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1、一、边际的概念一、边际的概念二、经济学中常见的边际函数二、经济学中常见的边际函数五、小结五、小结 思考题思考题三、弹性的概念三、弹性的概念 第六节第六节 边际与弹性边际与弹性四、经济学中常见的弹性函数四、经济学中常见的弹性函数 一、边际函数一、边际函数在经济学中在经济学中, ,函数的导函数称为函数的导函数称为边际函数边际函数. .设函数设函数)(xfy 可导可导, ,函数的增量与自变量增量的函数的增量与自变量增量的比值比值xxfxxfxy )()(00 表示表示)(xf在在),(00 xxx 内的内的平均变化率平均变化率(速度速度). .根据导数的定义根据导数的定义, ,导数导数)(0 xf
2、表示表示)(xf在点在点0 xx 处的处的变化率变化率, ,在经济学中在经济学中, ,称其为称其为)(xf在点在点0 xx 处的处的边际函数值边际函数值. .当函数的自变量当函数的自变量x从从0 x改变一个单位改变一个单位(即即)1 x 时时, ,函数的增量为函数的增量为)()1(00 xfxf 但当但当x改变的改变的“单位单位”很小时很小时, ,或或x的的“一个单位一个单位”与与0 x值相对来比很小时值相对来比很小时, ,则有近似式则有近似式),()()1(000 xfxfxf 它表明它表明:当自变量在当自变量在0 x处产生一个单位的改变时处产生一个单位的改变时, ,函数函数)(xf的改变量
3、可近似地用的改变量可近似地用)(0 xf 来表示来表示. .经济学中经济学中, , 解释边际函数值的具体意义时解释边际函数值的具体意义时, ,去去“近似近似”二字二字. .在在通常略通常略例例1解解边际收入与边际利润边际收入与边际利润在估计产品销售量在估计产品销售量x时时, ,给产品所定的价格给产品所定的价格)(xP称为称为价格函数价格函数, ,可以期望可以期望)(xP应是应是x的递减函数的递减函数. .于是于是收入函数收入函数)()(xxPxR 利润函数利润函数)()()(xCxRxL )(xC是成本函数是成本函数)收入函数的导数收入函数的导数)(xR 称为称为边际收入函数边际收入函数;利润
4、函数的导数利润函数的导数)(xL 称为称为边际利润函数边际利润函数. .为求最大利润为求最大利润, ,令令)(xL 0)()( xCxR)()(xCxR 但但0)( xL只是取极值的必要条件只是取极值的必要条件, ,根据极值的第根据极值的第二判别法二判别法, ,为确保为确保)(xL在此条件下达到最大在此条件下达到最大, ,希望希望还有还有. 0)()()( xCxRxL故有如下故有如下结论结论: :当当)()(xCxR 且且)()(xCxR 时时, ,利润达到最利润达到最大值大值. .例例 2 2 设设某某产产品品生生产产Q单单位位的的总总成成本本为为12001100)(2QQC , 求求:(
5、 (1 1) )生生产产 9 90 00 0 个个单单位位的的总总成成本本和和平平均均成成本本; ( (2 2) )生生产产 9 90 00 0 个个单单位位到到 1 10 00 00 0 个个单单位位时时的的总总成成本本的的平平均均变变化化率率; ( (3 3) )生生产产 9 90 00 0 个个单单位位的的边边际际成成本本,并并解解释释其其经经济济意意义义. . 解解(1)生产生产900个单位时的总成本为个单位时的总成本为177512009001100)(2900 QQC平均成本为平均成本为99. 19001775)(900 QQC(2)生产)生产900个单位到个单位到1000个单位时总
6、成本的个单位时总成本的 平均变化率为平均变化率为58. 1100177519939001000)900()1000()( CCQQC5 . 1)(900,60012002)()3(900 QQCQQQQC时时的的边边际际成成本本当当边边际际成成本本函函数数例例3 设某产品的需求函数为设某产品的需求函数为,1001000Px 求量求量300 x时的总收入时的总收入, , 平均收入和边际收入平均收入和边际收入. .解解 销售销售x件价格为件价格为P的产品收入为的产品收入为,)(xPxR 由需求函数由需求函数Px1001000 xP01. 010 代入得总收入函数代入得总收入函数.01. 010)0
7、1. 010()(2xxxxxR 平均收入函数为平均收入函数为.01. 010)()(xxxRxR 边际收入函数为边际收入函数为.02. 010)01. 010()(2xxxxR 求当需求当需当当300 x时的总收入为时的总收入为,210030001. 030010)300(2 R平均收入为平均收入为, 730001. 010)300( R边际收入为边际收入为. 430002. 010)300( R例例4 设某产品的需求函数为设某产品的需求函数为xP1 . 080 (P是价是价x是需求量是需求量), , 成本函数为成本函数为xC205000 (元元). .试求边际利润函数试求边际利润函数),(
8、xL 并分别求并分别求150 x和和400 x时的边际利润时的边际利润. .解解已知已知,1 . 080)(xxP ,205000)(xxC 则有则有,1 . 080)1 . 080()(2xxxxxPxR )205000()1 . 080()()()(2xxxxCxRxL 边际利润函数为边际利润函数为,602 . 0)5000601 . 0()(2 xxxxL格格,当当150 x时的边际利润为时的边际利润为.30601502 . 0)150( L当当400 x时的边际利润为时的边际利润为.20604002 . 0)400( L可见销售第可见销售第151个产品个产品, , 利润会增加利润会增加
9、30元元, , 而销售第而销售第401个产品后利润将减少个产品后利润将减少20元元. .解解8)(4,2dd)(4 PPQPPQPPQ时时的的边边际际需需求求为为当当它的经济意义时价格为它的经济意义时价格为4时,价格上涨(或时,价格上涨(或下降)下降)1个单位,需求量将减少(或增加)个单位,需求量将减少(或增加)8个单个单位位.二、函数的弹性二、函数的弹性前面所引入的边际函数的概念前面所引入的边际函数的概念实际上是研究函数实际上是研究函数的绝对改变量与绝对变化率的绝对改变量与绝对变化率, ,经济学中常需研究一经济学中常需研究一个变量对另一个变量的相对变化情况个变量对另一个变量的相对变化情况,
10、,为此引入下为此引入下面定义面定义. .定义定义设函数设函数)(xfy 可导可导, ,函数的相对改变量函数的相对改变量)()()(xfxfxxfyy 与自变量的相对与自变量的相对改变量改变量,/xxyy xx 之比之比称为函数称为函数)(xf从从x到到xx 两点间的弹性两点间的弹性(或相对变化率或相对变化率). .而极限而极限xxyyx/lim0 称为函数称为函数)(xf在点在点x的的弹性弹性(或或相对变化率相对变化率), ,记为记为xxyyEExxy/lim0 yxxyx 0lim.yxy 注注:函数函数)(xf在点在点x的弹性的弹性ExEy反映随反映随x的变化的变化)(xf变化幅度的大小变
11、化幅度的大小, ,即即)(xf对对x变化反应的强烈程度变化反应的强烈程度或或灵敏度灵敏度. .数值上数值上, ,)(xfExE表示表示)(xf在点在点x处处, ,的改变时的改变时, ,函数函数)(xf近似地改变近似地改变)%,(xfExE当当x产生产生1%用问题中解释弹性的具体意义时用问题中解释弹性的具体意义时, ,通常略去通常略去“近似近似”二字二字. .在应在应例例7求函数求函数xy23 在在3 x处的弹性处的弹性. .解解, 2 yyxyExEy ,232xx 3 xExEy32332 .3296 需求弹性需求弹性设需求函数设需求函数),(PfQ 这里这里P表示产品的价格表示产品的价格.
12、 .是是, ,可具体定义该产品在价格为可具体定义该产品在价格为P时的时的需求弹性需求弹性如如)(P PPQQP/lim0 QPPQP 0lim)()(PfPfP 当当P 很小时很小时, ,)()(PfPfP ,)(PQPfP 故需求弹性故需求弹性 近似地表示在价格为近似地表示在价格为P时时, ,价格变动价格变动1%, ,需求量将变化需求量将变化%, 通常也略去通常也略去“近似近似”二字二字. .于于下下:注注: 一般地一般地, ,需求函数是单调减少函数需求函数是单调减少函数, ,需求量随价需求量随价格的上涨而减少格的上涨而减少(当当), ,0 P 时时, ,0 Q 故需求弹性故需求弹性一般是负
13、值一般是负值, ,它反映产品需求量对价格变动反应的它反映产品需求量对价格变动反应的强烈程度强烈程度(灵敏度灵敏度). .例例8 8解解100dd PQ100020 QP时时,当当.2100020100 PE所所以以时时的的弹弹性性当当,求求某某需需求求曲曲线线为为:203000100 PPQ例例9 设某种商品的需求量设某种商品的需求量x与价格与价格P的关系为的关系为.411600)(PPQ (1) 求需求弹性求需求弹性);(P (2) 当商品的价格当商品的价格10 P(元元)时时, , 再上涨再上涨1%, ,品需求量变化情况品需求量变化情况. .解解 (1) 需求弹性为需求弹性为)()()(P
14、QPQPP PPP 41160041ln411600PPP 41160041160041ln P求该商求该商P)2ln2( .39. 1P 需求弹性为负需求弹性为负, ,说明商品价格说明商品价格P上涨上涨1%时时, ,商品需求商品需求Q将减少将减少1.39%. .量量这表示价格这表示价格10 P(元元)时时, , 价格上涨价格上涨1%, , 商品的需求商品的需求若价格降低若价格降低1%, ,加加13.9%. .(2) 当商品价格当商品价格10 P(元元)时时, , 9 .131039. 1)10( 13.9%. .量将减少量将减少商品的需求量将增商品的需求量将增练习题 练习题答案练习题答案利利用用提提示示:利利用用人人;略略;,元元;元元,略略;)(100.12;190),0(25.1125.10.9;1 ,4.8;350)()3(,50)()2( ,3)()1.(78.624.120.5225.9.431MCACMQQQQLQQRQQC 略。略。,)略,(略,(利用互交叉弹性公式利用互交叉弹性公
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