专题1.3简单逻辑连接词、全称量词与存在量词(解析版)

1、第一篇集合与常用逻辑用语专题1.3简单逻辑连接词、全称量词与存在量词【考纲要求】1 . 了解逻辑联结词 或“且“非”的含义.2 .理解全称量词与存在量词的意义.3 .能正确地对含有一个量词的命题进行否定【命题趋势】1 .含有逻辑联结词的命题的真假判断，常结合函数、不等式、三角形问题等知识考查.2 .全称命题或特称命题的否定.3 .常以不等式、函数为载体判断命题真假，或已知命题真假求参数的取值范围【核心素养】本讲内容主要考查数学运算和逻辑推理的核心素养【素养清单？基础知识】1.简单的逻辑联结词(1)命题中的 且“或“非“？叫做逻辑联结词.用联结词 且"把命题p和命题q联结起来，得到复合

2、命题 p且q”，记作pAq；用联结词 或“把命题p和命题q联结起来，得到复合命题 p或q”，记作pVq；对命题p的结论进行否定，得到复合命题非p”，记作非p.? 且”的数学含义是几个条件同时满足，且”在集合中的解释为 燹集“；或”的数学含义是至少满足一个条件，或”在集合中的解释为 并集“；非”的含义是否定，非p”只否定p的结论，非”在集合中的解释为 补集”.? 命题的否定”与否命题”的区别(1)命题的否定只是否定命题的结论，而否命题既否定其条件，也否定其结论.(2)命题的否定与原命题的真假总是相对立的，即一真一假，而否命题与原命题的真假无必然联系.(2)命题真值表：pqpAqpVq非p真真真真

3、假假真假真真真假假真假假假假假真命题真假的判断口诀pVq一见真即真，pA q一见假即假，p与非p一真假相反.2 ,全称量词与存在量词量词名称常见量词全称量词所有、一切、任意、全部、每一个等？存在量词存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等？3.全称命题与特称命题命题名称命题结构命题简记全称命题对M中任区-个x,有p（x）成立.？ x e M , p(x)特称命题存在M中的一个x0,使p（x0）成立？x0CM, p(x0)4.全称命题与特称命题的否定命题命题的否定？ x e m , p(x)？x0C M,非 p(x0)？x0C M, p(x0)？x M ,非 p(x)【素养清单？常用结论

4、】含逻辑联结词命题真假的等价关系（1）pVq真? p, q至少一个真？（非p）A （非q）假.（2）pVq 假？ p, q 均假？（非 p）A （非 q）真.（3）pAq真? p, q均真？（非/（非4）假.（4）pA q假？ p, q至少一个假？（非p）V （非q）真.【真题体验】lx y 6, - 八 一1.（2019全国出卷文11）记不等式组i表小的平面区域为D.命题p:二（x, y）u D,2x + y9 ；命题2x-y -0q: "（x, y） D,2x , y, 12 .下面给出了四个命题p vqpvqp A-'q-八飞这四个命题中，所有真命题的编号是（）A.B.

5、C.D.【答案】A【解析】 p :三(x, y) w D,2x + y9为真命题，q ”(x, y) w D,2x + y, 12为假命题，所以pq为真，p八一1q为真， 一>pvq为假， 一pA一q为假。2. (2017全国I卷理3)设有下面四个命题pi：若复数z满足工CR,则zCR;Zp2：若复数z满足z2C R,则zC R；p3：若复数 zi, Z2满足 Ziz2c R,则 Zl="7；p4：若复数ze r ,则e e r .其中的真命题为()A .pi，p3B . pi ,p4C.p2，p3D .p2，p4【答案】B【解析】若复数 z满足LcR,则zC R,故命题pi为

6、真命题；zp2：复数z=i满足z2= - i R,则z?R,故命题p2为假命题；p3：若复数zi=i , z2=2i满足ziz2c R,但zi,2，故命题p3为假命题；p4：若复数zC R,则Z=z R,故命题p4为真命题.故选：B.3. (20i7山东卷)已知命题p： ?xC R, x2-x+ i>0;命题q：若a2<b2,则a<b.下列命题为真命题的是()A . pA qB . pA (?q)C. (?p)AqD. (?p)A(?q)【答案】B【解析】因为判别式 A= ( i)24= 3<0,又二次函数y=x2 x+i,其图象开口向上，所以 x2 x+i>0恒

7、 成立，所以p为真命题.对于命题q,取a=2, b=3,22<(3)2,而2>3,所以q为假命题，？q为真命题.因 此pA(?q)为真命题.故选B.4. (20i6浙江卷)命题？xC R, ?nCN*,使得n2”的否定形式是()A . ?xC R, ?nC N*,使得 n<x2B. ?xC R, ?nC N*,使得 n<x2C. ?xC R, ?nC N*,使得 nvx2D. ?xC R, ?nC N*,使得 nvx2【答案】D【解析】由于特称命题的否定形式是全称命题，全称命题的否定形式是特称命题，所以？xe R,?neN*,n牙2"的否定形式为 ？xCR,

8、?nCN*, nvx2”.故选D5. (2015全国出卷理3)设命题p： ?nC N, n2>2n,则p为()A. ?nCN, n2>2nB. ?nCN, nFC. ?nCN, n2wnD. ?nCN, n2=2n【答案】C【解析】命题的否定是：？nCN, n2w艺6. (2019 广州调考)四个命题：？xC R, x2- 3x+ 2>0 恒成立；？xCQ, x2=2;？xCR, x2+1=0; ?xC R,4x2>2x 1 + 3x2其中真命题的个数为()A. 0B. 1C. 2D. 4【答案】A【解析】 因为x23x+ 2>0, A= (-3)2-4X2>

9、;0,所以当x>2或x<1时，x23x+2>0才成立，所以为假 命题；当且仅当 x= ±2时，x2=2,所以不存在xCQ,使得x2 = 2,所以为假命题；对 ？xCR, x2+1wQ 所以为假命题；4x2(2x1 + 3x2)= x22x+1=(x 1)2>Q 即当 x= 1 时，4x2= 2x- 1 + 3x2成立，所以 为假命题.7.(2019唐山八中期末)若命题？xoCR, x2+(a1)%+1<0”是真命题，则实数a的取值范围是 . 【答案】(8, 1)U(3, +8)【解析】 因为命题？XoCR, x2+(a1风+1<0”等价于x2+(a

10、1)x0+1 = 0有两个不等的实根，所以 A= (a 一 1)2 - 4>0 ,即 a2一 2a 一 3>0,解得 a<一 1 或 a>3.【考法拓展？题型解码】考法一含有逻辑联结词的命题的真假判断解题技巧：判断含有逻辑联结词命题真假的步骤£即££|加更合5题的结届形最判断构最这个分越的每一个简革命题的真假性!例1 (1)(2017山东卷)已知命题p： ?xC R, x2x+1>&命题q：若a2<b2,则a<b.下列命题为真命题的是()A . pA qB . pA (?q)C. (?P)AqD. (?P)A(?q

11、)【答案】B【解析】因为判别式 A= (-1)2-4=- 3<0,又二次函数y=x2-x+ 1 ,其图象开口向上，所以 x2-x+ 1>0 恒成立，所以p为真命题.对于命题 q,取a = 2, b=3,22<( 3)2,而2> 3,所以q为假命题，？q为真 命题.因此pA(?q)为真命题.故选 B.(2)已知命题p1：函数y=2x 2 x在R上为增函数，p2：函数y=2x+ 2x在R上为减函数，则在命题q1：p1Vp2, q2： pAp2, q3： (?p1)Vp2, q，pA(?p2)中，真命题是()A. q1，q3B. q2，q3C. q1，q4D.中，q4【答案】

12、C【解析】因为y=2x在R上为增函数，y=-2 x=-在R上为增函数，故p1是真命题.y=2x+2 x在R上为减函数是错误的，故 p2是假命题.所以q1： pVp2是真命题，因此排除 B项和D项，q2： pp2是假 命题，q3： (?p)Vp2是假命题，排除 A项.故选C.考法二全称命题和特称命题归纳总结(1)全称命题和特称命题真假的判断方法：命题名称真假判断方法一判断方法二全称命题真所有对象使命题真否定为假假存在一个对象使命题假否定为真将称叩题真存在一个对象使命题真否定为假假所有对象使命题假否定为真(2)全称命题和特称命题的否定要注意以下两点：否定量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结

13、合命题的含义加上量词，再对量词进行否定;否定结论：对原命题的结论进行否定.【例2】(1)命题对任意xC R,都有x2>ln 2的否定为()A .对任意xCR,都有x2<ln 2B.不存在xC R,使得x2<ln 2C.存在 xo C R,使得 x0w ln 2D.存在 xoR,使得 x2<ln 2【答案】D【解析】按照 任意“改 存在“，结论变否定的模式，命题的否定为 存在x°C R,使得x2<ln 2(2)下列四个命题：pi： ?xOe(0, + 8),p2： ?x°C (0,1), logl xo>logl xo； 23p3： ?xC

14、(0, +8)logl x；P4： ?xe 0, 3) 2i< logl x.其中的真命题是()A. pi, P3C. p2, p3B. pi, p4D . p2, p4【答案】D【解析】对于p1，当x°C (0, + 00M，总有§)°>(3)0成立，故pi是假命题；对于p2,当x0= 2时，有1 = log1 = logl 3>iogl 2-成立，故p2是真命题；对于p3,结合指数函数y= g)与对数函数y= log! x在(0, + oo)上的图象，可以判断p3是假命题；对于p4,结合指数函数y=C)与对数函数y=iog1x性质可知，当xe

15、(0,时，0<0)<g：0= 1, log1 x>log1 3=1,所以 p4是真命题.故选 D.(3)已知命题 p： ?x>0,x+ 4K;命题q： ?xOe(0, + 8)2% =；则下列判断正确的是()x2A. p是假命题B. q是真命题C. pA(?q)是真命题D. (?p)Aq是真命题【答案】C【解析】当x>0时，x+ 4>rJx 4= 4, p是真命题；当x>0时，2x>1, q是假命题，所以pA (?q)是真命题,(? p) A q是假命题.考法三根据命题的真假求参数的取值范围 解题技巧：根据命题的真假求参数取值范围的解题策略(1)

16、含有逻辑联结词的命题要先确定构成命题的(一个或两个)简单命题的真假，求出此时命题成立的参数的取值范围，再求出含逻辑联结词的命题成立的参数的取值范围.(2)与全称命题或特称命题真假有关的参数的值或范围问题的本质是恒成立问题或有解问题.解决此类问题时，一般先利用等价转化思想将条件合理转化，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或范围.【例 3】 已知 f(x)=ln(x2+1), g(x)= m,若对？xi C 0,3 , ?X2 C 1,2,使得 f(x1)立刈，则实数 m 的取值范围是()A. 4，+B. 2，+ oo,:C. (-8, 1|D. -8, 2|

17、【答案】A【解析】当 xC0,3时，f(x)min=f(0)=0,当 xC 1,2时，g(x)min=g(2) = 4-m,由匐(x)min ,得 0m,所以mg.故选A(2)给定命题p：对任意实数x都有ax2+ax+1>0成立；q：关于x的方程x2-x+a=0有实数根，如果 pV q为真命题，pAq为假命题，则实数 a的取值范围为 .【答案】(8, 0)U C，4：a>°，【解析】当p为真命题时，对任意实数x都有ax2+ax+1>0成立？ a = 0或， 所以0与<4.当q为真命、A<0,题时，关于x的方程x2-x+ a=0有实数根？ A= 1-4a&

18、gt;Q所以a/因为pVq为真命题，pAq为假命题,所以p,q -真一假.所以若p真q假，则且吟'a<0或 aF所以；<a<4 ;若p假q真，则 a<0.故实数a的取值范围为(8, 0)U Q,【易错警示】 易错点 混淆 存在”与 任意”的含义【典例】 命题 存在xC 1,3,使exmw。是真命题，则 m的取值范围是 【错解】因为命题 存在xC 1,3,使ex 1 - mrc 0”是真命题，即m ex1成立，可使m满足(ex 1)max;又当x 1,3, 1 < ex- 1<e2因此只需e2.*昆淆 存在”与任意”的含义).【错因分析】 存在xC1,

19、3,使ex 1 -0”是真命题，即当xC1,3时，ex- 1能成立，这与恒成立不同，这里只需(ex 1)min即可.【正解】【答案】1, +2【解析】由题意，只需mn(eT)min,当xe 1,3, 1<e 1<2,因此只需m>1.【跟踪训练】 已知命题p： ?xCR, ax2+2x+ 1<0为真命题，则实数 a的取值范围是()A. 0,1)B. (8, 1)C. 1 , + 8)D. ( £ 1【答案】B【解析】命题？p： ?xC R, ax2+2x+ 1>0H a=0时，显然命题？p不真；awo时，命题？p为真的充要条件是a>0且A= 4 4a

20、WQ即aR1故？p为真时a的取值范围 A= 1,+8),故p为真时a的取值范围为？ra=( 8, 1).故选 B.【递进题组】1 . (2019衡水中学月考)命题p： ？xC R, sin xv 1;命题q：？xCR,cos xJ 1,则下列结论是真命题的是 ()A . pA qB. (?p) A qC. pV(?q)D. (?p)A(?q)【答案】B【解析】p 是假命题，q 是真命题，所以B 项正确2 .命题 函数y=f(x)(xC M)是偶函数”的否定可表示为()A . ?x°e M, f(-Xo) f(x0)B. ?x M , f(x)书x)C. ?x M , f(-x)=f(

21、x)D. ?xoCM, f(-xo) = f(xo)【答案】A【解析】y=f(x)(xC M)是偶函数？ xC M,有f(x) = f(x)成立，故其否定为？x°C M , f(x0)书xo).3.已知命题 q： ?xCR, x2>0,则()A .命题？q： ?xCR, x2w。为假命题B.命题？q： ?xCR, x2w。为真命题C.命题？q： ?xoC R, x0ko为假命题D.命题？q： ?xoCR, x2wo为真命题【答案】D【解析】？xCR, x2>0的否定为：？xoCR, x0WQ显然否定为真命题.4 .若命题？xoCR, x22%+mW0是假命题，则实数 m的

22、取值范围是 .【答案】（1, +8）【解析】由题意，知命题 ？xC R, x22x+m>0”是真命题，故 A=（ 2）24m<0,即m>1.5 . （2019巴蜀中学月考）已知命题p： ？xC 1,2 , x2力；命题q： ？xoCR, x0+2ax°+2 a= 0成立，若命题pAq是真命题，则实数 a的取值范围为 .【答案】（8, 2U1【解析】 若p是真命题，即a<x2） min, xC1,2,所以awi；若q是真命题，即x2+ 2ax0+ 2-a = 0有解，则A= 4a2- 4（2 - a）即a>l或a02.命题pAq是真命题，则 p是真命题，q

23、也是真命题，故有 a<- 2或a= 1.【考卷送检】一、选择题1. （2016浙江卷）命题？xCR, ?nCN*,使得n*”的否定形式是（）A . ?xC R, ?ne N*,使得 nvx2B. ?xC R, ?nC N:使得 nvx2C. ?xC R, ?ne N*,使得 nvx2D. ?xC R, ?ne N*,使得 nvx2【答案】D .4一 ，一“*【解析】由于特称命题的否定形式是全称命题，全称命题的否定形式是特称命题，所以？xC R, ?ne N ,na2”的否定形式为 ？xCR, ?nCN*, nvx2”.故选D.2. （2019北京朝阳期中）已知命题p： ?xC R,2x&

24、gt;0；命题q：在曲线y= cos x上存在斜率为 J2的切线，则下 列判断正确的是（）A. p是假命题B . q是真命题C. pA（?q）是真命题D. （?p）Aq是真命题【答案】C【解析】易知命题p是真命题，对于命题q,y'= sin x,设切点坐标为(x°,cos x。)，则切线斜率k= sin xo有2, 即不存在xoCR,使得一sin xo=12,所以命题q为假命题，所以？q为真命题，所以pA(?q)是真命题，故C 项正确.3. (2019忻州二中期末)已知命题p： x> 2是x2>4的充要条件，命题 q:若与 则a>b,那么()c cB. pA

25、q”为真A . pV q”为真D. p, q均为假【答案】A【解析】由已知得命题 p是假命题，命题 q是真命题，根据真值表可知A项正确.4,已知命题p： ?xoC R, tan x0= 1;命题q： ?xC R, x2> 0.下列结论正确的是()A .命题p A q是真命题B .命题pA (?q)是假命题C.命题(?p) V q是真命题D.命题(？p)A (?q)是假命题【答案】D【解析】取xo=j,有tan4= 1,故命题p是真命题；当x= 0时，x2=0,故命题q是假命题.再根据复合命题的真值表，知 D项正确.5.命题p： ?xCR, ax2+ ax+ 1 >Q若？p是真命题，

26、则实数 a的取值范围是()A . (0,4B. 0,4C. (8, 0 U 4, +8)D. (8, 0)U (4, + 8)【答案】D【解析】 命题p的否定是？p： ?x R, ax2+ax+1<0成立，即不等式ax2 + ax+1<0有解.当a=0时，1<0, 不等式无解；当awo时，要使不等式有解，则 a24a>0,解得a>4或a<0,综上，a的取值范围是(°°, 0) U (4, + 8).故选 D.6. (2019 太原模拟)已知命题 p： ?x0C R, ex0mx0 = 0, q： ?xC R, x2+mx+1>0,若

27、 pV(?q)为假命题，则 实数m的取值范围是(B. 0,28, 0) u (2 , + 8)D.C. R【答案】B【解析】若pV(?q)为假命题，则p假q真.命题p为假命题时，有0<mve；命题q为真命题时，有 A=m24WQ即一2用w斯以当pV(?q)为假命题时，m的取值范围是0<mw2.二、填空题7. 已知函数f(x)的定义域为(a, b),若？xoC(a, b), f(xo)+f( xo) w谑假命题，则f(a+ b) =.【答案】0【解析】 若？XoC(a, b), f(%)+f(xo) w 宾假命题，则 ？xC(a, b), f(x) + f(x)= 0”是真命题，即

28、f( x) =f(x),则函数f(x)是奇函数，则a+b=0,即f(a+b)=0.8. (2019甘肃高台一中第三次检测)设p： ?xC 2 ；,使函数g(x) = log2(tx2 + 2x2)有意义.若？p为假命 题，则实数t的取值范围为 .【答案】2，I；【解析】因为命题？p为假命题，所以命题 p为真命题.？xC 1, 5 ；,使函数g(x)= log2(tx2+ 2x-2)有意义等价于？xC , I)使 tx2+ 2x- 2>0 成立，即？xC1, 5j,使 t>8x成立.令 h(x)=j x, xC1, 2j 则？xC 1, 2)彳t>x2_2成立等价于 t>

29、h(x)min.因为 h(x) = x22=2 2%2, xeI),所以当2，一 一，1 1即 x= 2 时，h(x)min = -2,所以 t>-2.9. (2019黄冈中学期中)下列结论：若命题p ： ？xC R, sin x= 一 1;命题q : ？x C R , x2- x+ 1 > 0;则命题pA (？q)是假命题；已知直线l1： ax+ 3y1=0, I2： x+by+1 = 0,则l1，l2的充要条件是：=3;命题 若x2 3x+2=0,则x= 1”的逆否命题是 若xw,则x23x+2w0'：其中正确结论的序号为 .【答案】【解析】中命题p为真命题，命题q为真

30、命题，所以pA (？q)为假命题，故正确；当 b=a=0时，有11 ±12,故不正确；正确，所以正确结论的序号为三、解答题10. (2019 岳阳一中月考)已知命题 p： (x+1)(x 5) wq 命题 q ： 1mxw 4 m(m>0).(1)若p是q的充分条件，求实数 m的取值范围；(2)若m= 5, pV q为真命题，p八q为假命题，求实数 x的取值范围.【答案】见解析【解析】(1)设使命题p成立的集合为 A,命题q成立的集合为B,则人=刈1aw 5, B = x|1 m叔w4rm>0,m,所以A?B,所以f1+m>5,解得m>做实数m的取值范围为4,

31、 + 8).1 一 m 1,(2)根据条件可知p, q 一真一假.-1 虫当p真q假时，<无解.X>6 或 x< 4,fx>5 或 x< 1,当p假q真时，”解得4土<1或5<x< 6.一 4a W 6故实数x的取值范围为 4, - 1)U(5,6.11. (2019忻州二中期中)已知a>0,命题p：函数f(x)=ax24x在(一8, 2上单调递减；命题q： ?x R, 16x216(a1)x+1 w叫命题p A q为真命题，求实数 a的取值范围.【答案】见解析4 22【解析】 若p为真，则对称轴x=、一=2在区间(一8, 2的右侧，即所以0V aw偌q为真，则方 2a aa13程16x216(a1)x+