工程力学第7章习题

1、第7章 弹性杆件横截面上的正应力分析(a)习题7-1图 71 桁架结构受力如图示，其上所有杆的横截面均为20mm×50mm的矩形。试求杆CE和杆DE横截面上的正应力。 解：图（a）中，（1） 截面法受力图（a） ，（2） FCE = 15 kN ，（3） （1）代入（3），得FDE = 50 kN MPa MPa(a)习题7-2图 72 图示直杆在上半部两侧面受有平行于杆轴线的均匀分布载荷，其集度= 10kN/m，在自由端D处作用有集中呼FP = 20 kN。已知杆的横截面面积A = 2.0×10-4m2，l = 4m。试求： 1A、B、E截面上的正应力； 2杆内横截面上的

2、最大正应力，并指明其作用位置。 解：由已知，用截面法求得 FNA = 40 kN FNB = 20 kN FNE = 30 kN （1）MPa MPa MPa （2）MPa（A截面） 73 图示铜芯与铝壳组成的复合材料杆，轴向拉伸载荷FP通过两端的刚性板加在杆上。试： 1写出杆横截面上的正应力与FP、d、D、Ec、Ea的关系式；习题7-3图 2若已知d = 25mm，D = 60mm；铜和铝的单性模量分别为Ec = 105GPa和Ea = 70GPa，FP = 171 kN。试求铜芯与铝壳横截面上的正应力。 解：1变形谐调： （1） （2） 2 MPa MPa 74 图示由铝板钢板组成的复合材

3、料柱，纵向截荷FP通过刚性平板沿着柱的中心线施加在其上。试： 1导出复合材料柱横截面上正应力与FP、b0、b1、h和Ea、Es之间的关系式；习题7-4图 2已知FP = 385kN；Ea = 70GPa，Es = 200GPa；b0 = 30mm，b1 = 20mm，h = 50mm。求铝板与钢板横截面上的最大正应力。 解：变形谐调： （1） （2） 1 2 MPa（压） MPa（压） 75 从圆木中锯成的矩形截面梁，受力及尺寸如图所示。试求下列两种情形下h与b的比值： 1横截面上的最大正应力尽可能小； 2曲率半径尽可能大。习题7-6图习题7-5图 解：1 （正应力尽可能小） 2 ，得 （曲率

4、半径尽可能大） 76 梁的截面形状为正方形去掉上、下角，如图所示。梁在两端力偶Mz作用下发生弯曲。设正方形截面时，梁内最大正应力为；去掉上、下角后，最大正应力变为，试求： 1k值与h值之间的关系； 2为尽可能小的h值，以及这种情形下的k值。 解：， （1） ，h = 0（舍去）， 代入（1）： 77 工字形截面钢梁，已知梁横截面上只承受Mz = 20 kN·m一个内力分量，Iz = 11.3×106mm4，其他尺寸如图所示。试求横截面中性轴以上部分分布力系沿x方向的合力。习题7-7图 解： kN 即上半部分布力系合力大小为143 kN（压力），作用位置离中心轴y = 70m

5、m处，即位于腹板与翼缘交界处。习题7-8图 78 图示矩形截面（b·h）直梁，在弯矩Mz作用的Oxy平面内发生平面弯曲，且不超出弹性范围，假定在梁的纵截面上有y方向正应力存在，且沿梁长均匀分布。试： 1导出的表达式； 2证明：，为中性面的曲率半径。 解：1先求表达式： (a) 即 ，（） 即 （a）- 2由（a）式，令，得y = 0，则 （b） 79 图示钢管和铝管牢固地粘成复合材料管，在两端力偶Mz作用下发生平面弯曲，试： 1导出管横截面上正应力与Mz、D1、D2、D3和钢的Es、铝的Ea之间的关系式； 2已知D1 = 20mm，D2 = 36mm，D3 = 44mm；Mz = 8

6、00N·m；Es = 210GPa，Ea = 70GPa。求钢管和铝和铝管横截面上的最大正应力。习题7-9图 解：静力平衡： （1） 变形谐调：得 （2） ，（3） 由（2）（4） 代入（1），得 （5） （6） 1 ，（） ，（） 2 MPa MPa 710 由塑料制成的直梁，在横截面上只有Mz作用，如图所示。已知塑料受拉和受压时的弹性模量分别为Et和Ec，且已知Ec = 2Et；Mz = 600N·m。试求： 1梁内最大拉、压正应力；习题7-10图 2中性轴的位置。 解：根据平面假设，应变沿截面高度作直线变化 Ec = 2Et， 沿截面高度直线的斜率不同 中性轴不过截面

7、形心。 1确定中性轴位置。设拉压区高度分别为ht、hc 由，得：(a)ht 即 （1） 又（2） 由（1）、（2），得 即 （中性轴的位置） 2 其中 MPa（压）习题7-11图 MPa（拉） 711 试求图a、b中所示的二杆横截面上最大正应力的比值。 解：（a）为拉弯组合 （b）为单向拉伸 习题7-12图 712 桥墩受力如图所示，试确定下列载荷作用下图示截面ABC上A、B两点的正应力： 1在点1、2、3处均有40 kN的压缩载荷； 2仅在1、2两点处各承受40 kN的压缩载荷； 3仅在点1或点3处承受40 kN的压缩载荷。解：Mpa MPa 1 MPa 2 MPa 3在点1加载： MPa

8、MPa 由对称性，得 在3点加载：MPa，MPa 713 图示侧面开有空洞的正方形截面管，管壁厚= 5mm，管在两端承受轴向载荷FP。已知开孔处截面的形心为C，形心主惯性矩m4，Fp = 25kN。试求： 1开孔处横截面上点F处的正应力；习题7-13图 2最大正应力。 解：kN N·m m2 1 MPa2 MPa（在y正向最大位置）习题7-14图 714 图示矩形截面杆在自由端承受位于纵向对称面内的纵向载荷FP，已知FP = 60kN。试求： 1横截面上点A的正应力取最小值时的截面高度h； 2在上述h值下点A的正应力值。 解： （1） 1令， h = 3d = 75mm（2） 2由（

9、1）、（2）式得： MPa习题7-15图 715 图中所示为承受纵向载荷的人骨受力简图，假定实心骨骼为圆截面。试： 1确定截面BB上的应力分布； 2假定骨骼中心部分（其直径为骨骼外径的一半）由海绵状骨质所组成，且忽略海绵状承受应力的能力，确定截面BB上的应力分布；(b) 3确定1、2两种情况下，骨骼在截面BB上最大压应力之比。(a)(c)OB(d)O 解：1MPa MPa MPa MPa 沿y方向应力分布如图（c）所示，中性轴为zc。2 MPa MPa Mpan MPa zC为中性轴，沿y轴应力分布如图（d） 3 ，或(a)习题7-16图 716 正方形截面杆一端固定，另一端自由，中间部分开有

10、切槽。杆自由端受有平行于杆轴线的纵向力FP。若已知FP =1kN，杆各部分尺寸示于图中。试求杆内横截面上的最大正应力，并指出其作用位置。 解：m2 m3 m3 FNx = 1 kN N·m N·m MPa 最大正应力作用位置位于中间开有切槽的横截面的左上角点A，如图（a）所示。习题7-17图 717 钢制立柱上承受纵向载荷FP如图所示。现在A、B、D三处测得x方向的正应变，。若已知钢的弹性模量E = 200GPa。试求： 1力FP的大小； 2加力点在Oyz坐标中的坐标值。 解：m2 m3 m3 （1） （2） （3） （4） 由（1）、（4）， 即 （5） 由（2）、（4）

11、，（6）习题7-18图 由（3）、（4），（7） 解（5）、（6）、（7）：mm mm FP = 240 kN 718 矩形截面柱受力如图所示，试证明： 1当铅垂力FP作用在下面方程所描述的直线上的任意点时，点A的正应力等于零：(a) 2为了使横截面的所有点上都不产生拉应力，其作用点必须位于由类似上述方程所描述的直线围成的区域内（图中虚直线围成的区域）。 解：1写出K点压弯组合变形下的正应力（图a）。 (b) （1） 将代入（1）式，并使正应力为零，得FP所作用的直线方程 整理得： 2若FP作用点确定，令（1）式等于零，得截面的中性轴方程（图b）：(c) （2） 中性轴nn的截距：（3） 说明

12、中性轴nn，与力FP作用点位于形心C的异侧，说明nn划分为FP作用下的区域为压应力区，另一区域是拉应力区（见图b）。 如果将（2）改写为（4） 并且把中心轴上一点（y, z）固定，即中性轴可绕该点顺时针转动（从11转到22） 由（4）式，FP作用必沿直线移动。由（3）式，22直线的截距值大于11直线的。所以，当中性轴11顺时针转向中性轴22时，FP作用点FP1、FP2沿直线，并绕形心也顺时针转向。(d) 如果中性轴绕A点从11顺时针转动至33（中性轴始终在截面外周旋转），则截面内就不产生拉应力，将A坐标代入（4）式：，即FP沿该直线移动。从FP1FP2FP3，反之铅垂力FP从FP1FP2FP3

13、直线移动，截面不产生拉应力，同理过B、F、D分别找另三条FP移动的直线。这四条直线所围区域为截面核心。铅垂压力在截面核心内作用，则横截面上不会有拉应力。 719 矩形截面悬臂梁受力如图所示，其中力FP的作用线通过截面形心。试： 1已知FP、b、h、l和，求图中虚线所示截面上点a的正应力； 2求使点a处正应力为零时的角度值。习题7-19图 解：， ， 令，则， 720 矩形截面柱受力如图所示。试：习题7-20图 1已知= 5°，求图示横截面上a、b、c三点的正应力。 2求使横截面上点b正应力为零时的角度值。 解： ， 1 MPa MPa MPa习题7-21图 2 ，= 4.76

14、6; 721 交通信号灯柱上受力如图所示。灯柱为管形截面，其外径D = 200mm，内径d = 180mm。若已知截面A以上灯柱的重为4kN。试求横截面上点H和K处的正应力。 解：，=22.62° N N·m MPa习题7-22图 MPa 722 No. 25a普通热轧工字钢制成的立柱受力如图所示。试求图示横截面上a、b、c、d四点处的正应力。解：m2 m3 m3 kN N·m N·m(a) MPa MPa MPa MPa MPa Mpa习题7-23图 723 承受集度为q = 2.0kN/m均布载荷的木制简支梁，其截面为直径d = 160mm的半圆形。

15、梁斜置如图所示。试求梁内的最大拉应力与最大压应力。(a) 解：， N·m(b) m4 m4 (c) yC MPa（左下角A点） 最大压应力点应在CD弧间，设为 （1） ，得： 代回（1）式， MPa习题7-24图 724 简支梁的横截面尺寸及梁的受力均如图所示。试求N截面上a、b、c三点的正应力及最大拉应力。 解：kN·m MPa（压应力） MPa（拉应力） MPa（拉应力） MPa（拉应力） 725 根据杆件横截面正应力分析过程，中性轴在什么情形下才会通过截面形心？试分析下列答案中哪一个是正确的。 （A）My = 0或Mz = 0，； （B）My = Mz = 0，； （

16、C）My = 0，Mz = 0，； （D）或，。 正确答案是 D 。 解：正如教科书P168第2行所说，只要，则其中性轴一定不通过截面形心，所以本题答案选（D）。 726 关于中性轴位置，有以下几种论述，试判断哪一种是正确的。 （A）中性轴不一定在截面内，但如果在截面内它一定通过形心； （B）中性轴只能在截面内并且必须通过截面形心； （C）中性轴只能在截面内，但不一定通过截面形心； （D）中性轴不一定在截面内，而且也不一定通过截面形心。 正确答案是 D 。 解：本题解答理由可参见原书P167倒数第1行，直至P168页第2行止，所以选（D）。 727 关于斜弯曲的主要特征有四种答案，试判断哪一种是正确的。 （A），中性轴与截面形心主轴不一致，且不通过截面形心； （B），中性轴与截面形心主轴不一致，但通过截面形心； （C），中性轴与截面形心主轴平