物理方程(弹性)

1、土木工程与力学学院 罗文波弹塑性力学物 理 方 程：弹性土木工程与力学学院 罗文波弹塑性力学2n 应力只取决于应变状态，与达到该状态的过程无关 x= x( x， y， z，g gxy，g gyz，g gzx) y= y ( x， y， z，g gxy，g gyz，g gzx) . zx= zx ( x， y， z，g gxy，g gyz，g gzx) 土木工程与力学学院 罗文波弹塑性力学3n对于线性弹性材料，应力与应变是线性关系 x =c11 x+ c12 y+ c13 z+ c14g gxy+ c15g gyz+ c16g gzx y =c21 x+ c22 y+ c23 z+ c24g g

2、xy+ c25g gyz+ c26g gzx z =c31 x+ c32 y+ c33 z+ c34g gxy+ c35g gyz+ c36g gzx xy =c41 x+ c42 y+ c43 z+ c44g gxy+ c45g gyz+ c46g gzx yz =c51 x+ c52 y+ c53 z+ c54g gxy+ c55g gyz+ c56g gzx zx =c61 x+ c62 y+ c63 z+ c64g gxy+ c65g gyz+ c66g gzx 系数cmn共36个 取决于材料弹性性质，与坐标系选取有关土木工程与力学学院 罗文波弹塑性力学4n张量形式表示 ij =Cij

3、kl kl 其中Cijkl称为四阶弹性张量，共81个分量。 同样也取决于坐标系， 服从四阶张量的坐标变换定律n弹性张量的对称性 根据应力张量和应变张量的对称性 Cijkl= Cjikl ( -3*9) Cijkl= Cijlk( -3*9) 独立的分量也是36个。 81-3*9-3*9+3*3=36土木工程与力学学院 罗文波弹塑性力学5 （3）应变能存在，则弹性张量关于ij和kl也应对称 Cijkl= Cklij 独立的弹性常数共有21个n两种表示方式之间的关系 弹性系数c的下标 1、 2、 3、 4、 5、6 对应于张量C的指标11、22、33、12、23、31 例如： c11C1111 c

4、12C1122 c13C1133 c14C1112 n 弹性系数cmn也应具有对称性 cmncnm(6*6+6)/2=21土木工程与力学学院 罗文波弹塑性力学6材料对称性 n弹性对称面 与该面对称的两个方向具有相同的弹性关系 土木工程与力学学院 罗文波弹塑性力学7 zzyzxyzyyxxzxyx g gg gg g g gg gg g zzyzxyzyyxxzxyx 212121212121 zzyzxyzyyxxzxyx - - - g gg g g g g gg gg g zzyzxyzyyxxzxyx - - - 212121212121xyzyzxOO xxyxzyxyyzzxzyz设

5、xOy面为弹性对称面 i jij i i j jl l i jij i i j jl l土木工程与力学学院 罗文波弹塑性力学8n x =c11 x+ c12 y+ c13 z+ c14g gxy+ c15g gyz+ c16g gzx y =c21 x+ c22 y+ c23 z+ c24g gxy+ c25g gyz+ c26g gzx z =c31 x+ c32 y+ c33 z+ c34g gxy+ c35g gyz+ c36g gzx xy =c41 x+ c42 y+ c43 z+ c44g gxy+ c45g gyz+ c46g gzx yz =c51 x+ c52 y+ c53

6、z+ c54g gxy+ c55g gyz+ c56g gzx zx =c61 x+ c62 y+ c63 z+ c64g gxy+ c65g gyz+ c66g gzxn x =c11 x+ c12 y+ c13 z+ c14g gxy- c15g gyz- c16g gzx y =c21 x+ c22 y+ c23 z+ c24g gxy- c25g gyz- c26g gzx z =c31 x+ c32 y+ c33 z+ c34g gxy- c35g gyz- c36g gzx xy =c41 x+ c42 y+ c43 z+ c44g gxy- c45g gyz-c46g gzx -

7、 yz =c51 x+ c52 y+ c53 z+ c54g gxy- c55g gyz- c56g gzx - zx =c61 x+ c62 y+ c63 z+ c64g gxy- c65g gyz- c66g gzxC15= C16 =0C25= C26 =0C35= C35 =0C45= C46 =021-8=13个弹性常数个弹性常数土木工程与力学学院 罗文波弹塑性力学9 x =c11x+ c12y+ c13z+ c14gxy y =c12x+ c22y+ c23z+ c24gxy z =c13x+ c23y+ c33z+ c34gxy xy =c14x+ c24y+ c34z+ c44

8、gxy yz = c55gyz+ c56gzx zx = c56gyz+ c66gzx土木工程与力学学院 罗文波弹塑性力学10 zzyzxyzyyxxzxyx g gg gg g g gg gg g zzyzxyzyyxxzxyx 212121212121 xxyxzyxyyzzxzyz11 - -2211- 2211- 22xxyxzyxyyzzxzyzggggggxyzO xxyxzyxyyzzxzyz若yOz面也为弹性对称面 i jij i i j jl l i jij i i j jl lyzxO土木工程与力学学院 罗文波弹塑性力学11x =c11x+ c12y+ c13z+ c14g

9、xyy =c12x+ c22y+ c23z+ c24gxyz =c13x+ c23y+ c33z+ c34gxyxy =c14x+ c24y+ c34z+ c44gxyyz = c55gyz+ c56gzxzx = c56gyz+ c66gzxx =c11x+ c12y+ c13zc14gxyy =c12x+ c22y+ c23z c24gxyz =c13x+ c23y+ c33z c34gxy-xy =c14x+ c24y+ c34z c44gxyyz = c55gyz c56gzx-zx = c56gyz c66gzxC14= C24 =C34= C56 =013-4=9个弹性常数个弹性常

10、数土木工程与力学学院 罗文波弹塑性力学12 zzyzxyzyyxxzxyx g gg gg g g gg gg g zzyzxyzyyxxzxyx 212121212121 xxyxzyxyyzzxzyz11 - 2211- - 2211 - 22xxyxzyxyyzzxzyzggggggxyzO xxyxzyxyyzzxzyz若xOz面同时也为弹性对称面 i jij i i j jl l i jij i i j jl lyzxO土木工程与力学学院 罗文波弹塑性力学13x =c11x+ c12y+ c13zy =c12x+ c22y+ c23zz =c13x+ c23y+ c33zxy =c4

11、4gxyyz = c55gyzzx = c66gzxx =c11x+ c12y+ c13zy =c12x+ c22y+ c23zz =c13x+ c23y+ c33z-xy =- c44gxy-yz = -c55gyz zx = c66gzx弹性常数的个数不变化，仍然为弹性常数的个数不变化，仍然为9个个土木工程与力学学院 罗文波弹塑性力学14n正交各向异性材料 具有三个相互正交的弹性对称面。独立弹性常数减少到9个 x =c11 x+ c12 y+ c13 z y =c12 x+ c22 y+ c23 z z =c13 x+ c23 y+ c33 z xy = c44g gxy yz = c55

12、g gyz zx = c66g gzx 各种增强纤维复合材料和木材等属于这类材料设xOy面、yOz面面、xOz面为弹性对称面9个弹性常数！个弹性常数！土木工程与力学学院 罗文波弹塑性力学15横观各向同性材料 存在一个弹性对称轴，在垂直该轴的平面内材料各向同性。n设z轴为弹性对称轴 ，将x，y轴互换时，材料弹性关系不变，则 c11=c22， c13=c23， c55=c66n将坐标系绕z轴旋转450，剪切应力应变关系不变， c44=(c11 c12)/2 x =c11 x+ c12 y+ c13 z y =c12 x+ c11 y+ c13 z z =c13 x+ c13 y+ c33 z xy

13、 =1/2 (c11 c12) g gxy yz = c55 g gyz zx = c55 g gzx 独立的弹性常数减少到9-4=5个。例如：层状结构的岩体。土木工程与力学学院 罗文波弹塑性力学16各向同性弹性体 n广义Hooke定律 将x轴与z轴互换，或将y轴与z轴互换时，材料弹性关系不变， c11=c33， c12=c13， c55=c66=(c11 c12)/2 于是，独立的弹性常数减少到2个 x =c11 x+ c12 y+ c12 z y =c12 x+ c11 y+ c12 z z =c12 x+ c12 y+ c11 z xy =1/2 (c11 c12) g gxy yz =

14、1/2 (c11 c12) g gyz zx =1/2 (c11 c12) g gzx土木工程与力学学院 罗文波弹塑性力学17令 c12= ， c11 c12=2G 、G 称为 Lam 弹性常数 x=2G x + xy =Gg gxy y=2G y + yz = Gg gyz z=2G z + zx = Gg gzx = x + y + z 是体积应变 x =c11 x+ c12 y+ c12 z y =c12 x+ c11 y+ c12 z z =c12 x+ c12 y+ c11 z xy =1/2 (c11 c12) g gxy yz =1/2 (c11 c12) g gyz zx =1

15、/2 (c11 c12) g gzx土木工程与力学学院 罗文波弹塑性力学18n广义Hooke定律的张量形式 ij=kk ij +2G ij ij =Cijkl kl Cijkl=ij kl+G( ik jl+ il jk) 式中ij是二阶单位张量 某个面上的剪切应力为零时，剪应变也为零 应力的主方向与应变的主方向重合 x=2G x + xy =Gg gxy y=2G y + yz = Gg gyz z=2G z + zx = Gg gzx土木工程与力学学院 罗文波弹塑性力学19n体积应力与体积应变关系 将等式对应相加，可得平均应力与体积应变的关系： 3 0=(2G+3 ) 式中 0=( x+

16、y+ z)/3是平均应力。 0=K 式中 K = (3 +2G)/3 是体积变形模量。 kk= (2G+3 ) = 3K kk x=2G x + xy =Gg gxy y=2G y + yz = Gg gyz z=2G z + zx = Gg gzx土木工程与力学学院 罗文波弹塑性力学20n偏应力与偏应变关系 x=2G x + sx+ 0=2G(ex + )+ 将体应力与体应变关系代入： 3 0=(2G+3 ) sx=2Gex 同理可得： sy=2Gey sz=2Gez 同时， xy =Gg gxy yz = Gg gyz zx = Gg gzx 张量形式表示为 sij = 2Geij 可见，

17、在线弹性范围，偏应力只产生偏应变，即只产生形状改变， 体积应力只产生体应变，即只产生体积改变。31土木工程与力学学院 罗文波弹塑性力学21弹性常数之间的关系 单轴拉伸 使用物理关系，有： x = 2G x+ ( x+ y+ z) 0 = 2G y+ ( x+ y+ z) y = z 00000000 xij GGGxx)(32 )(Gxy23 0 = x =(2G+3 ) 土木工程与力学学院 罗文波弹塑性力学22 纯剪实验使用物理方程，xy = 2Gxy， G是剪切模量。G、K、E和共5个弹性常数，但只有2个独立)( 12EG)( 211E 0000000 yxxyijxyxyxyxyGg g

18、 2土木工程与力学学院 罗文波弹塑性力学23由应力表示应变 n正应力只产生正应变；剪应力只产生剪应变。n每个应变等于各个应力单独作用时产生的应变之和。 EEzyxx xyxyE g g12 EExzyy yzyzE g g12 EEyxzz zxzxE g g12ijkkijijEEv 1土木工程与力学学院 罗文波弹塑性力学24弹性应变能 n一维情况 一细长杆，长度L，横截面积S，两端受拉力P作用，伸长量为L， 外力功为由于应力 x=P/S， x= L/L，上式可写成 LLPdU0)( xxxdSLU0土木工程与力学学院 罗文波弹塑性力学25n单位体积的应变能W为n求应变能相对应变的偏导, 注意 x=2G x + xxWxxW xxxdSLUW0 xxxEW 21212xxW 土木工程与力学学院 罗文波弹塑性力学26n三维情况 考察微小六面体，作用的应力分量ij，由此产生的应变分量ij 各应力分量ij都只在指标与它相同的应变分量ij上做功，ij0ijijdA xyzyyzyxzyzxxyxzyzyxxzxz土木工程与力学学院 罗文波弹塑性力学27根据能量平衡，单位体积的应变能应是所以 dW=