称张量与其转置张量分量及二者所对应的矩阵对称张量与其转置张量分量及二者所对应的矩阵 jjiiijjiijjiiijjNNNNNNNNTTTTTT1112332444() ,() ,() ,()NNNNNNNNNN反对称张量与其转置张量分量及二者所对应的矩阵反对称张量与其转置张量分量及二者所对应的矩阵 jj

3、iiijjiijjiiijj TTTTT1112332T444() ,() ,() ,() 二阶张量的矩阵二阶张量的矩阵二阶张量的行列式二阶张量的行列式21234det( )det()det()det()gggTTTT11442332det()det(), det()det()det()det(), det()det() TTTTTTTT通常定义通常定义 的行列式为张量的行列式为张量T的行列式的行列式3TT3detdet()detTijTTT由于两个互为转置的矩阵的行列式相等，所以由于两个互为转置的矩阵的行列式相等，所以二阶张量的矩阵二阶张量的矩阵张量的加法和乘法运算与矩阵运算一一对应。张量的

4、加法和乘法运算与矩阵运算一一对应。求求迹运算，即缩并，对应于求迹运算，即缩并，对应于求 矩阵的对角线元矩阵的对角线元素之和。素之和。二阶张量与矢量的点积，即线性变换。例如：二阶张量与矢量的点积，即线性变换。例如： 该运算具有线性性质：该运算具有线性性质：两个二阶张量的点积两个二阶张量的点积 只有取只有取 ， 矩阵时，才与矩阵乘法相对应。矩阵时，才与矩阵乘法相对应。二阶二阶张量的某些运算没有对应的矩阵运算张量的某些运算没有对应的矩阵运算 例如，并乘运算。例如，并乘运算。二阶张量的代数运算与矩阵的二阶张量的代数运算与矩阵的代数运算代数运算wT u() TuvT uT v332正则与退化的二阶张量正

5、则与退化的二阶张量行列式值不为零的二阶张量行列式值不为零的二阶张量T称为正则的，否则称称为正则的，否则称为退化的。为退化的。二阶张量将整个矢量空间中的任意矢量映射为矢量。二阶张量将整个矢量空间中的任意矢量映射为矢量。任意二阶张量将零矢量映射为零矢量：任意二阶张量将零矢量映射为零矢量： T 00任意二阶张量将一线性相关的矢量集映射为任意二阶张量将一线性相关的矢量集映射为线性相线性相关的矢量集关的矢量集：1( ) ( )liiiu011( ) ( )( )( )lliiiiii0TuT u正则与退化的二阶张量正则与退化的二阶张量3D空间中任意二阶张量空间中任意二阶张量T将将任意任意矢量组矢量组u，

6、v，w映射映射为另一矢量组，满足：为另一矢量组，满足： det T u T v T wTu v w正则正则二阶张量的特性：二阶张量的特性：正则的正则的二阶张量二阶张量T的转置张量的转置张量TT也也是是正则的，正则的，正则的正则的二阶张量二阶张量T存在唯一的逆存在唯一的逆T-1。二阶张量二阶张量T是正则的充要条件是是正则的充要条件是 ，当且仅当，当且仅当 。单射性。若单射性。若 ， 则则 满射性。若满射性。若 ，则存在唯一的逆变换，则存在唯一的逆变换T u0u0uvT uT vT uw1Twu力学是用张量的力学是用张量的不变量不变量写成的！写成的！Gorldan猜想：代数结构中有无穷多不变量，但

7、基猜想：代数结构中有无穷多不变量，但基本不变量只有有限个。本不变量只有有限个。埃米埃米诺特诺特 Emmy Noether（1882-1935）伟大伟大的抽象代数之母诺特，石的抽象代数之母诺特，石破天惊的思想破天惊的思想：任何任何对称性，都对应某种形式对称性，都对应某种形式的守恒律的守恒律！二阶张量二阶张量T的标量不变量：的标量不变量：1:( )iiiiTtrCTG TG TT112233对应静水应力）对应静水应力）（力学中，（力学中，2:()ijijjijiT TtrCT TT TT T3 lmnijkijklmnT T TC二阶张量二阶张量T的三个主不变量：的三个主不变量：1:ililiiJ

8、TTG T211()2!2ijlmilillmijilliJT TT TT T31det( )3!ijklmnlmnijkJT T TT二阶张量二阶张量T的矩：的矩：1( )iiJtrTT2()ijjiJtrT TT T3()ijkjkiJtrT T TT T T二阶张量二阶张量T的三个主不变量与各阶矩之间的关系的三个主不变量与各阶矩之间的关系11JJ22121()2JJJ331123111()623JJJ JJ以及以及11JJ2212()2JJJ331123()33JJJ JJ二阶张量二阶张量T与三个线性无关矢量间的线性变换与三个线性无关矢量间的线性变换正则二阶张量，有正则二阶张量，有Nan

9、son公式公式 1 JTT u v wu T v wu v T wu v w 2 JTT u T v wu T v T wT u v T wu v w3 JTT u T v T wu v w 1T3JTT uT vTu v二阶张量的标准形二阶张量的标准形: 张量张量最简单最简单的形式的形式实对称二阶张量的标准形实对称二阶张量的标准形简单的例子简单的例子复杂应力状态分析中的主应力复杂应力状态分析中的主应力应力张量的三个主方向是应力张量的三个主方向是正交正交的。的。ijije e111222333e ee ee e对称二阶张量对称二阶张量ijjiNNg g必定存在一组正交基矢量必定存在一组正交基矢

10、量 ， ， ，使得，使得则则 为为N的主分量，的主分量， ， ， 为为N的的主方向。主方向。1g2g3g112233112233NNNNg gg gg g123123NNN，1g2g3g二阶张量的标准形二阶张量的标准形: 张量张量最简单最简单的形式的形式实对称二阶张量的标准形实对称二阶张量的标准形存在以下等式：存在以下等式： 1111NN gg2222NN gg3333NN ggN aa特征方程，特征方程，即即N的特征的特征值值，a即即N的特征向量。的特征向量。 ijijN aa()0iijjjNadet()0iijjN分量形式分量形式利用指标升降关系利用指标升降关系a为非为非0矢量矢量321

11、23( )0NNNJJJ利用主不变量利用主不变量特征值为什么是三个？特征值为什么是三个？二阶张量的标准形二阶张量的标准形: 张量张量最简单最简单的形式的形式非非对称二阶张量对称二阶张量请研究以下领域的同学关注。请研究以下领域的同学关注。 1、应变梯度理论，偶应力理论、应变梯度理论，偶应力理论 2、电流场，电磁流变（有旋场）、电流场，电磁流变（有旋场）几种特殊的二阶张量几种特殊的二阶张量零二阶张量零二阶张量O度量度量张量张量G0ijOO u0123123iiGg gg gg gg gG uuG TT几种特殊的二阶张量几种特殊的二阶张量二阶张量的二阶张量的幂幂正整数次幂正整数次幂 2TT T3TT

12、 T TmTT T TTm nmnTTT零次幂零次幂 00nnnnG T = TTTT0GT负整数次幂负整数次幂 01 ( 1)111 GTTTTT T211TTT1111mTTTTT几种特殊的二阶张量几种特殊的二阶张量正正张量：张量：N0的对称二阶张量的对称二阶张量 0u N u非负非负张量：张量：N0的对称二阶张量的对称二阶张量 0u N u对称二阶张量总可以化为：对称二阶张量总可以化为：1 1 1222333NNNNe ee ee e对称二阶张量为正张量的充要条件：对称二阶张量为正张量的充要条件：10N 20N 30N 对称二阶张量为非负张量的充要条件：对称二阶张量为非负张量的充要条件：

13、10N 20N 30N 几种特殊的二阶张量几种特殊的二阶张量非负非负张量的方根张量的方根1 1 1222333NNNNe ee ee e2NM可证明：可证明：1 1 1222333MMMMe ee ee e11MN22MN33MNNM非负非负张量的任意次方根张量的任意次方根pNS1pNS1 1 1222333SSSSe ee ee e1piiSN几种特殊的二阶张量几种特殊的二阶张量正张量的对数正张量的对数1 1 1222333NNNNe ee ee e11 1222333lnlnlnlnNNNNe ee ee e非负张量的构造：任意二阶张量非负张量的构造：任意二阶张量TT 0XT TT 0YT

14、T正张量的构造：正则二阶张量正张量的构造：正则二阶张量TT 0XT TT0YTT 几种特殊的二阶张量几种特殊的二阶张量反对称二阶张量反对称二阶张量二阶张量二阶张量T可加法分解为对称张量可加法分解为对称张量N和反对称张量和反对称张量 TN几种特殊的二阶张量几种特殊的二阶张量反对称二阶张量反对称二阶张量 Tijji 1123123231233000只有只有3个独立分量个独立分量线性变换：线性变换：: uu uuu蝌蝌主不变量：主不变量：10J ，30J1 21 22222233()()()J反偶矢量：反偶矢量：1 :2 ? ?几种特殊的二阶张量几种特殊的二阶张量反对称二阶张量反对称二阶张量的标准形

15、的标准形320J320 只有一个实根只有一个实根30对应特征方向，轴向，零向对应特征方向，轴向，零向3e实数标准实数标准形形0000000 1 22 1 e ee e 3 0e 3e可可证：证：12ee 21 ee 几何意义！几何意义！12,e e整体绕轴旋转整体绕轴旋转90度，扩大度，扩大 倍倍几种特殊的二阶张量几种特殊的二阶张量正交张量正交张量Q：对应着标架的刚性旋转：对应着标架的刚性旋转xxyy最简单的坐标变换最简单的坐标变换cossinsincosxxyy椭圆曲线椭圆曲线的坐标变换的坐标变换220axbxycyd正交变换可使椭圆曲线的方程由以下一般形式正交变换可使椭圆曲线的方程由以下一

16、般形式变换为最简形式，即两主轴坐标系下形式。变换为最简形式，即两主轴坐标系下形式。221xyab几种特殊的二阶张量几种特殊的二阶张量正交张量正交张量Q正交张量正交张量的定义和性质的定义和性质11TTQQQ QGQQQ QG1TQQ2det1Q31QJ 几种特殊的二阶张量几种特殊的二阶张量正交正交张量张量只有一个实特征根只有一个实特征根31Q 对应特征方向，轴向对应特征方向，轴向3e cossin0sincos0001Q实数标准实数标准形形1 1222 11 23 3cossinQe ee ee ee ee e可可证：证：33 Q ee112cossinQ eee221cossinQ eee整体

17、绕轴向旋转一个角度整体绕轴向旋转一个角度12,e e几种特殊的二阶张量几种特殊的二阶张量正交张量对应的正交变换的特性正交张量对应的正交变换的特性保内积性质保内积性质保长度性质保长度性质保角度性质保角度性质保面积（体积）保面积（体积）() ()Q uQ vu v() ()Q uQ uu u() ()cos() ()u vQ uQ vu vQ uQ v() ()Q uQ vu v Q u Q v Q wu v w二阶张量的分解二阶张量的分解二阶张量的加法分解二阶张量的加法分解任意任意二阶张量二阶张量T均可进行对称化与反对称化运算：均可进行对称化与反对称化运算：T1()2TTT1()2NTTTN位移

18、场梯度位移场梯度 变形变形对称：应变对称：应变反对称：刚体转动反对称：刚体转动对称部分对称部分N可再进行分解：可再进行分解：NPDP为球形张量，为球形张量，D为偏斜张量。为偏斜张量。二阶张量的分解二阶张量的分解二阶张量的加法分解二阶张量的加法分解TN = PD111133NTJJPG =G113NJDNPNG性质性质111PTNJJJ=P只有一个独立的主不变量，特征矢量任意。只有一个独立的主不变量，特征矢量任意。10DJ=2221103DNNJJJ=D只有两个独立的主不变量，特征方向与只有两个独立的主不变量，特征方向与N同，特征方程：同，特征方程：33312112327DNNNNJJJ JJ=

19、3230DDJJ二阶张量的分解二阶张量的分解二阶张量的加法分解二阶张量的加法分解力学中的变形机制：力学中的变形机制：0d ：由：由 产生的应变能密度可分解为：产生的应变能密度可分解为：由体积变形引起；：由体积变形引起；P：体积变形：体积变形由压力引起由压力引起D：剪切变形：剪切变形塑形变形塑形变形0123() / 3( )0d iiVdV：由形状变形引起。：由形状变形引起。dP：体积变，形状不变；：体积变，形状不变；D：体积不变，形状变。：体积不变，形状变。塑性流动条件：塑性流动条件：2.DJConst=一般塑性流动条件：一般塑性流动条件：23,.DDf JJConst=多孔介质多孔介质塑性流

20、动条件：塑性流动条件：12,.PDf JJConst=马氏体相变塑性流动条件：马氏体相变塑性流动条件：123,.PDDf JJJConst=二阶张量的分解二阶张量的分解二阶张量的加法分解二阶张量的加法分解注：注： 是二次函数，上述加法分解只在是二次函数，上述加法分解只在小变形小变形时成立。时成立。原因是，在小变形情况下，球形应力张量和偏斜应力原因是，在小变形情况下，球形应力张量和偏斜应力张量互相在对方的变形场上不做功，因此可用加法分解张量互相在对方的变形场上不做功，因此可用加法分解能量密度。而大变形情况会出现高度非线性，则不能能量密度。而大变形情况会出现高度非线性，则不能用加法分解，而要用乘法

21、分解。用加法分解，而要用乘法分解。例如：在固体力学中，例如：在固体力学中，u表示位移场，则小变形情况下表示位移场，则小变形情况下的应变张量为：的应变张量为：1()2uu而在大变形情况下，必须计算变形梯度张量而在大变形情况下，必须计算变形梯度张量F的极分解。的极分解。二阶张量的分解二阶张量的分解二阶张量的加法分解二阶张量的加法分解任意任意二阶张量二阶张量T有几个独立的不变量？有几个独立的不变量？N的独立分量：的独立分量：6；独立不变量：；独立不变量：3 的独立分量：的独立分量：3；独立不变量：；独立不变量：1T的独立分量：的独立分量：9；独立不变量：；独立不变量：? 一定小于一定小于9。从加法分解的角度看：。从加法分解的角度看：TN二阶张量