平面图形的几何性质

1、第五章第五章 平面图形的几何性质平面图形的几何性质5-15-1 静矩和形心静矩和形心5-2 5-2 惯性矩惯性矩 惯性积惯性积 惯性半径惯性半径 5-3 5-3 平行移轴公式平行移轴公式 5-5 5-5 主惯性轴主惯性轴 主惯性矩主惯性矩 形心主惯性轴及形心主惯性轴及形心主惯性矩形心主惯性矩5-4 5-4 转轴公式转轴公式 拉压正应力拉压正应力ANdAA扭转切应力扭转切应力pITApdAI2应力的计算通常用要到构件截面的几何参数应力的计算通常用要到构件截面的几何参数5-15-1 静矩和形心静矩和形心一、静矩一、静矩oyzyz AydAzS AzdAyS量纲：长度三次方量纲：长度三次方dA微面积

2、对z轴的静矩：ydA微面积对y轴的静矩：zdA整个平面图形对z、y两轴的静矩：表明：平面图形对某一轴的静矩等于图形面积乘以相应的形心坐标。oyzC形心形心 C C 的坐标：的坐标：dAzdAASzydAydAASyzzyzASyyASz 若 和 ，则 和 。可见，若图形对某一轴的静矩等于零，则该轴必然通过图形的形心；反之，若某一轴通过形心，则图形对该轴的静矩等于零。0zS0yS0z0y三、组合图形的静矩和形心三、组合图形的静矩和形心常见的一些组合图形常见的一些组合图形 整个图形对某一轴的惯矩静矩等于各个简单图形整个图形对某一轴的惯矩静矩等于各个简单图形对同一轴的静矩的代数和。对同一轴的静矩的代

3、数和。IIIIIIAAAA,11miiimiyiyzASSniiniiizAyAASy11niiniiiyAzAASz11,11miiimizizyASS例例1 1 求图示半圆形的形心位置z由对称性，只需求 。现取平行于y轴的狭长条作为微面积。zzzRzyAd2dd22302232d2dRzzRzAzSRAy3R4R21R32ASz23y5-2 5-2 惯性矩惯性矩 惯性积惯性积 惯性半径惯性半径 oyzyzdA一、惯性矩、惯性半径 Ay2dAzIA z2dAyI量纲：长度四次方量纲：长度四次方微面积对z轴的惯性矩：y2dA微面积对y轴的惯性矩：z2dA整个平面图形对z、y两轴的静矩： 工程上

4、，经常把惯性矩写成图形面积与某一长度平方的乘积，即 或改写为2yyAiI2zzAiIAIiyyAIizzyizi式中， 、 分别称为图形对y轴和z轴的惯性半径，其量纲为长度。AAId2oyzyzdA 平面图形对坐标原点的极惯性矩：zyAAAAII AdyAdz AdzyAdI22222 图形对于任意一对互相垂直轴的惯性矩之和，等于它对该两轴交点的极惯性矩。 二、惯性积 oyzyzdA 平面图形对y、z两轴的惯性积：AyzAyIzd量纲：长度四次方量纲：长度四次方yz两个坐标轴中只要有一个轴为图形的对称轴，则图形对这一对坐标轴的惯性积等于零 例例2 2 求图示矩形的zyyzyzi ,i ,I ,

5、I ,IyzbhzdzcdAzIAy22233hhzb3121bhdAyIAz23121hbAIiyyAIizzh63b63AyzyzdAI0思考：bhyyI3121bh例例3 3 求图示圆形的zyyzyzi ,i ,I ,I ,IyzdAPdAI24321dpzyIIIzyII zyII pI214641d例例4 4 求圆环圆形的yzI ,I小大PPPIII44321321dD)(D441321Dd小大zzzyIIII)1 (64144DdDyz三、组合图形的惯性矩及惯性积 根据定义可知，组合图形对某坐标轴的惯性矩等于各个简单图形对同一轴的惯性矩之和；组合图形对于某一对正交坐标轴的惯性积等于

6、各个简单图形对同一对轴的惯性积之和。用公式可表示为 niiyzyzniizzniiyyIIIIII111式中， 、 、 分别为第个i简单图形对y轴和z轴的惯性矩和惯性积。 iyIizIiyzI5-3 5-3 平行移轴公式平行移轴公式 yczcyczcOyzzy已知已知: :,yzyzIII求求CzyyzCCCI ,I ,I解：解：, zzzC, yyyCdAyzCdAzIAy2dA)zz(AC2dAzdAzzdAzAACAC222CyIySz2Az2CyIAz20AzIICyy2AyIICzz2dAyzIAyzdA)yy)(zz(ACCdAzydAyzdAzydAzyAACACACC0AzyI

7、CCzyyczcyczcOyzzydAyzC0平行移轴公式平行移轴公式AzIICyy2AyIICzz2AzyIICCzyyz注意：注意：例例5 5：T T字形截面字形截面, ,求其对形心轴的惯矩求其对形心轴的惯矩。212211AAzAzAz02010020140002010080020140. m04670.46231m1069714002004670080140020121.ICy464232m10434m020100467002010121.ICyz4666m1012121043410697.ICy5-4 5-4 转轴公式转轴公式 oyzdAyzzyyzOyzzOy规定:角 从 到 逆时针

8、为正。2221cosIsin)II(Iyzzyzy2222sinIcosIIIIIyzzyzyz2222sinIcosIIIIIyzzyzyy转轴公式转轴公式: :constIIIIzyzysinzcosyysinycoszz解解:oyzAdAyzzyyzAydAzI2AdAyz2)sincos(AdAz22cosAyzdAcossin2AdAy22sin222sinIsinIcosIzyzy三角函数关系: 2cos121cos22cos121sin22sincossin22222sinIcosIIIIIyzzyzyyAzydAzyIAdAyzzy)sincos)(sincos(AdAyzco

9、ssin)(22AyzdA)sin(cos222cos2sin)(21yzzyIII例例6 6：求矩形对轴：求矩形对轴 、 的惯性矩和惯性积的惯性矩和惯性积 0y0z解:矩形对y、z轴的惯性矩和惯性积分别为 yz0y0z0ab123abIy123baIz0yzI 02222002242422220cosababbaab sinIcosIIIIIyzzyzyy 02222002242422220cosababbaab sinIcosIIIIIyzzyzyz022002242220sinababcosIsinIIIyzzyyzO 从本例的结果可知，当矩形变为正方形时，即在a=b时，惯性矩与角 无关

10、，其值为常量，而惯性积为零。这个结论可推广于一般的正多边形，即正多边形对形心轴的惯性矩的数值恒为常量，与形心轴的方向无关，并且对以形心为原点的任一对直角坐标轴的惯性积为零。 0讨论：当讨论：当a ab b时，结果如何？时，结果如何？ zyzyIIII0000yzI5-5 5-5 主惯性轴主惯性轴 主惯性矩主惯性矩 形心主形心主惯性轴及形心主惯性矩惯性轴及形心主惯性矩2221cosIsin)II(Iyzzyzy2222sinIcosIIIIIyzzyzyz2222sinIcosIIIIIyzzyzyy2222sinIcosIIIIIyzzyzyy02222cosIsinIIdIdyzzyyzyy

11、zIIItg2202222yzzyzyminmaxIIIIIII确定两个相差90度的角度9000,022210000cosIsin)II(Iyzzyzy主惯性轴：主惯性矩：惯性矩有极值，惯性积为零的轴。对主惯性轴的惯性矩称为主惯性矩。形心主惯性轴：形心主惯性矩：通过形心的主惯性轴称为形心主惯性轴。对形心主惯性轴的惯性矩。例例7 7：确定形心主惯性轴的位置，并计算形心主惯性矩确定形心主惯性轴的位置，并计算形心主惯性矩 120801010一、确定形心坐标zyO20mmy40mmz形心C坐标CzCyC二、确定图形对形心坐标yC、zC的惯性矩和惯性积45mm107832 .Icy45mm100031 .Icz45mm10739.Icczy三、求形心主轴位置及形心主惯性矩 cccczyzyIIItg220555100031107832107392.0931.6 .47206 .227或8 .2308 .113或确定两个互相垂直的坐标轴（形心主惯性轴）456252