不可约多项式的判定及应用黄嘉盛详解

1、不可约多项式的判定及应用摘要多项式理论是高等代数的重要组成部分，而不可约多项式是多项式中重要的概念.本文主要对有理数域上不可约多项式的判别方法进行整理归纳，较为系统的给出不可约多项式的判定方法。对于一般的不可约多项式的判定有Eisenstein判别法、Kronecker判别法、Perron判别法、Browm判别法等。研究了各判定方法的等价和包含关系。此外，我们还给出了不可约多项式的一些应用。关键词不可约多项式；判定方法；应用2.不可约多项式的概念及性质2.1 整除的概念设P是一个数域，对于Plx中任意两个多项式f(x)与g(x),其中g(x)/0,一定有Plx】中的多项式q(x),r(x)存在

2、，使得f(x)=q(x)g(x)r(x)成立，其中a(r(x)ca(g(x)或者r(x)=0,并且这样的q(x),r(x)是唯一决定的。定义2.1数域P上的多项式g(x)称为能整除f(x),如果有数域P上的多项式h(x)使等式f(x)=g(x)h(x)成立，我们用g(x)|f(x)”表示g(x)整除f(x),用g(x)f(x)”表示g(x)不能整除f(x)。定理2.11对于数域P上的任意两个多项式f(x),g(x)，其中g(x)#0,g(x)|f(x)的充分必要条件是g(x)除f(x)的余式为零。证明：如果r(x)=0那么f(x)=q(x)g(x)，即g(x)|f(x)。反过来，如果g(x)|

3、f(x),那么f(x)=q(x)g(x)=q(x)g(x)+0,即r(x)=0。注1:带余除法中g(x)必须不为零。下面介绍整除性的几个常用性质：(1)如果f(x)|g(x),g(x)|f(x)，那么f(x)=cg(x),其中c为非零常数。(2)如果f(x)|g(x),g(x)|h(x),那么f(x)|h(x)(整除的传递性)。(3)f(x)|g(x),f(x)|g(x)i=1,2,山,，那么f(x)|(u(x)gi(x)+u2(x)g2(x)+|”+ur(x)g.(x)b其中Ui(x)是数域P上任意多项式。12.2 本原多项式若是一个整系数多项式f(x)的系数互素，那么f(x)叫做一个本原多

4、项式。2.3 有理数域上多项式的等价设g(x)有理数域上的一个多项式，若g(x)的系数不全是整数，那么以g(x)系数分母的一个公倍数乘g(x)就得到一个整系数多项式f(x)。显然，多项式g(x)与f(x)在有理数域上同时可约或同时不可约。2.4 多项式的不可约相关概念在中学我们学过一些具体方法，把一个多项式分解为不能再分的因式的乘积，但并没有深入探讨和讨论这个问题，并没有严格地论证它们是否真的不可再分，所谓不可再分的概念，其实不是绝对的，而是相对于系数的数域而言，有例如下把x4-9进行分解，可分解为x4-9=x23x2-3但这是相对于有理数域而言的，对于实数域来说还可分进一步为X49=X23x

5、-.3xx3而在复数域上，还可以再进一步分解为x4-9=x.3ix-J3ix,3x：/3由此可见，必须明确系数域后，所谓的不可再分，才有确切的涵义。在下面的讨论中，仍然须选定一个数域P作为系数域，数域P上多项环Px中多项式的因式分解相关的不可约定义如下定义2.4.1数域P上的次数1的多项式p(x)称为域P上的不可约多项式，如果它不能表示成数域P上两个次数比p(x)的次数低的多项式的乘积。我们要谈的多项式的不可约性问题的相关事实如下(1) 一次多项式总是不可约多项式；(2) 一个多项式是否不可约是依赖于系数域的；(3)不可约多项式p(x)与任一多项式f(x)之间只能是有两种关系，或者p(x)|f

6、(x)或者(p(x),f(x)=1,事实上，如果(p(x),f(x)=d(x),那么d(x)或者是1,或者是cp(x)(c=0),当d(x)=cp(x)时，就有p(x)|f(x)o12.5 有理数域上不可约多项式的定义如果f(x)是有理数域上次数大于零的多项式且不能表示成有理数域上两个次数比它低的多项式的乘积，则f(x)称为有理数域上的不可约多项式。3.有理数域上不可约多项式的判定方法3.1 Eisenstei睢U别法1在高等代数中，Eisenstein判别法是最为经典和著名的，也是现行有理数域上不可约多项式判定判定方法中最为实用的。而人们长久以来的研究衍生出了许多不同的方法。3.1.1 直接

7、判别法2定理3.1.1设f(x)=anxn+a0是-一个整系数多项式，其中n之1,设存在一个素数p,使得p不整除an,p整除ai(in)但p2不整除ao,那么多项式f(x)在有理数域上不可约。3.1.2 间接判别法对于分圆多项式不能直接应用Eisenstein判别法，可以做适当的变形之后便可以应用了。在学习的过程中，面对此类问题，因为其系数较高，不能用定义法去判定。我们所学的也只有Eisenstein判别法，但不能直接运用。考虑到多项式的等价，对多项式我们可以做适当代换x=ay+b,这样产生了Eisenstein判别法的间接判别法。定理3.1.2有理系数多项式f(x)在有理数域上不可约的充分必

8、要条件是：对于任意的有理数a#0和b,多项式f(ax+b)在有理数域上不可约。例1证明f(x)=攵+在Q上不可约。证明：f(x1)=(x1)41=x44x36x24x2取p=2,则p不整除1,p整除4,6,2,p2不整除2由Eisenstein判别法知f(x+i)在Q上不可约，因此f(x)在Q上不可约。3.1.3 其他派生出的判别法这种由Eisenstein判别法派生出的方法与Eisenstein判别法相类似，能够用来判定Eisenstein判别法所不能判定的一类有理数域上的不可约多项式。定理3.1.3设f(x)=%xn+%二xn+ax+a是一个整系数多项式，如果存在一个素数P,使P整除常数项

9、a。但整除其他各项系数且p2不整除最高次数项系数，那么多项式在有理数上不可约。例2下列多项式在有理数域上是否可约？x2+1；(2)x48x3+12x2+2；x6+x3+1xP+px+1,p为奇素数；(5)x4+4kx+1,k为整数.解：(1)令*=丫+1,则有g(y)=f(y1)=(y1)21=y22y2取素数P=2,由于21,2|2,但是222故由Eisenstein判别法可知，g(y)在有理数上不可约，从而f(x)=x2+1在有理数域上也不可约。(2)取素数p=2,则21,2|-8,2|12但是222故由Eisenstein判别法可知，该多项式在有理数域上也不可约。(3)令x=y+1,代入

10、f(x)=x6+x3+1，得g(y)=f(y1)=y66y515y421y318y29y3取素数p=3。由于31,3|6,3|15,3|21,3|18,3|9,3|3，但是323,故由Eisenstein判别法可知，g(y)在有理数上不可约，从而f(x)在有理数域上也不可约。令x=y-1，代入f(x)=xp+px+1，得g(y)=f(y-1)=yp-C；ypiCpyp-Hl-Cp)y2Cpppy-p由于p是素数，且p|1,p|cp,(i=1,2,111,p-2)p|(c+p)p2|p,故由Eisenstein判别法可知，g(y)在有理数上不可约，从而f(x)在有理数域上也不可约。(5)令*=丫

11、+1,代入f(x)=x4+4kx+1,得g(y)=f(y1)=y44y36y2(4k4)y4k2取素数p=2,由于21,又2|4,2|6,2|(4k+4),2|(4k+2),但22(4k+2),故由Eisenstein判别法可知，g(y)在有理数上不可约，从而f(x)在有理数域上也不可约。3.2 Kronerker判别法2定理3.2.1设f(x)wQlxl,这里Q为有理数域。则在有限步下f(x)能分解成不可约多项式的乘积。(只考虑整系数多项式的情形)例3证明f(x)=x5+1在Q上不可约。5-证明：s=21+|au|+|a心|+1al|+|a|,则f(x)在Q上不可约。例4证明f(x)=x5+

12、4x4+x2+1在Q上不可约证明：该题不满足艾森斯坦判别法，但其为整系数多项式，满足Perron判别法的条件，由题意可知41+1,所以据Perron判别法可知该多项式在Q上不可约。3.4 Brown判别法3定理3.4.1设f(x)是n次整系数多项式，令S(f)-|f(-1)|,|f(0)|,f(1)N1表示S(f)中1的个数，Np表示S(f)中的素数的个数，如果Np+2N1An+4,则f(x)在Q上不可约。例5证明f(x)=2x3-x2+x-1在Q上不可约证明：f(0)-1,f(1)=1,f(-1)=-5,f(2)=13,f(-2)-23,f(3)=47二Np4,Ni至2故Np+2Ni84+3

13、所以多项式在Q上不可约。3.5 多项式无有理因式判别法7定理3.5.1设“刈=%+a乂+小乂是一个整系数多项式，若f(x)没有次数小于和等于r的有理因式，并且存在素数p,使：(1) p至少不整除ana、为一中的一个(2) p|a,i=0,1,2,n-r-1(3) p2|a0那么，f(x)在有理数域上不可约。定理3.5.2设(刈=%+2由+,-+2+0是一个整系数多项式，若f(x)没有次数小于和等于r的有理因式，并且存在素数p,使：(4) p至少不整除比昌，中的一个(5) p|ai，i=r1,r2,np2|an那么，f(x)在有理数域上不可约。这种方法在应对没有不小于二次的有理因式的判定时，因为

14、其需要计算机计算来得到，所以在此种情况下，没有克罗奈克的方法更加的简便。3.6 模p约化处理判定法网定理3.6.1f(x)=a0+ax+anxnwZx(an=0,n之2),p是素数，p|an山p|a0,a，,an/,p2Ia0,pfanb,其中blaan,则f在Qx中不可约。p定理3.6.2f(x)=a0+&x十十anxnwZx(an#0,nA2),p是素数，p旧，p|a?,an,p2|3,pfai-b,其中blaan,则f(x)在Qx中不可约。p定理3.6.3f(x)=a0+&x+anxnwZx(an=0,n之2),p是素数，p|(0jn),p|a0,ai,aaj+，斯，p2a。,an,p|

15、a1-b其中bjaan,则f(x)在Qxp中不可约。定理3.6.4f(x)=a0+a1x十一十anxnwZx(an#0,n23),p是素数，1in-2,p信目由，pMa,a山2世，耳也,an,p2|a0,an,p|aha9-b,其中b|a4n,f(x)无理想根，则f(x)在Qx中不可约。p例6判断以下多项式在Qx中是否可约：(1)fi(x)=5xn7xn-1-22(n.2);(2) f2(x)=7xn2000x57(n-6);(3) f3(x)=597x992008x1005xn(n100).解：(1)11|an=7,11|a0,a1,a_,1121a0=22,11|7b其中b|51(-22)

16、=_10，由定理2.5.1,f1(x)在Qx中不可约.11(4) 71a5=2007,71a0,现刀2,a3,&,%,a7,an,7|2000-b其中b|竽=1,由定理2.5.3,f2(x)在Qx中不可约.(3)5|a=97,胡。=2008,5整除其余各项系数，52g=5a=5,5|97-b,2008-b,其中b|%n=1,因为fs(x)的系数全为正数,5所以f3(x)的有理根只可能为负数，设V,(U,V)=1,UA0,V1,那么称为f(x)的重因式。如果f(x)的标准分解式为f(x)=cp1r1(x)p2r2(x)Psrs(x)那么R(x),P2,(x)，,Pr(x)分别是f(x)的r1重，

17、2重，%重因式。定理5.1.2如果不可约多项式p(x)是f(x)的k重因式(k之1),那么它是微商f(x)的k-1重因式。推论5.1.3如果不可约多项式p(x)是f(x)的重因式，那么p(x)是f(x),f(x),f(x)的因式，但不是f(k)(x)的因式。推论5.1.4不可约多项式p(x)是f(x)的重因式的充分必要条件为p(x)是f(x)与f(x)的公因式。作为重因式的概念定义的基础，不可约多项式的应用从此可见一斑。5.2 不可约多项式在多项式互素中的应用定理5.2.1Px中两个多项式f(x),g(x)互素的充要条件是有Px中的多项式u(x),v(x)使u(x)f(x)+v(x)g(x)=

18、1。定理5.2.2如果(f(x),g(x)=1,且f(x)|g(x)h(x)，那么f(x)|h(x)。例7证明：如果(f(x),g(x)=1,(f(x),h(x)=1,那么(f(x),g(x)h(x)=1.解：假设(f(x),g(x)h(x)产1,则一定存在不可约多项式p(x)p(x)0使得p(x)|f(x)和p(x)|g(x)h(x)又因为p(x)不可约，则有p(x)|g(x)或p(x)|h(x)这样(f(x),g(x)尸1或(f(x),h(x)产1,与条件矛盾。所以(f(x),g(x)h(x)=1.7例8设fi(x),|,fm(x),gi(x),|,gn(x)都是多项式,而且(fi(x),

19、gj(x)=1(i=1,2,III，m;j=1,2,111,n)。求证：(fi(x),f2(x),II,fm(x),gi(x),g2,|,gn(x)=1。解：假设(f1(x),f2(x),|Hfm(x),g1(x),g2,|,gn(x)#1,则存在不可约多项式p(x)(a(p(x)0),使得p(x)|f1(x),f2(x)，川,fm(x)和p(x)|g1(x),g2(x),|,gn(x),又因为p(x)不可约，故存在i,j,使得p(x)|fi(x),p(x)|gj(x)则有fi(x),gj(x)=1这与条件矛盾，故(f1(x),f2(x),III,fm(x),g1(x),g2,|,gn(x)=1.8例9证明：如果(f(x),g(x)=1,那么(f(x)g(x),f(x)+g(x)=1。解：假设(f(x)g(x),f(x)+g(x),1,则存在不可约多项式p(x)(式p(x)0)使得p(x)|f(x)g(x)和p(x)|(f(x)+g(x)又因为p(x)不可约，则有p(x)|f(