一偏导数定义及其计算法ppt课件

1、第二节第二节 偏导数偏导数一偏导数的定义及其计算法一偏导数的定义及其计算法NoImage如果在上述定义中， 将点如果在上述定义中， 将点),(00yx换成换成),(yx， 可得函数， 可得函数),(yxfz 分别对分别对x及及y的偏导函数的定义。习惯上仍称偏导函数为偏的偏导函数的定义。习惯上仍称偏导函数为偏导数，称偏导数为偏导数在某点的值。导数，称偏导数为偏导数在某点的值。 由于在多元函数偏导数的计算中由于在多元函数偏导数的计算中,实际上只需一个自变量在变动，实际上只需一个自变量在变动，其他自变量都是固定的，所以求偏导数时只需把其他的自变量其他自变量都是固定的，所以求偏导数时只需把其他的自变量

2、暂时看成常量，详细方法是与一元函数的求导完全类似的。暂时看成常量，详细方法是与一元函数的求导完全类似的。例例 1 求求二二元元函函数数)(cos)sin(2xyxyz分分别别关关于于变变量量 x和和变变量量 y 的的偏偏导导数数和和偏偏导导数数在在点点)2,0(的的值值。 解：解： )sin(21)cos()sin()cos(2)cos(xyxyyxyxyyxyyzx)sin(21)cos()sin()cos(2)cos(xyxyxxyxyxxyxzy )2,0(xz=2， )2,0(yz=0 NoImage解解：1zyxxzyu，yuz1zyxxln，zuxxzyzyln)(2 NoImag

3、eNoImageNoImage下面讨论二元函数下面讨论二元函数),(yxfz 在点在点),(00yx对变量对变量 x的偏的偏导数的几何意义导数的几何意义: 设设),(,(00000yxfyxM为曲面为曲面),(yxfz 上的一点，过上的一点，过0M作作平面平面0yy ，截此曲面得曲线，其方程为，截此曲面得曲线，其方程为),(0yxfz ，那，那末一元函数的导数末一元函数的导数 0 xxdxdz=0),(0 xxdxyxdf=),(00yxfx，而前者表示曲线，而前者表示曲线),(0yxfz 过点过点 ),(00yx的切线对的切线对 x 轴的斜率， 因此偏导数轴的斜率， 因此偏导数),(00yx

4、fx的几何意的几何意义是曲面义是曲面),(yxfz 被平面被平面0yy 所截得的曲线在点所截得的曲线在点0M处处的切线对的切线对 x 轴的斜率。同理，偏导数轴的斜率。同理，偏导数),(00yxfy的几何意义的几何意义是曲面是曲面),(yxfz 被平面被平面0 xx 所截得的曲线在点所截得的曲线在点0M处的处的切线对切线对 y 轴的斜率。轴的斜率。 例例 4曲线曲线4422yyxz在点（在点（2，4，5）处的切线对于）处的切线对于 x 轴轴的倾角是多少？的倾角是多少？ 三化对于一元函数，假设在某点可导，必定在该点延续。下三化对于一元函数，假设在某点可导，必定在该点延续。下 面讨论对于二元函数，函

5、数在某点面讨论对于二元函数，函数在某点“偏导数存在与在该点偏导数存在与在该点“延延续续“两者之间有没有必然联络？两者之间有没有必然联络？解 ：解 ：根 据偏 导数 的几 何意 义， 所求 夹角 的正 切根 据偏 导数 的几 何意 义， 所求 夹角 的正 切 为为12)4,2(2xxxz，4 （另另一一种种做做法法是是在平面在平面 y=4 上，曲线的方上，曲线的方程程为为442xz，切线对于切线对于 x 轴的倾角轴的倾角的的斜斜率率是是tan2xdxdz=1，4） NoImageNoImage因此二元函数在某点延续与二元函数在某点偏导数存在是两因此二元函数在某点延续与二元函数在某点偏导数存在是两

6、个互不关联的概念。个互不关联的概念。究其缘由，可以这样分析：由一元函数的讨论可知，函数可导究其缘由，可以这样分析：由一元函数的讨论可知，函数可导比函数延续的要求高，因此函数在某点延续不能保证函数在该比函数延续的要求高，因此函数在某点延续不能保证函数在该点的偏导数存在；由二元函数的讨论可知，延续是某点邻域内点的偏导数存在；由二元函数的讨论可知，延续是某点邻域内各方位共有的性质，而偏导数存在，只是各方位共有的性质，而偏导数存在，只是x轴和轴和y轴方向的性质。轴方向的性质。因此，函数在某点偏导数存在也不能保证函数在该点延续。因此，函数在某点偏导数存在也不能保证函数在该点延续。NoImage关于函数关于函数),(yxfz 的三阶，四阶， 。 。 。的三阶，四阶， 。 。 。 ，n 阶偏导数的定义阶偏导数的定义依次类推。二阶及二阶以上依次类推。二阶及二阶以上偏导数统称高阶偏导数。高阶偏导数统称高阶偏导数。高阶偏导数的计算与一阶偏导数的计算完全类似。偏导数的计算与一阶偏导数的计算完全类似。 例例 6设设),ln(xyxz 求求),(yxzxxy和和),(yxzxyy NoImageNoImageNoImageNoImage称称),(yxfxy和和),(yxfyx为函数为函数),(yxfz 的二阶混合偏导数，的二阶混合偏导数，可以证明：如果两个二阶混合偏导数在区域可以证明：如果两个二