实变函数期中辅导

1、实变函数期中辅导一、集与点集1.证明集合等式的方法方法方法1 （直接法）要证等式A=B，只要证 且 ，即要证明当 时， ；当 时 .方法方法2 要证等式A=B，运用集运算规则恒等地变换A（或B），直到最终将它变换为B（或A）；或者，同时变换A和B，直到将它们变为同一个集C.例1 求证证法1 设 左端，则 且 ，于是 且 ，从而 且 ，故 右端.ABBAxAxByByA()()()()A BC DACBDxxxA BxC D,xA xC,xB xDxACxBD反之，设 右端，则 且 ，于是 且 ，从而 且 ，故 左端.所以等式成立.方法2 由如下的一串演算完成证明：左边 =右边.2.求集合分解式

2、.在集论的应用中，集运算的作用通常在于：可通过集运算将一给定的集表示为一些较简单的或具有给定性质的集的分解式.一般的模式是：为求得集A的分解式，首先应将事件 分解成某些更简单事件的逻辑组合，从而得出一个包含符号 的逻辑式；然后将逻辑式转化为与之等价的集运算式，要注意符号 分别对应集合的交与并xxxACxBD ,xA xC,xB xDxA BxC D()()()()()()()()cccccABCDACBDACBDACBDxA, , 运算.例2 用集 表示出集 .解 由 的意义，有故( ,)nknAfkn kNnAf ( )nfx 110,:( ),:( ),:nnnknkkmn mxAbmNn

3、m fxbkNmNnm fxkkNmNnm xAxA _1limnknkAA二、测度设 是给定的测度空间，反复应用测度的完全可加性（等式）、单调性与次可加性（不等式）、连续性（极限性），可以推出有关测度的各种结论.例3 设 ，求证证明 关键在于利用条件 .因为 ，所以结论成立. ( , ) 1,nnnAA _(lim)0nnA0()kk nAn _0(lim)()0nkknk nk nAAA关于 测度问题，最常用的结论是：一维开集的测度是其构成区间长度之和；可数集是零测集；零测度的开集是空集； 测度的逼近性质使有关 测度的问题可能转化为开集或闭集的测度问题，使问题简化.例4 设 ，则对任何闭集

4、 ，有 .证明 因 ，所以只要证明：若 ，则必有 .因 是开集，若 ，则 必为空集，从于是 ，故 F=R ，因此 ， ， 所以结论成立.LebesgueLebesgueLebesgue221:,(,)nnnnQrnNGrnrnFR()0m G F()( )( )m G Fm G Fm F G()0m G F ()0m F G G FGF()0m G F G FRQGFF()()0m F Gm R GmRmG 三、可测函数1.判定函数的可测性方法方法1（直接法）利用可测函数的定义或等价条件，要注意充分使用集分解技术.方法方法2 将函数 表示为某些已知可测函数的“组合”（包括和差积商运算、最大值最

5、小值运算、极限运算等），充分利用可测函数的运算不变性.例5 设 .有限， ，则 .证法证法1 （直接法）（直接法）因 有限，所以 有 定义.不妨设 处处有限，对 ，因 为连续函数，所以 为R中闭集.由于 的可测性，所以 为可测集，故 .( )f x( ) .fMae( )gC R( )gfM( ) . .f x ae( ( ) . .g f x ae( )f xR( )g xBg1111(, (, fgfB( )Mf证法证法2 由于 为可测函数，所以存在简单函数列 ，使 .因 连续，故 .显然 也为简单函数，故 .例5表明，连续函数与可测函数的复合函数是可测函数.因此，若 ，则 等都是可测函数

6、.2.依测度收敛的问题按定义来判定依测度收敛是可能的选择之一，但有时较复杂.事实上，主要利用“依测度收敛序列必包含几乎处处收敛子列”这个结论.例6 设 ，求证证明 本题若是用定义直接证明很复杂.改用反证法.若结论不真，则对某个 ，有 不趋近于零nfnfgngg fng( )M( )fM1(0),ln(1),(1)pfpff,nff (0)ppnffp 0ppnff从而存在 及 ，使因 ，所以 ，从而序列 必包含几乎处处收敛子列，不妨设这个收敛子列就是 ，即 ，从而 ，但由于 ，所以 ，这与 矛盾.012nn,1,2,kppnffknff knff 0kppnffknfknf, . .knff

7、ae, . .kppnffae kppnff 四、 积分1.判定函数的可积性要判定一个可测函数 可积，只要验证以下条件之一成立：（1）可求得 ，使 .（2）（对于 的情况） 有界.（3）可求得有限和分解式 ，使每个（4）可求得级数分解式 ，使（5）（对于 且 的情况） 积分 LebesguefgLfg f1niiffifL1nnfu1nnu d nRmRiemannf dx （6）例7 设 在 可微，求证证明 显然 在R上可测，由 在 可微且 可知，存在充分小的 ，使 在 上有界，从而 在 上 可积.当 时， 故 在 上 可积，利用积分的完全可加性，所以 .f d ( ),(0)0,( )fL

8、 Rff x0 x 1( )( )xf xL R1( )xf x0 x 1( )xf x1( )xf x( )f x(0)0f0,0)(0, , xLebesgue11( )( )xf xf x, R 1( )xf xLebesgue1( )( )xf xL R2. 定理 、 定理和控制收敛定理的应用.例8 求解 展开被积函数后利用 定理逐项积分原式LeviFatou101ln(1)1pxdx pxx Levi11000012001lnln11()npnpnnnpnnxxdxxxdxxdxnpnp 例9 设 ，则证明 用反证法.若结论不真，由下极限的意义，则必有序列 ，使 .由 ，则 ，从而序

9、列 必包含几乎处处收敛子列，不妨设这个收敛子列就是 ，即 ，于是由 定理知 ，矛盾. ( ),nnfMff _limnnfdf d12nnlimknkfdf dnff knff , . .knff aeknfknfFatoulimknkfdf d例10 求解 以 记被积函数，显然 时， 当 时，当 时，令 ，则当 时，由 ，则 ，5220limsin1nn xxdxnx( )nfx0 x ( )0()nfxn 01x1222( )1nn xn xfxxnxnx3222( )nn xfxxn x1x 123,12,01( )xxxg xx0 x ( )( )nfxg x101( ),( )g x

10、 dxg x dx 0,gL于是由控制收敛定理知原式五、单调函数、有界变差函数、绝对连续函数的性质1.判定有界变差函数的问题.方法方法1 （直接法）（直接法）若能找到常数M，使对 的任何分割 ，都有 ，则有 .这里 是一个有限和式，对其进行估计通常较容易.方法方法2 利用等价条件： 是两增函数之差.例11 设是有限函数，则 . 0lim( )0nnfx dx , a b ix( )if xMfBV( )if xfBVfsup(),( )( )( , ),( )bannnMVffxf xxa bf x fBV证明 任取一个分割 ，有固定 ，令 ，得 .再注意到分割 的任意性，得 .2.判定绝对连

11、续函数的问题.方法方法1 （直接法）（直接法）从定义证明.但有时直接验证定义的条件不容易.方法方法2 利用如下两个结论：结论结论1 若 ，则不定积分 是 上的绝对连续函数，且 .fBV ix( )(),1,2,bkiakifxVfM k ixk ( )iif xM ix , gL a b( )( )xaf xg t dt, . .fg ae , a b结论结论2 对于 上的有限实函数 ，以下3个条件互相等价：（1）（2）存在 ，使（3） 在 上几乎处处可微， ，且成立 牛顿-莱布尼兹公式：例12 设 为单调增加的绝对连续函数， 是有限函数，则 且分析 本题要综合应用增函数的可微性、绝对连续函数的牛顿-莱布尼兹公式以及 定理.证明 由 单调增，有 .于是对 ，有 , a bfAC , a b , gL a b( )( )( )xaf xf ag t dt( )f x( ) , fxL a b( )( )( )xaf xf af t dt(1,2,)nfn ( )( )nf xfxfAC, . .nffaenfLevi0, .