第六章 点的合成运动 - 副本

1、第六章 点的合成运动 本章重点：本章重点：1 1、动点、动系的选择、动点、动系的选择; ;运动分析；运动分析；2 2、点的速度合成定理、点的速度合成定理3 3、牵连运动为平动时点的加速度合成定理、牵连运动为平动时点的加速度合成定理第一节 相对运动、绝对运动和牵连运动第二节 点的速度合成定理第三节 牵连运动为平动时点的加速度合成定理第四节 牵连运动为转动时点的加速度合成定理 第一节第一节 相对运动、绝对运动和牵连运动相对运动、绝对运动和牵连运动一、引例一、引例 1、在不同的参考体中研究同一个物体的运动，看到的运动情况不同。2、同一个物体相对于不同的参考体的运动量之间，存在着确定的关系。动画演示动

2、画演示动画演示二、运动的合成与分解二、运动的合成与分解1. M：旋轮线=车：平动+M车：圆；2. M：螺旋线=圆盘：转动+M盘：直线；3. M：平面曲线 = 车：平动 + M车：直线可用合成运动的方法解决的问题，大致分为三类。将一种运动看作为两种运动的合成，这就是合成运动合成运动的方法。 （1）把复杂的运动分解成两种简单的运动，求得简单运动的运动量后，再加以合成。（2）讨论机构运动中有关联点的运动构件运动量之间的关系。 （3）研究无直接联系的两运动物体运动量之间的关系。 动画演示动画演示动画演示三、规定三、规定动点动点：所考察的点。静坐标系静坐标系Oxyz：固连于地球上的坐标系。 动坐标系动坐

3、标系Oxyz ：建立在相对于静系运动的物体上的坐标系。 静系一般可不画出来，动系也可不画，但一定要指明在哪个物体上建立动系。 动点、动系的选择原则是： （1）动点相对于动系有相对运动。（2）动点的相对轨迹应简单、直观。 绝对运动：绝对运动：动点相对于静系的运动。在静系中看到的动点的轨迹为绝对轨迹绝对轨迹。 相对运动相对运动：动点相对于动系的运动。在动系中看到的动点的轨 迹为相对轨迹相对轨迹。 牵连运动：牵连运动：动系相对于静系的运动。牵连运动牵连运动可以是平动、定轴转动或复杂运动。四、绝对运动和相对运动四、绝对运动和相对运动/取动、静两个坐标系， avaa 动点相对于静系Oxyz的运动，用绝对

4、矢径r、绝对速度绝对速度、绝对加速度绝对加速度来表示。 rvarv aaa动点相对于动系zyxO的运动，用相对矢径 、相对速度相对速度rrvra相对加速度相对加速度 来表示。、 kjiakjivkjirzyxzyxzyx rr 五五、牵连点、牵连运动牵连点、牵连运动牵连点：牵连点：某一瞬时动系上和动点相重合的一点。2e1e1e11e2e2e2牵连速度牵连速度ve：牵连点的速度。牵连加速度牵连加速度ae：牵连点的加速度。第二节第二节 点的速度合成定理点的速度合成定理e1r2a/MMMMMM11以t除等式的两边，tttMMMMMM10t10t0tlimlimlimreavvv由此可得点的速度合成定

5、理：2MM1MM作矢量、绝对位移、相对位移、MM分别表示动点的和牵连点的位移。并令t0，取极限，得解题方法：解题方法：1、几何法* 解速度三角形 ；2、解析法 取轴投影。解题步骤：解题步骤：1、取动点、动系；2、运动分析；3、作速度合成图；4、列出矢量式；5、求解未知数。12y例例6-1 机器安装在弹性基础上，按规律 ty0cos振动，式中 0、均为常量。机器中的飞轮D半径为r，以匀角速度 转动。当 时 ，轮缘上1、2两点在图示位置。求这两点在该瞬时相对于地面的速度。)2(0t解解 1. 取1、2两点为动点，机器为动系。2. 动点的绝对轨迹为平面曲线，相对轨迹为圆，牵连运动为平动。rv1r方向

6、向上； rv2r动系上各点的速度相同,ty00sin)2(0t0y 02e1e vv牵连速度方向向左。，vr1ve1沿铅直方向ve2vr2动画演示12yvr1ve1ve2vr23. 作出动点1、2的速度平行四边形， 1r1e1avvv01e1r1arvvvv a2 = v e2 + v r222o22r22e2arvvvrvv02r2earctanarctanva1va24.ODABuvavevr解解 1、取A为动点，杆OD为动系。2、A点的绝对轨迹为铅垂直线；点的绝对轨迹为铅垂直线； A点的相对轨迹为沿点的相对轨迹为沿OD的直线；的直线； 动系动系OD的牵连运动为绕轴的牵连运动为绕轴O的定轴

7、转动。的定轴转动。3、作动点的速度平行四边、作动点的速度平行四边形形reavvv4、 2245cosae vvluluOAve2222lbubvD2vD，方向如图所示。va= 例6-2 图示的摆杆机构中的滑杆AB以匀速u向上运动，铰链O与动画演示40o滑槽间的距离为l，开始时 ，试求 时摆杆OD上D点的速度的大小。AB 例例6-3 三角形物块以匀 v=1 cm/s 沿水平方向向右运动，活塞杆长l，沿铅直方向运动。开始时，活塞杆A端在最低点。试求活塞B端的速度。解解 1、取A为动点，三角块为动系。2、A点的绝对轨迹为铅垂直线； A点的相对轨迹为沿三角块斜边的直线； 动系的牵连运动为直线平动。3、

8、作动点的速度平行四边形reavvv4、 vevrva30taneavvBvvvv577. 030tanea动画演示例例6-4 已知定滑轮半径为R，以等角速度绕轴O顺时针方向转动，重物M铅垂下落，试求图示瞬时M相对于滑轮的相对速度。 rea3解解 1、取M为动点，滑轮为动系。2、动点的绝对轨迹为铅垂直线，相对轨迹为平面曲线，牵连运动为绕轴O的定轴转动。 3、作动点的速度平行四边形reavvv由余弦定理 cos2ae2a2ervvvvvROMvRv2ea605 . 03cos22RRR求得： Rv3r由正弦定理 sinsinervv9012332sinsinrevv由计算结果可知，图示瞬时v r沿

9、水平线方向。动画演示第三节第三节 牵连运动为平动时点的加速度合成定理牵连运动为平动时点的加速度合成定理/ear/设动点相对于动系沿相对轨迹C运动，动系 zyxO相对于静系Oxyz作平动， 由速 度合成定理 reavvv两端对时间求一阶导数，得 reavvveeaavvOOtztytxzyxddddddrkjikjiv reaaaa 由于三种加速度都可能有切向和法向两个分量，故用加速度合成定理解题时，常采用取轴投影的方法求未知量。投影时需注意：合矢量的投影等于各分矢量投影的代数和。/ear/rakji zyx vaAB 例例6-5 已知凸轮半径为R，以速度v，加速度a沿水平轨道运动，求图示瞬时杆

10、AB加速度。 解解：取A为动点，凸轮为动系reavvvvavevrve= v ，vr= ve/sin nrraaaaea ae= a ， arn =vr2/R 将矢量式向y轴投影-aasin= -aecos-arn aa= aAB =acot+v2/Rsin2 vaABaeartarnaay动画演示作速度图 60ABvAaA例例6-6小车以速度vA =0.2 m/s、加速度aA =0.2 m/s2向右移动，杆AB长0.7m，在A处与小车铰接，并在铅垂平面内摆动，该瞬时角速度，角加速度 rad/s12rad/s 2。试求此时点B的速度、加速度的大小。 解解 取B为动点，小车A为动系。 作速度图。

11、 reavvvvrve动画演示vam/s879. 0cos302re2r2eavvvvvm/s7 . 017 . 0rABvve= vA =0.2 m/sAB作加速度图， nyxrreaaaaaaaaeaayaaxarnart取投影轴x、y如图 2rra2rream/s 1.3130cos30sinm/s 1.0630sin30cosnynxaaaaaaa22r2rm/s7 . 0m/s4 . 1ABaABan2222a2aam/s69. 131. 106. 1yxaaaae= aA =0.2 m/s2，xyO1O2CD30例例6-7 图示的机构，已知O1A=O2B=r，且O1AO2B，杆O1

12、A以角速度、角加速度 绕O1轴转动，通过滑块C带动杆CD运动。求图示位置杆CD速度、 加速度。 解解 取C为动点，杆AB为动系。vAvrveva动画演示reavvvsin30 eavvrvvrvCD21 ae作速度图。reeaaaaan作加速度图。向 y 轴投影， sin30 cos30 aeneaaararaene 2)3(22123 22arrraO1O2CD30araetaenaayOrM第四节第四节 牵连运动为转动时点的加速度合成定理牵连运动为转动时点的加速度合成定理一、引例、引例一圆盘以匀角速度小球在圆盘上半径为 r 于圆盘运动，试求小球的加速度。绕轴O作定轴转动，的圆槽内以匀速vr

13、 相对取小球为动点，圆盘为动系。动点的相对轨迹为圆，牵连运动为定轴转动。任一瞬时，牵连速度 v e与相对速度v r 共线，小球的绝对速度的大小为一常数： rreavrvvvvrvevaaa动画演示度的大小为 ：rre2rr22r2aa22)(avarvvrrvrrva项是动系作转动时，牵连运动和相对运动互相影响所产生r2 v项，称为科氏加速度。OrMaraeaC小球的绝对运动是匀速圆周运动，绝对rreavrvvv轨迹是半径为 r 的圆。因此，小球绝对加速二、动系作定轴转动时点的加速度合成定理二、动系作定轴转动时点的加速度合成定理 1.动系转动时动系单位矢量对时间的导数动系转动时动系单位矢量对时

14、间的导数zyxOee设动坐标系以角速度绕定轴z转动，角速度矢为 ，/e/OkOrAr从固定点O作到点和到端点A的矢径和，由图可见OArrkOAOAvvrrk 因为 OOAArvrvee)(eeeOAOAOArrrrvvkkkeij、的导数与上式相似，合写为kkjjiieeeddddddttt该式称为泊桑公式泊桑公式。 /e/2、动系作定轴转动时点的加速度合成定理、动系作定轴转动时点的加速度合成定理设动点相对于动系 zyxO运动，相对轨迹为曲线C，动系 zyxO以角速度 e绕定轴转动，角速度矢为 ee，角加速度矢为 。ee/r/加速度可分别表为rveeeeeevra由速度合成定理 reavvv对

15、时间求一阶导数，得 reavvv取定轴和静系的z轴重合，牵连点的速度、reavvvrrveeereeeereee)(vvrvvrtztytxzyxddddddrkjikjiv tztytxddddddrkjiarerer)(vakjia zyx绝对加速度 rerea2vaaareC2va，令Creaaaaaee/r/3、科氏加速度 reC2vaeCrrCeCerCa的大小为 sin2reCva 方向垂直于 和 组成的平面，由右手法则确定。当vr和erve垂直时，用代数量表示e, vr在e所在的平面上，将vr按照e的转向转90，即为aC的方向。zyxzyxvvvrrreeeC2kjia 将求 矢

16、积的运算式写成行列式的形式，即 Ca0Ca情况：(1) 时。此时动系作平动。0e(2) 时。即某瞬时的相对速度为零。0rv(3) 时，此时 。 erv0sinreC2va 例例6-8 曲杆OAB绕轴O转动，使套在其上的小环M沿固定直杆OC滑动， 如图所示。已知曲杆的角速度 ，且OA和AB100mmrad/s 0.5OA，垂直。求 60时小环M的速度和加速度。动画演示解解 (1) 取小环M为动点， 曲杆OAB为动系。(2)求速度reavvvmm/s100cos60eOAOMvmm/s2 .17360tan10060tanea vvmm/s20030sinervvOCMBevavrv(3)求加速度

17、Creaaaaa2rC22emm/s2002mm/s50vaOMa取 轴垂直于 ，将加速度矢量式向 轴投影，得 ra2CeaCeamm/s35060cos60cos60cosaaaaaaOCMBeaaaraca 例例6-9 求例2中D点的加速度。 Creeaaaaaan ，将加速度合成定理向垂直于 0aaraCe0aa 解解 取A为动点，杆OD为动系，2245cosaervvvluOAve2的 轴投影，得OABDneaearaCa45作加速度图2rC22 22222ululuva22CCe2luOAaOAaa 负号说明杆OA的角加速度的方向与图设方向相反，即为顺时针。2222242lbubalbubanDD22222245144)()(lbulbuaaanDDDD点的加速度Ce0aa OA