结构力学动力计算ppt课件

1、结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院浙大宁波理工学院土建学院第十章第十章 构造动力计算构造动力计算 结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院浙大宁波理工学院土建学院构造动力计算的目的构造动力计算的目的 研讨构造在动荷载作用下的反响规律，计算研讨构造在动荷载作用下的反响规律，计算动荷载作用下构造的最大动内力和最大动位移，动荷载作用下构造的最大动内力和最大动位移，为构造的动力可靠性设计提供根据。为构造的动力可靠性设计提供根据。 动力反响的特点动力反响的特点 在动荷载作用下，构造的动力反响动内力、在动荷载作用下，构造的动力反响动内力、动位移等都随时间变化，除与动荷载的变化规动位移等都随时间变化，除与

2、动荷载的变化规律有关外，还与构造的固有特性自振频率、振律有关外，还与构造的固有特性自振频率、振型和阻尼有关。型和阻尼有关。 不同的构造，假设它们具有一样的阻尼、频不同的构造，假设它们具有一样的阻尼、频率和振型，那么在一样的荷载下具有一样的反响。率和振型，那么在一样的荷载下具有一样的反响。可见，构造的固有特性能确定动荷载下的反响，可见，构造的固有特性能确定动荷载下的反响，故称之为构造的动力特性。故称之为构造的动力特性。结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院浙大宁波理工学院土建学院强迫振动强迫振动: :构造在动荷载作用下产生的构造在动荷载作用下产生的振动。研讨强迫振动，可得到构造的振动。研讨强迫振

3、动，可得到构造的动力反响。动力反响。 自在振动和强迫振动自在振动和强迫振动自在振动自在振动: :构造在没有动荷载作用时，由构造在没有动荷载作用时，由 初速度、初位移所引起的振动。研讨构造初速度、初位移所引起的振动。研讨构造的自在振动，可得到构造的自振频率、振的自在振动，可得到构造的自振频率、振型和阻尼参数。型和阻尼参数。结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院浙大宁波理工学院土建学院 10.1 10.1 动力计算的特点和动力自在度动力计算的特点和动力自在度1 1、动力计算的特点、动力计算的特点 静荷载：荷载的大小和方向不随时间变化如梁板自重。 动荷载：荷载的大小和方向随时间变化，需求思索惯性力。

4、 内力与荷载不能构成静平衡,必需考证惯性力。根据达朗伯原理，加惯性力后，将动力问题转化为静力问题处置。列平衡方程时要思索两点 (1). 力系中包括惯性力 (2). 荷载内力等都是时间的函数。结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院浙大宁波理工学院土建学院2 2、动力荷载的分类、动力荷载的分类 P(t)toP(t)=Psint1)1)周期荷载：荷载随时间作周期性变化周期荷载：荷载随时间作周期性变化简谐荷载：荷载按正弦余弦规律变化偏心转子对构造的冲简谐荷载：荷载按正弦余弦规律变化偏心转子对构造的冲击击, ,机器转动。机器转动。结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院浙大宁波理工学院土建学院2)2)冲击

5、荷载：荷载在短时间内急剧添加或减少锻锤冲击荷载：荷载在短时间内急剧添加或减少锻锤对根底的冲击、爆炸等。对根底的冲击、爆炸等。P(t)totdP(t)totd3)3)随机荷载随机荷载风荷载，地震荷载风荷载，地震荷载结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院浙大宁波理工学院土建学院3 3、振动体系的自在度、振动体系的自在度 自在度：自在度：构造运动时，确定运动过程中任一时辰全部质量的构造运动时，确定运动过程中任一时辰全部质量的位置所需确定的独立几何参数的数目。位置所需确定的独立几何参数的数目。与几何组成自在度不同。与几何组成自在度不同。自在度数自在度数= =根本未知量数根本未知量数 根据简化方式不同，

6、根本未知量可分为质点位移，广义坐标，结点位移。 实践构造有无限个自在度数，需求对计算方法加以简化，减少自在度数。自在度数与简化的方法有关结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院浙大宁波理工学院土建学院计算方法的简化计算方法的简化 常用的三种简化方法1.集中质量法: 将延续分布的质量集中为质点，以质点位移线位移为根本未知量。本章主要讨论集中质量法 2.广义坐标法： 用级数表示度曲线方程，以广义坐标级数的项系数为根本未知量。3.有限单元法： 将构造分割为假设干个单元，用结点位移线位移与角位移表示各单元挠曲线方程。将无限自在度问题化为有限自在度问题。结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院浙大宁波理工学

7、院土建学院mhEIEIky(t)mky(t)my(t)m2EIm将延续分布的质量集中为质点1.1.集中质量法的简化例集中质量法的简化例 36EIkh结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院浙大宁波理工学院土建学院1.1.集中质量法的简化与自在度：集中质量法的简化与自在度：一质点简化三质点简化41m41m41m81m81m留意：不一定一个质点一个自在度根本未知量为质点的未知线位移21m41m41m结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院浙大宁波理工学院土建学院1.1.质量集中法的自在度分析例质量集中法的自在度分析例 5构造的自在度与能否超静定无关。2 2个自在度个自在度2 2个自在度个自在度4 4个

8、自在度个自在度自在度数=质点未知线位移数结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院浙大宁波理工学院土建学院假定梁的挠度曲线为 1( )( )nkkky xax( )sinkk xxlka满足位移边境条件的外形函数满足位移边境条件的外形函数 广义坐标级数项系数广义坐标级数项系数 自在度数=广义坐标数(级数项数)2.2.广义坐标法：广义坐标法： 用级数表示度曲线方程，以广义坐标级数用级数表示度曲线方程，以广义坐标级数的项系数为根本未知量。的项系数为根本未知量。结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院浙大宁波理工学院土建学院3.3.有限单元法有限单元法 将构造分割为假设干个单元，用结点位移表示各单元挠度曲

9、线方程。将无限自在度问题化为有限自在度问题。综合了集中质量法和广义坐标法的特点。 根本未知量为结点未知位移线位移+角位移1010个自在度个自在度9 9个自在度个自在度结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院浙大宁波理工学院土建学院1.1.自在振动运动微分方程自在振动运动微分方程 自在振动由初位移或初速度引起的，在运动自在振动由初位移或初速度引起的，在运动中无动荷载作用的振动。中无动荷载作用的振动。 分析自在振动的目的分析自在振动的目的 确定构造的动力特性，自振频率，自振周期。确定构造的动力特性，自振频率，自振周期。 10.2 10.2 单自在度体系的自在振动单自在度体系的自在振动结构力学（2）浙

10、大宁波理工学院土建学院浙大宁波理工学院土建学院动平衡方程动平衡方程( )( )( )( )( )( )my tky tF tmy tF ty t动荷载: F(t)刚度系数: k柔度系数: d =1/k位移:y(t)22( )d yy tdt( )dyy tdt静平衡方程静平衡方程kyFFy荷载: F刚度系数: k柔度系数: d =1/k位移:y柔度法(位移平衡)刚度法(力平衡)柔度法(位移平衡)刚度法(力平衡)ky(t)mky(t)my(t)m质量: m时间:t速度:加速度：ky(t)mky(t)my(t)mF(t)结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院浙大宁波理工学院土建学院弹性力 = -k

11、y(t), 与位移方向相反； 惯性力 = -)(tym ，与加速度 y 方向相反。 ky(t)mky(t)my(t)mky(t)mky(t)my(t)mky(t)mky(t)my(t)mky(t)mky(t)my(t)my两种动平衡方程两种动平衡方程( )( )( )my tky tF t刚度法刚度法- -动力平衡方程动力平衡方程两种方程的数学意义都是2阶常微分方程。外荷载F(t)=0的方程为2阶齐次常微分方程自振微分方程柔度法柔度法- -动位移平衡方程动位移平衡方程( )( )( )my tF ty t-惯性力-弹性力=动力柔度*惯性力+柔度*动力=动位移结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学

12、院浙大宁波理工学院土建学院2.2.自在振动运动方程的解刚度法自在振动运动方程的解刚度法0)()(tkytym 设 通解为 动力平衡方程属于二阶齐次常微分方程mmk121121212121212sincossin( )()()() sin()cossincocossii tteeitty tcccccccc itcctCtCeettit22120ii 特征方程 涉及到两阶微分等于同型函数的问题,设 代入得20yytyce由于齐次常微分方程的通解为一切特解的线性叠加，所以 ；结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院浙大宁波理工学院土建学院( )sincoscossinsin()y tAtAtAt22

13、100020tanvyAyv单自在度体系的无阻尼自在振动是由初位移和初速度引起的简谐振动。 00( )cossinvy tytt方程的解(P357 图10-11)： 令通解 tCtCty cossin)(21初始条件 0)0(yy0)0(vy 0v1C2C0y结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院浙大宁波理工学院土建学院简谐自在振动的特性简谐自在振动的特性 my(t)AmA2位移自振方程位移自振方程 )sin()( tAty加速度加速度 )sin()(2 tAty 惯性力惯性力 )sin()()(2 tmAtymtI 位移与惯性力作同频同步振动位移与惯性力作同频同步振动 假设一个质点在某方向的

14、位移与所受弹性力成正比，那么质点在该方向上可发生简谐自在振动结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院浙大宁波理工学院土建学院(某一时辰的位移等于隔一段时间T之后的位移，T为自振周期)1kmm自振圆频率自振圆频率: :自振频率自振频率222mTmk自振周期自振周期: :(2p个单位时间内的振动次数，或每秒振动次数*2p)频率频率1fT(每秒振动次数，周期的倒数)刚度或柔度: k或d 质量: m初始位移：y0 初始速度：v0确定单自在度体系的自振方程的四个根本物理量确定单自在度体系的自振方程的四个根本物理量内要素外要素与内在要素有关的物理量与内在要素有关的物理量结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院

15、浙大宁波理工学院土建学院( )sin()y tAt自振方程自振方程振幅：振幅：100tanyv22002vAy初始相位角：初始相位角：刚度或柔度: k或d 质量: m初始位移：y0 初始速度：v0确定单自在度体系的自振方程的四个根本物理量确定单自在度体系的自振方程的四个根本物理量内要素外要素与外要素有关的物理量与外要素有关的物理量00(0)sin(0)cosy tyAy tvA 代入初始条件得代入初始条件得解得结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院浙大宁波理工学院土建学院自振频率和自振周期是体系固有的，只与内在要素有关，与外在要素无关。算法：柔度法沿质点的可位移方向虚设单位荷载，作 图 1M图

16、乘法得柔度系数 31148M MlEIEI自振频率 3148EImml自振周期 32248mlTEI算例算例 求图示体系的自振频率和自振周期。求图示体系的自振频率和自振周期。P359P359 1l/4ml/2l/21M图结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院浙大宁波理工学院土建学院图示构造体系虽有两个质量，但它们只能沿程度方向同时运动，故仍为单自在度体系。算法：柔度法沿质点的可位移方向虚设单位荷载，作 图 1M图乘法得柔度系数 31123M MlEIEI自振频率 31324EImml自振周期 EImlT34223 mmEIEIEILL算例算例 求图示体系的自振频率和自振周期。求图示体系的自振频

17、率和自振周期。 1LLM1图L结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院浙大宁波理工学院土建学院算例求图示体系的自振频率和周期算例求图示体系的自振频率和周期,C,C端最大位移端最大位移 解法解法1 1：设设B B处的竖向位移为处的竖向位移为y y、加速度为、加速度为那么那么C C处的竖向位移为处的竖向位移为5/4y5/4y、加速度为、加速度为y 54y -惯性力*力臂-弹性力*力臂=00AM5525004416lMykylMyky平衡方程4217.89/0.35125516kksTsMMlABCkml/400105000/0.12/MkgkN mymvm s知：B点初位移和速度：M220020.1

18、5vAymC端最大位移：1.25A=0.187mB点振幅结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院浙大宁波理工学院土建学院解法解法2 2，柔度法，柔度法5 5/4 4kkA154沿质点的可位移方向虚设单位荷载，求得的质点的位移即为柔度系数220020.15vAymC端最大位移：1.25A=0.187m14217.89/0.3515ksTsMMB点振幅结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院浙大宁波理工学院土建学院222maxmax114,225CCTMYVkY解法解法3 3：设设C C点最大位移为点最大位移为YC YC ； C C点最大速度为点最大速度为wYC wYC ；B B点最大位移为点最大位移

19、为0.8 0.8 YCYC体系最大动能体系最大动能 T max T max和最大应变能和最大应变能Ve maxVe max为为maxmax417.89/5kTVsM根据能量守恒原理根据能量守恒原理lABCkml/4220020.15vAymC端最大位移：1.25A=0.187mB点振幅结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院浙大宁波理工学院土建学院2( )( )( )PF ty ty tm式中 自振频率 刚度法建立动力平衡方程刚度法建立动力平衡方程2 2阶非齐次常微分方程阶非齐次常微分方程/k m( )( )( )pmy tky tF t-惯性力-弹性力=外力10103 3 单自在度体系的强迫振

20、动不计阻尼单自在度体系的强迫振动不计阻尼y(t)ymFP(t)kymyFP(t)结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院浙大宁波理工学院土建学院一一. . 简谐荷载下的动力反响简谐荷载下的动力反响 ( )sinPF tFtF 荷载幅值 荷载的圆频率 动力平衡方程动力平衡方程 2( )( )sinFy ty ttm该方程为2阶非齐次常微分方程 设特解： *( )siny tAt代入得2222()sinsin()FAttmFAm结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院浙大宁波理工学院土建学院通解为：通解为： 特解为特解为*22( )sin()Fy ttm齐次通解 + 特解2( )( )sinFy ty

21、 ttm微分方程微分方程最大静位移： 代入得(0)(0)0yy通解通解 1222/01/stCyC 初始条件2stFFyFkm22212( )sin(s1)incosCtCtFy ttm1222sinc1( )sin1osstyttytCtC结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院浙大宁波理工学院土建学院初始条件(0)(0)0yy的振动方程为221( )sinsin1sty tytt上式分为两部分。第一部分按荷载频率振动，第二部分按自振频率振动。由于实践振动过程中存在阻尼，按自振频率振动的第二部分会逐渐消逝，剩下第一部分，进入平稳阶段稳态振动221( )sinsin1ststy tytyt稳态振

22、动方程稳态振动方程动力系数：动力系数：2211最大动位移与最大静位移的比值结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院浙大宁波理工学院土建学院221( )sinsin1ststy tytyt稳态振动方程稳态振动方程动力系数：动力系数：22113211230共振区最大动位移与最大静位移的比值当荷载频率接近于自振频率时，振幅会无限增大，这种景象称为共振结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院浙大宁波理工学院土建学院例例10-310-3：求简支梁跨中最大位移和最大弯矩：求简支梁跨中最大位移和最大弯矩(P362) (P362) 知FsintG1/21/254113244,7.48*10,5.34*10500

23、/min35000,10002.1*10/0lmImWmnENrFNmGN1ll4123811112*( *)22468.488 1048lllMdsEIEIlmNEI解：解：1 1柔度法求自振频率柔度法求自振频率柔度系数：柔度系数： 自振频率：2819.8/57.4/35000*8.488*10/gm ssMGNm N图M结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院浙大宁波理工学院土建学院3 3动力系数：动力系数：222115.8852.31157.42 2荷载频率：荷载频率：22 *50052.3/6060ns静荷载静荷载+|+|动力系数动力系数| |* *动荷载幅值作用时的最大弯矩动荷载幅值作

24、用时的最大弯矩最大正应力最大正应力4 4求跨中最大正应力求跨中最大正应力62maxmax4393800175.6*10/175.65.34*10MN mN mMPaWmmax1()41(350005.88*10000)*4493800pMGF lNNmN m静弯矩14Gl14pF l动弯矩幅值结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院浙大宁波理工学院土建学院* *动荷载不作用在质点上时的动力计算柔度法动荷载不作用在质点上时的动力计算柔度法柔度法建立动位移平衡方程 令令*1211111,FFm (a) (b) 动位移动位移= =柔度柔度1 1* *惯性力惯性力+ +柔度柔度2 2* *动力动力y(t

25、)Fsintml/4l/4l/2Fsinty(t)-my(t)1112121111( )( )sin1( )( )siny tmy tFtFy ty ttmm*2( )( )sinFy ty ttm得到与刚度法类似的微分方程结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院浙大宁波理工学院土建学院稳态解 *222( )sin11Fy ttm (c) (d) (e) 111112Fyst*2( )( )sinFy ty ttm2阶非齐次常微分方程结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院浙大宁波理工学院土建学院 1 1、振幅、振幅 *max2 ( )FAy tm由以上可知: b仍是位移的动力系数.思索:b能否内

26、力的动力系数？稳态振动方程 最大值为振幅*2( )sinFy ttm*1211111,FFm12111211stAFFy 代入得结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院浙大宁波理工学院土建学院 2 2、动内力幅值、动内力幅值 ( )sinpF tFt、( )siny tAt2( )siny tAt 2( )( )sinI tmy tmAt ( )y t( )I t( )pF t、作同频同步运动，三者同时到达幅值。 由于产生内力的动力与惯性力的作用位置不同， b在物理意义上不是内力的动力系数。先算出惯性力幅值。然后，将惯性力幅值和干扰力幅值同时作用在体系上，按静力学计算方法便可求得动内力幅值。22

27、12ImAmF 惯性力惯性力惯性力幅值最大值为惯性力幅值最大值为结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院浙大宁波理工学院土建学院* *例：求图示简支梁的振幅，作动弯矩幅值图例：求图示简支梁的振幅，作动弯矩幅值图. . 知知 ：0.5解解 (a) (b) (1)计算动力系数 221431(2)简支梁的振幅 31211768lEImax312( )11576stAy tyFlFEI(c)y(t)Fsintml/4l/4l/2Fm2AAFyst结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院浙大宁波理工学院土建学院 (d) (e) (3)(3)作动弯矩的幅值图作动弯矩的幅值图惯性力幅值惯性力幅值21221212

28、111211141143311 11/76811331/4848ImFmFmFmFFF 动弯矩幅值图动弯矩幅值图(f) 将动荷载幅值将动荷载幅值 F F 和惯性和惯性力力 幅值幅值 I I 作用在梁上，按作用在梁上，按静力学方法作出弯矩图静力学方法作出弯矩图-动动弯矩幅值图。弯矩幅值图。 当力作用在质点上时，当力作用在质点上时，I+F=bFI+F=bF1l/41113l/1612F4811FFl38483Fl1923531211768lEI31148lEI结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院浙大宁波理工学院土建学院 当干扰力作用在质量上时，位移的动力系数和内力的动力系数是一样的；当干扰力不作

29、用在质量上时，位移和内力各自的动力系数通常是不同的。 对于位移和内力动力系数一样的情况，求构造的最大动力反响时，可将干扰力幅值当作静荷载作用计算构造的位移内力，然后再乘以动力系数，便可得到稳态和振动时构造的最大动位移和最大动内力。 对于位移和内力动力系数不同的情况，那么要从体系的运动方程出发，先求出稳态振动的位移幅值，再算出惯性力。最后，按静力计算方法求出构造在干扰力幅值和惯性力幅值共同作用下的内力，此即构造的最大动内力。关于单自在度体系稳态振动的最大动位移和最大动内力关于单自在度体系稳态振动的最大动位移和最大动内力结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院浙大宁波理工学院土建学院二二. . 普通

30、动荷载下的动力反响普通动荷载下的动力反响- Duhamel- Duhamel积分积分 体系在普通动荷载作用下的动力反响，可看成是体系在普通动荷载作用下的动力反响，可看成是延续作用的一系列冲量对体系产生的动力反响之和。延续作用的一系列冲量对体系产生的动力反响之和。Fp(t )Fp(t )0ttFp(t)my(t)EIl结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院浙大宁波理工学院土建学院(1)t=0 (1)t=0 时瞬时冲量作用时瞬时冲量作用 设体系 时静止, 0t 瞬时冲量 pSFt使体系产生的初速度 0PFtSmm初位移 00y 0tFp冲量S=FptttFp(t)自振方程通用式 00( )coss

31、iny tytt00( )cossinsinPFty tytttm代入得瞬时冲量作用后的自振方程 结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院浙大宁波理工学院土建学院2 2. .时瞬时冲量作用时瞬时冲量作用 t位移 pF d(t)sin(t- )ym任一时辰 ()tt0dS=Fpdtt-tFpFp(t )结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院浙大宁波理工学院土建学院pF ( )ddysin (t- )m微分冲量下体系的动力反响普通动荷载下体系的动力反响01( )( )sin()tpy tFtdmDuhamel积分 Fp(t )dS=Fp()dFp(t )0dtt0000,0ty0001( )coss

32、in( )sin()tpvy tyttFtdm假设时,那么体系的动力反响3 3. Duhamel. Duhamel积分积分 结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院浙大宁波理工学院土建学院例1. 求突加荷载作用下质量 m 的位移。初始条件为零，不计阻尼。 0t 0t 00 ,( ),ppFtFFp(t)my(t)EIl三三. . 几种常见动力荷载下的动力反响几种常见动力荷载下的动力反响1 1. . 突加荷载突加荷载tFp(t )Fp000,( ),ppF tF结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院浙大宁波理工学院土建学院解 :将 ( )pF t代入式Duhamel积分式 001( )sin()t

33、py tFtdm020sin()tpFtdm02(1cos)pFtm(1 cos)styt1 1. . 突加荷载突加荷载0234tyst动力系数动力系数 max( )2sty ty自在振动的中心为自在振动的中心为0 0点，突加荷载的振动中心非点，突加荷载的振动中心非0 0点点最大静位移点最大静位移点 ，但两者的振动形状本质上一样。，但两者的振动形状本质上一样。振动中心振动中心结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院浙大宁波理工学院土建学院002001( )sin()cos()cos()c2sinsin()22osuuPPssttFy tFtdtmmytutuuyt( )(1 cos)sty ty

34、t第1阶段，与突加荷载一样第2阶段，自在振动，初始位移和速度即第1阶段末的值0,00,0)0(PPFttF ttuu2 2. . 短时荷载短时荷载12sin,212,2uTuuTT动力系数动力系数FP(t)FP0u结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院浙大宁波理工学院土建学院u /T12sin,212,2uuTTuT动力系数动力系数结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院浙大宁波理工学院土建学院第1阶段，与突加荷载一样 第2阶段，自在振动例例: :11,16TuT( )y tt( )(1cos)sttuy tyt( )2sinsin()22sttuuuy tyt结构力学（2）浙大宁波理工学院土建

35、学院浙大宁波理工学院土建学院第1阶段，与突加荷载一样 第2阶段，自在振动( )(1cos)sttuy tyt( )2sinsin()22sttuuuy tyt例例: :10.5,2TuTt( )y t结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院浙大宁波理工学院土建学院第1阶段，与突加荷载一样 第2阶段，自在振动例例: :1,2TuTt( )y t( )(1cos)sttuy tyt( )2sinsin()22sttuuuy tyt结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院浙大宁波理工学院土建学院000( )PrPrPrFtFttttFtt 3 3. . 线性渐增荷载线性渐增荷载0000020021sin

36、1( )sin()sin()11cos()sin()1sinttPstrPrrtPrPrtFy tFtdtdmtm tFttm tFttmtytt0:rtt FP(t)FP0tr结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院浙大宁波理工学院土建学院:rtt000002201( )sin()sin()11cos()sin()cos()11cos()sin()sin1 cos(11sinsi)rrrrttPPtrttPPrtstrrrssrtrrty tFtdFtdmtFFtttm tmyyttttttytttttn()rtt结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院浙大宁波理工学院土建学院FP(t)FP0t

37、r1( )1sin1sisn(in)(rstrrrstrtty tyttttty tytttt线性渐增荷载下的振动方程线性渐增荷载下的振动方程10-2110-21式式( )sty ty例：例：t0.2511.89rtTT结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院浙大宁波理工学院土建学院0.511.64rtTT11rtTT例：例：假设荷载线性渐增的时间tr是周期T的整数倍,那么荷载添加终了后不振动结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院浙大宁波理工学院土建学院1.511.21rtTT211rtTT例：例：假设荷载线性渐增的时间tr是周期T的整数倍,那么荷载添加终了后不振动结构力学（2）浙大宁波理工学院

38、土建学院浙大宁波理工学院土建学院3.511.091rtTT311rtTT例：例：假设荷载线性渐增的时间tr是周期T的整数倍,那么荷载添加终了后不振动结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院浙大宁波理工学院土建学院描点法作b tr /T (动力系数反映谱)图tr /T振动范围: 2(b-1)结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院浙大宁波理工学院土建学院作业作业作作10-2110-21式所示的式所示的y(t)-ty(t)-t关系曲线，求动力系数关系曲线，求动力系数b b知知 a , ba , b为学号最后两位，为学号最后两位，0 0以以1010替代替代,1,2,1rstatTyb结构力学（2）浙大宁

39、波理工学院土建学院浙大宁波理工学院土建学院10104 4阻尼：体系在振动过程中使其能量耗散的各种要素的统称。阻尼：体系在振动过程中使其能量耗散的各种要素的统称。 产生阻尼的缘由：构造变形中资料的内摩擦，支撑及结点等构件结合处摩擦及周围介质阻力等。阻尼力大小与速度有关阻尼力大小与速度有关1 1与质点速度成正比粘滞阻尼力与质点速度成正比粘滞阻尼力2 2与质点速度平方成正比流体阻力产生的阻尼力与质点速度平方成正比流体阻力产生的阻尼力3 3与质点速度无关摩擦产生的阻尼力与质点速度无关摩擦产生的阻尼力阻尼对振动的影响阻尼对振动的影响阻尼力对质点运动起妨碍作用阻尼力对质点运动起妨碍作用 ，与质点速度方向相

40、反，与质点速度方向相反结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院浙大宁波理工学院土建学院y(t)ycmFP(t)ky(t)cy(t)my(t)k(a)(b)粘滞阻尼力假定阻尼力的大小与体系振动时的速度成正比，与速度方向相反，用 表示。)(tyc弹性力 ( )ky t阻尼力 惯性力 动力平衡方程为： ( )( )( )( )Pmy tcy tky tF tc阻尼常数( )my t ( )cy t -惯性力-阻尼力-弹性力=动力结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院浙大宁波理工学院土建学院动力平衡方程动力平衡方程( (有阻尼强迫振动有阻尼强迫振动) ) ( )( )( )( )Pmy tcy tky

41、tF t无阻尼自在振动无阻尼自在振动0)()(tkytym ( )0( )0Pcy tF t无阻尼强迫振动无阻尼强迫振动( )( )( )Pmy tky tF t( )0cy t 有阻尼自在振动有阻尼自在振动( )( )( )0my tcy tky t( )0PF t 无阻尼无动荷载无阻尼无动荷载平衡方程平衡方程 -惯性力-阻尼力-弹性力=动力结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院浙大宁波理工学院土建学院一一. .有阻尼自在振动有阻尼自在振动 动力平衡方程动力平衡方程令 阻尼比 2cm设特解为 特征方程 21i特征根2220( )ty tAe( )( )( )0my tcy tky t2( )

42、2( )( )0y ty ty t结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院浙大宁波理工学院土建学院(1). 1 2121,rrrii 令特征根121212121212( )()()(ccossincossiossi)nnrrrritrrttt itt ittttttritrrry tAeA eAeA eAeA eAeteA eeteiCtittCt代入得通解21i特征根结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院浙大宁波理工学院土建学院(1). 1 由初始条件 00(0)(0)yyyvryvC002自振方程解01yC ( )sin()try tAet220002()rvyAy1000tanryvy相位

43、角12( )(cossin)trry teCtCt通解初相位a为0时的最大振幅结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院浙大宁波理工学院土建学院小阻尼自振小阻尼自振例x=0.05例x=0.1( )sin()1try tAtAe1 结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院浙大宁波理工学院土建学院例x=0.2例x=0.5小阻尼自振小阻尼自振( )sin()1try tAtAe1 结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院浙大宁波理工学院土建学院ytyKyK+1Ae-ttKtK+1Tr小阻尼的自在振动是按指数规律衰减的简谐运动。 12231()()( )()sin()sinrrrrttt TkkTrrt Tr

44、yyyyyyyyAetAeeAeAettTtT( )sin()try tAet相邻两个振幅的比值相邻两个振幅的比值:无阻尼自振频率r:有阻尼自振频率结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院浙大宁波理工学院土建学院振动方程振动方程 ( )sin()try tAet频率 周期 21r21rTT 时，阻尼对自振频率的影响可忽略； 钢筋混凝土构造： 钢构造： 0.2rrTT0.050.02T , :无阻尼自振周期，频率Tr , r :有阻尼自振周期，频率结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院浙大宁波理工学院土建学院阻尼比确实定阻尼比确实定 1ln2kkyy振幅对数衰减率振幅对数衰减率阻尼比阻尼比11ln

45、2kkyy21rTTkkyeeey时，阻尼对自振频率与周期的影响可忽略， 0.2rTT所以相邻振幅比可近似为结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院浙大宁波理工学院土建学院例 不振动由于y(t)0 2 2 临界阻尼比临界阻尼比 13 3 超阻尼情况不振动超阻尼情况不振动 21i 特征根12( )()ty tCC t e通解引入初始条件得00( )(1)ty tytv t e( )y tt00(0)(0)yyyv1结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院浙大宁波理工学院土建学院经过实验可确定体系的阻尼比。经过实验可确定体系的阻尼比。例：例： 对图示刚架作自在振动实验。设刚架的对图示刚架作自在振动实验

46、。设刚架的质量质量 m m 均集中在横梁处，横梁均集中在横梁处，横梁 。在。在刚架横梁处加一程度力刚架横梁处加一程度力, , 测得侧移测得侧移 。然后忽然卸载，刚架产生自。然后忽然卸载，刚架产生自在振动，测得周期在振动，测得周期 ，及一个周期后，及一个周期后刚架的侧移为刚架的侧移为 。求刚架的阻尼比。求刚架的阻尼比 和阻尼系数和阻尼系数 。 EIKNFP8 . 9 cmy5 . 00 sTr5 . 1 cmy4 . 01 C结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院浙大宁波理工学院土建学院解解阻尼比 01110.5lnln0.0355220.4yy1224.189rsTT402196 10/111

47、695pFkN mykmkg阻尼常数 msNmC332202结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院浙大宁波理工学院土建学院二二. .有阻尼强迫振动有阻尼强迫振动 1 1. .突加荷载突加荷载Fp0Fp0作用作用无阻尼自振的中心为无阻尼自振的中心为0 0点，有阻尼突加荷载的振动中心为点，有阻尼突加荷载的振动中心为非非0 0点最大静位移点，但两者的振动形状本质上一样。点最大静位移点，但两者的振动形状本质上一样。02( )1cossinrptrry tettFm振动中心振动中心02pyFm( )( )( )( )Pmy tcy tky tF t00.15011000PMkgTsFN例例结构力学（2）

48、浙大宁波理工学院土建学院浙大宁波理工学院土建学院二二. .有阻尼强迫振动有阻尼强迫振动 2 2. .简谐荷载作用下的动力系数简谐荷载作用下的动力系数阻尼越小共振效应越阻尼越小共振效应越显著。当阻尼比大于显著。当阻尼比大于0.50.5时，动力系数的时，动力系数的最大值约等于最大值约等于1 1，因，因此动力作用对构造应此动力作用对构造应力与变形的影响的不力与变形的影响的不比静力形状下的更大。比静力形状下的更大。1222222214/ 结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院浙大宁波理工学院土建学院10-5 10-5 双自在度体系的自在振动双自在度体系的自在振动 工程中，很多实践构造可简化为单自在度体

49、系进展计算，但要进展更加准确地分析，以及对于绝大多数实践构造必需作为多自在度体系进展计算。 多自在度体系自在振动分析的目的是确定体系的动力特性自振频率和振型。多自在度体系自在振动的求解方法： 刚度法 柔度法结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院浙大宁波理工学院土建学院111112212222yFkkkkyFkyFF1F2EIEIy1y2刚度系数*位移=荷载刚度矩阵位移向量=荷载向量双自在度双自在度单自在度单自在度EIFEIy-弹性力=荷载-弹性力向量=荷载向量一一. . 刚度法刚度法- -静荷载作用下的刚度方程静荷载作用下的刚度方程结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院浙大宁波理工学院土建学院

50、一一. .刚度法刚度法刚度法的自振微分方程是与动力有关的平衡方程，某个质点的动力平衡方程可描画为-惯性力-弹性力=动荷载1 1双自在度体系振动微分方程双自在度体系振动微分方程F1(t)F2(t)EIEIy1(t)y2(t)111111122( )( )m y tk y tFk y tt质点1的动力平衡方程可描画为：同理，质点2的动力平衡方程可描画为：质点1的运动产生的1方向惯性力质点1的位移产生的1方向的弹性力111111221( )( )( )( )m y tk y tk y tF t详细物理意义为：质点2的位移产生的1方向的弹性力222121222( )( )m y tk y tFk y

51、tt作用在质点1的动荷载结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院浙大宁波理工学院土建学院1111112222211222( )( )( )0( )( )( )0m y tk y tk y tm y tk y tk y tF1F2EIEIy1y22 2特解特解设微分方程的特解： 1122( )sin()( )sin()y tYty tYt代入上式得21111122221 1222200km Yk Yk YkmYF1(t)=0 , F2(t)=0的自振形状下的动力平衡方程为如下微分方程涉及到两阶微分等于同型函数的问题3 3位移幅值方程位移幅值方程(P374 10-39a(P374 10-39a式式)

52、 )结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院浙大宁波理工学院土建学院另解：根据能量守恒原理：一个无阻尼的弹性体系自在度振动时，它在恣意时辰的总能量应坚持不变(参照P190，191页)11112max122122212YkkVYYkkY112222222max1 12 211221222011111022222YmTmvm vmYmYYYmY设最大位移为Y1，Y2 ；最大速度为v1= wY1 ，v2 = wY2 最大动能 T max和最大应变能Ve max为maxmaxTV位移幅值方程位移幅值方程(P374 10-39a(P374 10-39a式式) )11111212212222200YYkkm

53、kkmYY根据能量守恒原理根据能量守恒原理结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院浙大宁波理工学院土建学院4 4频率方程频率方程( (特征方程特征方程) )Y1Y1，Y2Y2有非有非0 0解条件解条件 211112221222()0()kmkDkkm方程两个根： 规定 ，且都为正12, 1212第一频率或根本频率， 第二频率2111112222122200YkmkYkkm 3 3位移幅值方程位移幅值方程2211221122112212211212121122kkkkk kk kmmmmm m代数解为结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院浙大宁波理工学院土建学院5 5主振型主振型 将 代入位移幅值

54、方程得11122211111YkYkm 第一频率对应的振型某一频率时各质点的振幅的比值12111112222122200YkmkYkkm 位移幅值方程将 代入位移幅值方程得2第一主振型第二主振型12122221121YkYkm 结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院浙大宁波理工学院土建学院图示两个振型图示两个振型 第一主振型第一主振型12第二主振型第二主振型 结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院浙大宁波理工学院土建学院2222211211222122111111sinsin)(sinsin)(tYAtYAtytYAtYAty 双自在度体系可以按某个主振型自在振动的条件是：初双自在度体系可以按

55、某个主振型自在振动的条件是：初始位移和初始速度该当与此主振型相对应。始位移和初始速度该当与此主振型相对应。 普通情况下，两个自在度体系的自在振动可以看作是两普通情况下，两个自在度体系的自在振动可以看作是两种频率及其主振型的组合振动种频率及其主振型的组合振动此为自振微分方程此为自振微分方程的解的解1111112222211222( )( )( )0( )( )( )0m y tk y tk y tm y tk y tk y t；结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院浙大宁波理工学院土建学院多自在度体系自在振动问题可以归纳为：(P375) 主要问题是确定体系的全部自振频率及其主振型。 自振频率个数

56、与自在度个数一致，由特征方程求出。 每个自振频率有本人的相应的主振型，主振型就是多自在度体系可以按单自在度振动时的特定方式。 多自在度的频率和振型是多自在度体系的固有性质。自振频率只与体系本身的刚度系数及其质量分布有关，与外部荷载无关。结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院浙大宁波理工学院土建学院刚度法计算分析双自在度体系自振问题总结刚度法计算分析双自在度体系自振问题总结1 1求刚度系数求刚度系数( (或矩阵或矩阵) ) 11122122kkkk2 2求自振频率求自振频率由频率方程 0222221121211mkkkmk得(10-41)式，代入求解两个根12, 3 3求主振型求主振型( (特征

57、向量特征向量) ) 第一主振型 11122211111YkYkm 第二主振型 1212222112YkYkm 结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院浙大宁波理工学院土建学院 知图示两层刚架，横梁为无限刚性。该质量集中在楼层上，分别为m1，m2。层间侧移刚度层间产生单位相对侧移时所需施加得力分别为k1，k2。求刚架程度振动时自振频率和主振型。 m1m2k1k2刚度法计算举例P375 例10-4结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院浙大宁波理工学院土建学院刚度法计算举例求自振频率和主振型刚度法计算举例求自振频率和主振型122212122kkkkFFk解解1.a1.a ：静力法求刚度矩阵：静力法求刚

58、度矩阵12222kkkkk刚度矩阵m2F2F1m1k1k2一层柱截面平衡方程二层柱截面平衡方程设荷载 作用下的位移为12FF121211FFk22212122()Fkkk 结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院浙大宁波理工学院土建学院221121222121212221122122221122112212Vkkkkkkkkkkk 解解1.b1.b：能量法求刚度矩阵：能量法求刚度矩阵12222kkkkk根据卡氏(Castigliano)第一定理，刚度矩阵为(参照P105，P122页)设m1的程度位移为D1 ，设m2的程度位移为D2 。用位移表示应变能用位移表示应变能m1m2k1k2结构力学（2）

59、浙大宁波理工学院土建学院浙大宁波理工学院土建学院m2m1k1k212222kkkkkm1m2k1k2刚度矩阵结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院浙大宁波理工学院土建学院2 2求自振频率求自振频率频率方程 1222212220kkkmkmk当 时，1212,kkk mmm0)(2(222kmkmk 解得 21.618km10.618km结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院浙大宁波理工学院土建学院3 3求主振型求主振型 两个主振型图： 第一主振型第二主振型 第一主振型 第二主振型 (2)21 / 10.6180.0.86510.52158Y11.61810.6181112221111111.6

60、18YkYkm 121222211210.618YkYkm (1)21 / 1 1.6181.60.5250.85118Y规范化规范化结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院浙大宁波理工学院土建学院频率方程 1222212220kkkmkmk当 时，121290,90kk mm解得 第一主振型 第二主振型 1121110YY122219YY 鞭梢效应鞭梢效应101-91结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院浙大宁波理工学院土建学院课堂练习：建立图示体系的频率方程课堂练习：建立图示体系的频率方程2mmEIEIEI2EIABCllDEFG；结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院浙大宁波理工学院土建学