2412_垂直于弦的直径(第1课时)20131010

1、 赵州桥原名安济桥，俗称大石桥，建于赵州桥原名安济桥，俗称大石桥，建于隋炀帝大业年间（隋炀帝大业年间（595-605595-605年），至今已有年），至今已有14001400年的历史，是今天世界上最古老的石拱年的历史，是今天世界上最古老的石拱桥。上面修成平坦的桥面，以行车走人桥。上面修成平坦的桥面，以行车走人. .赵州赵州桥的特点是桥的特点是“敞肩式敞肩式”，是石拱桥结构中最，是石拱桥结构中最先进的一种。其设计者是隋朝匠师李春。它先进的一种。其设计者是隋朝匠师李春。它的桥身弧线优美，远眺犹如苍龙飞驾，又似的桥身弧线优美，远眺犹如苍龙飞驾，又似长虹饮涧。尤其是栏板以及望栓上的浮雕。长虹饮涧。尤其

2、是栏板以及望栓上的浮雕。充分显示整个大桥堪称一件精美的艺术珍品，充分显示整个大桥堪称一件精美的艺术珍品，称得上是隋唐时代石雕艺术的精品。称得上是隋唐时代石雕艺术的精品。19911991年年被列为世界文化遗产被列为世界文化遗产. . 赵州石拱桥赵州石拱桥 1300 1300多年前多年前, ,我国隋朝建造的赵州石拱桥我国隋朝建造的赵州石拱桥( (如图如图) )的桥拱是圆的桥拱是圆弧形弧形, ,它的跨度它的跨度( (弧所对是弦的长弧所对是弦的长) )为为37.4m,37.4m,拱高拱高( (弧的中点到弦弧的中点到弦的距离的距离, ,也叫弓形高也叫弓形高) )为为7.2m,7.2m,求桥拱的半径求桥拱

3、的半径( (精确到精确到0.1m).0.1m).OAB24.1.2 垂直于弦的直径垂直于弦的直径 （垂径定理）（垂径定理） 理解垂径定理并灵活运用垂径定理及圆理解垂径定理并灵活运用垂径定理及圆的概念解决一些实际问题的概念解决一些实际问题 通过复合图形的折叠方法得出猜想垂径定通过复合图形的折叠方法得出猜想垂径定理，并辅以逻辑证明加予理解理，并辅以逻辑证明加予理解 渗透渗透“观察观察分析分析归纳归纳概括概括”的数学思想方的数学思想方法法 垂径定理及其运用垂径定理及其运用由此你能得到圆的什么特性？由此你能得到圆的什么特性？ 可以发现：可以发现：圆是轴对称图形。任何圆是轴对称图形。任何一条直径所在直线

4、都是它的对称轴一条直径所在直线都是它的对称轴 不借助任何工具，你能找到圆形不借助任何工具，你能找到圆形纸片的圆心吗纸片的圆心吗? ? 如图如图,AB,AB是是OO的一条弦的一条弦, , 直径直径CDAB, CDAB, 垂足为垂足为E.E.你能发现图中有那些相等的线段你能发现图中有那些相等的线段和弧和弧? ? 为什么为什么? ?OABCDE线段线段: AE=BE: AE=BE弧弧: AC=BC, AD=BD: AC=BC, AD=BD 垂直垂直于弦的直径于弦的直径平分平分弦，并且平分弦，并且平分弦所对的两条弧弦所对的两条弧 知识要点知识要点DOABEC已知：在已知：在 O中，中，CD是直径，是直

5、径，AB是弦，是弦， CDAB，垂足为，垂足为E求证：求证：AEBE，ACBC，ADBDDOABECAEBEACBCADBDCD是直径，是直径，AB是弦，是弦，CDAB直径过圆心直径过圆心垂直于弦垂直于弦平分弦平分弦平分弦所对的优弧平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧题设题设结论结论DOABEC将题设与结论调换将题设与结论调换过来，还成立吗？过来，还成立吗？ 这五条进行这五条进行排列组合，会出排列组合，会出现多少个命题？现多少个命题？ 直径过圆心直径过圆心 平分弦平分弦 垂直于弦垂直于弦 平分弦所对优弧平分弦所对优弧 平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧 （1）平分弦平分弦（不是直径）

6、的（不是直径）的直径直径垂直于弦垂直于弦，并且并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的两条弧DOABEC已知：已知：CD是直径，是直径，AB是弦，是弦，CD平分平分AB求证：求证：CDAB，ADBD，ACBC一个圆的任意两条直径总是互相平分，但它们不一定互相垂直因此这里的弦如果是直径，结论不一定成立OABMNCD注意注意为什么强调这里的弦为什么强调这里的弦不是直径不是直径？EDCOAB下列图形是否具备垂径定理的条件？下列图形是否具备垂径定理的条件？ECOABDOABc是是不是不是是是不是不是OEDCAB 1300多年前多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图如图)的桥拱是圆的桥

7、拱是圆弧形弧形,它的跨度它的跨度(弧所对是弦的长弧所对是弦的长)为为37.4m,拱高拱高(弧的中点到弦的弧的中点到弦的距离距离,也叫弓形高也叫弓形高)为为7.2m,求桥拱的半径求桥拱的半径(精确到精确到0.1m).37.4m7.2mABOCD关于弦的问题，常关于弦的问题，常常需要常需要过圆心作弦过圆心作弦的垂线段的垂线段，这是一，这是一条非常重要的条非常重要的辅助辅助线线。圆心到弦的距离、圆心到弦的距离、半径、弦半径、弦构成构成直角直角三角形三角形，便将问题，便将问题转化为直角三角形转化为直角三角形的问题。的问题。ABOCD解：解：如图，用如图，用ABAB表示主桥拱，设表示主桥拱，设ABAB所

8、在的圆的圆心为所在的圆的圆心为O O，半径为，半径为r.r.经过圆心经过圆心O O作弦作弦ABAB的垂线的垂线OCOC垂足为垂足为D D，与，与ABAB交于点交于点C C，则，则D D是是ABAB的中的中点，点，C C是是ABAB的中点，的中点，CDCD就是拱高就是拱高. . AB=37.4m AB=37.4m，CD=7.2mCD=7.2m AD=1/2 AB=18.7m AD=1/2 AB=18.7m，OD=OC-CD=r-7.2OD=OC-CD=r-7.2 222ADODOA2222 . 77 .18rr解得解得r=27.9r=27.9（m m）即即主桥拱半径约为主桥拱半径约为27.9m.

9、27.9m.E E1 . 如图，已知在如图，已知在 O中，弦中，弦AB的长为的长为8cm，圆心，圆心O到到AB的距离为的距离为3cm，求，求 O的半径。的半径。A AB B.O O达标测试达标测试解：连接OA，作OE2+OE2=52如图，在如图，在 O中，中，AB、AC为互相垂直且为互相垂直且相等的两条弦，相等的两条弦，ODAB于于D，OEAC于于E，求证四边形求证四边形ADOE是正方形是正方形DOABCE证明：证明： OEAC ODAB ABAC90 90 90OEAEADODA四边形四边形ADOE为矩形，为矩形，又又AC=AB11 22AEACADAB， AE=AD 四边形四边形ADOE为正方形为正方形.你你能能破破镜镜重重圆圆吗？吗？ABCmnO 作弦作弦AB、AC及它们的垂直平分线及它们的垂直平分线m、n，交于交于O点；以点；以O为圆心，为圆心，OA为半径作圆为半径作圆作法：作法：依据：依据： 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧所对的两条弧请围绕以下请围绕以下两两个个方面方面小结本节课小结本节课：1 1、从知识上学习了什么、从知识上学习了什么？、从方法