第5章 刚体力学(转动动能)02

1、刚体力学刚体力学5.3 刚体的基本运动形式刚体的基本运动形式一、刚体的平动一、刚体的平动: 在运动过程中刚体上的任在运动过程中刚体上的任意一条直线在各个时刻的位置意一条直线在各个时刻的位置都相互平行都相互平行.任意质元运动都代表整体运动任意质元运动都代表整体运动刚体的运动形式：平动、转动刚体的运动形式：平动、转动 . 刚体平动刚体平动 质点运动质点运动 刚体：刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体 . （任意两质点间距离保持不变的特殊质点组）（任意两质点间距离保持不变的特殊质点组）二、刚体的定轴转动二、刚体的定轴转动 刚体所有质元都绕一固定直

2、线刚体所有质元都绕一固定直线（定轴）（定轴）做圆周运动做圆周运动.定轴转动的特点：定轴转动的特点： (1) 线量不同，但角量相同。线量不同，但角量相同。(2) 角速度矢量角速度矢量 的方向均沿轴线。的方向均沿轴线。 刚体的一般运动刚体的一般运动 质心的平动质心的平动绕质心的转动绕质心的转动+用角量描述转动用角量描述转动1) 角位移角位移 : 在在 t 时间内刚体转动角度时间内刚体转动角度2)角速度角速度 : 0limtt 3)角加速度角加速度 :0limtt z刚体定轴转动刚体定轴转动角速度角速度 的方向：的方向：按右手螺旋法则确定按右手螺旋法则确定ddtddt22ddtrva切向分量切向分量

3、 ddddtarrttv法向分量法向分量 22narrvzvOP线量与角量关系线量与角量关系rddSrddS匀变速直线运动匀变速直线运动ddtddtddStvddatv0atvv2012Statv2202aSvv匀变速定轴转动匀变速定轴转动0t2012tt2202例例 在高速旋转的微型电机里，有一圆柱形转子可绕垂在高速旋转的微型电机里，有一圆柱形转子可绕垂直其横截面通过中心的轴转动直其横截面通过中心的轴转动 . 开始时，它的角速开始时，它的角速度度 ，经，经300s 后，其转速达到后，其转速达到 18000rmin-1 . 已知转已知转子的角加速度与时间成正比子的角加速度与时间成正比 . 问在

4、这段时间内，转子转问在这段时间内，转子转过多少转？过多少转？00解解 由题意，令由题意，令 ，即，即 ，积分，积分 ctcttddtttc00dd得得221ct当当t=300s 时时112218000r min600rad sn所以所以3322srad75srad30060022tc转子的角速度转子的角速度2212150ctt由角速度的定义由角速度的定义2dd150tt得得200dd150ttt有有3450t在在 300 s 内转子转过的转数内转子转过的转数43103)300(45022N32srad)75(2tc5.45.4 刚体定轴转动动能刚体定轴转动动能 转动惯量转动惯量iriOzimi

5、v质元质元mi 动能为：动能为：212kiiiEmv21()2iiimr221()2i iimr212J212ikiiEmv整个刚体的动能整个刚体的动能212kEJ刚体的刚体的转动动能转动动能2i iiJmr刚体刚体对转轴对转轴的的转动惯量转动惯量一、刚体定轴转动动能一、刚体定轴转动动能 转动惯量的物理意义转动惯量的物理意义:1. 刚体转动惯性大小的量度刚体转动惯性大小的量度2. 转动惯量与刚体的质量有关转动惯量与刚体的质量有关3. J 在质量一定的情况下与质量的分布有关在质量一定的情况下与质量的分布有关4. J 与转轴的位置有关与转轴的位置有关2jjjrmJ二、刚体的转动惯量二、刚体的转动惯

6、量转动惯量的计算方法：转动惯量的计算方法： 质量离散分布刚体质量离散分布刚体2j jjJm r221 12 2mrm r对质量连续分布刚体对质量连续分布刚体2dJrm线分布线分布 ddmx面分布面分布ddmS体分布体分布ddmV哪哪种种握握法法转转动动惯惯量量大？大？设一均匀细棒长设一均匀细棒长 l 质量为质量为 m odxxxZ 1ddmxddmx线密度线密度lm122221d12llZJxxml22201d3lzJxxml12zzJJ dx oZ 2l2l2l例例:匀质圆盘绕垂直于盘面通过中心轴的转动惯量匀质圆盘绕垂直于盘面通过中心轴的转动惯量解解:圆盘半径为圆盘半径为 R, 2mR2dz

7、Jrm2drs202 dRrr r3202dRmrrR221mR总质量为总质量为 m .质量面密度质量面密度例例:匀质圆环通过中心轴的转动惯量匀质圆环通过中心轴的转动惯量 如下图如下图:ZRdm2dzJRm2dRm2mR解解:zRrdrdmdSm均匀圆环绕垂直于圆面通过圆心的轴均匀圆环绕垂直于圆面通过圆心的轴2JmR均匀球绕直径的转动惯量均匀球绕直径的转动惯量225JmR均匀薄球壳绕直径的转动惯量均匀薄球壳绕直径的转动惯量223JmR均匀圆盘绕垂直于盘面且通过中心的轴均匀圆盘绕垂直于盘面且通过中心的轴212JmR 有关转动惯量计算的几个定理有关转动惯量计算的几个定理平行轴定理平行轴定理2mhJ

8、Jczzh式中式中: 关于通过质心轴的转动惯量关于通过质心轴的转动惯量cJm 是刚体质量是刚体质量, h 是是 c 到到 z 的距离的距离zJ是关于平行于通过质心轴的一个轴的转动惯量是关于平行于通过质心轴的一个轴的转动惯量C转动惯量叠加转动惯量叠加, 如图如图ACzCBAzJJJJ式中式中: 是是A 对对z 轴的转动惯量轴的转动惯量AJBJ是是B 棒对棒对z 轴的转动惯量轴的转动惯量cJ是是C 球对球对z 轴的转动惯量轴的转动惯量B回转半径回转半径任意刚体的回转半径任意刚体的回转半径 mJRG式中式中: J 是刚体关于某一轴的转动惯量是刚体关于某一轴的转动惯量, m 是刚体的质量是刚体的质量)

9、 (2GRmJ O2zGR2l2312mlJZmJRZG2例例:73.1312lmmlG 不是质心不是质心CG例例: 从一个半径为从一个半径为 R 的均匀薄圆板上挖去一个半径为的均匀薄圆板上挖去一个半径为 R/2 的圆板，的圆板，所形成的圆洞的中心在距圆薄板中心所形成的圆洞的中心在距圆薄板中心 R/2 处，所剩薄板的质量为处，所剩薄板的质量为 m 。求此时薄板对通过原中心与板面垂直的轴的转动惯量。求此时薄板对通过原中心与板面垂直的轴的转动惯量。解：解：ORR/2O半径为半径为 R 的大圆盘对的大圆盘对 O 点的转动惯量为点的转动惯量为222164)3(2121mRRmmMRJmmM31圆盘质量

10、面密度圆盘质量面密度由平行轴定理，半径为由平行轴定理，半径为 R/2 的小圆盘对的小圆盘对 O 点的转动惯量为点的转动惯量为222222243)2()2(21mRRmRmJ小圆盘面积的质量小圆盘面积的质量,312mm 总转动惯量总转动惯量2212413mRJJJ22234)2(RmRRm大圆盘面积的质量大圆盘面积的质量Pz*OMMFrd : 力臂力臂d1）刚体绕）刚体绕 O z 轴旋转，作轴旋转，作用力在刚体的转动平面内。用力在刚体的转动平面内。FrM 对转轴对转轴 Z 的力矩的力矩 FMsinFr5.5 力矩的功力矩的功 刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理一一 力对转轴的力矩力对转

11、轴的力矩 Fd大小：大小：方向：右手螺旋方向：右手螺旋zOMFrFFFzMrFsinMrFzFF 2）若力）若力 不在转动平面内，把力分解为平行和垂直于不在转动平面内，把力分解为平行和垂直于 转轴方向的两个分量转轴方向的两个分量 F3）合力矩等于各分力矩的矢量和）合力矩等于各分力矩的矢量和321MMMM 其中其中 对对转轴的力转轴的力矩为零矩为零(沿转轴的分量沿转轴的分量)，故故 对转轴的力矩对转轴的力矩zFF大小：大小：方向：右手螺旋方向：右手螺旋21AdM力矩的功力矩的功二二 力矩作功力矩作功 dAPdt三三 力矩的功率力矩的功率dA F drcos |FdrcosFrdcosMFrdAM

12、ddMdtOd rFvP|drM1）外力矩作功）外力矩作功2）内力矩作功（一对内力矩）内力矩作功（一对内力矩）1122dAM dMd1122fdrfdr221fdr刚体决定质元间相对位移为刚体决定质元间相对位移为0022211122AJJ四、刚体绕定轴转动的动能定理四、刚体绕定轴转动的动能定理合外力矩对绕定轴转动的刚体所作合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体转动动能的增量的功等于刚体转动动能的增量 .21dAM2121d()2J22211122JJ定轴转动动能定理定轴转动动能定理21dd()2MJddkAEdddAMFr合外力矩合外力矩M做的元功做的元功系统动能改变系统动能改变2211d

13、d()=d22kiiiEJmv力的空间累积效应力的空间累积效应 力的功力的功,动能动能,动能定理动能定理.力矩的空间累积效应力矩的空间累积效应 力矩的功力矩的功,转动动能转动动能,动能定理动能定理.根据动能定理根据动能定理21dd2iiiFrmv五五. 刚体的重力势能刚体的重力势能刚体的重力势能就是它的各质元重力势能之和。刚体的重力势能就是它的各质元重力势能之和。piiiEm ghmhmhiiic根据质心定义，刚体质心的高度应为根据质心定义，刚体质心的高度应为所以刚体势能写成所以刚体势能写成cpmghE 刚体的势能可看成是质量全部集中于质心时，质心具有刚体的势能可看成是质量全部集中于质心时，质

14、心具有的势能。的势能。iiigm h六六. 机械能守恒定律机械能守恒定律 对于定轴转动刚体，只有保守力做功时，机械能对于定轴转动刚体，只有保守力做功时，机械能保持不变。保持不变。恒量，pkEE即即.212恒量cmghJ212J221122cJmv2222111222 12/23cccmmlmlvvvmlcvc 0对对c点点例题例题. 刚体的势能等于刚体的势能等于如图所示，某人说：刚体如图所示，某人说：刚体的动能等于的动能等于212cmv你同意吗？你同意吗？cmgh【答答】2221 122 3/ 23ccmlmlvv22112 12ml221iiikvmE)()(21iciciikvvvvmEiiiiiiiciic