数学建模竞赛讲座清华大学姜启源PPT学习教案

1、数学建模竞赛讲座清华大学姜启源数学建模竞赛讲座清华大学姜启源 通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的有与之配套的“油位计量管理系统油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量，采用流量计和油位计来测量进进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表罐容表（即罐（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。高度和储油量的变化情况。 许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等

2、原因，使罐许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从（以下称为变位），从而而导致罐容表发生改变导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新新标定标定。图。图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。图柱体，两端为球冠体。图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。是罐体横向偏转变位的截面示意图。题题 目目第1页

3、/共28页油油 浮子出 油管油位探测装置注油口检查口地平线2m6m1m1m3 m油位高度图图1 储油罐正面示意图储油罐正面示意图油位探针油位探针 地平线图图2 储油罐纵向倾斜变位后示意图储油罐纵向倾斜变位后示意图油油 浮子出 油管油位探测装置注油口检查口水平线第2页/共28页 请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。容表标定的问题。 （1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小的小椭圆型储油罐椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位（两端平头的椭圆柱体），分

4、别对罐体无变位和倾斜角为和倾斜角为 =4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件如附件1所示。请所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。的罐容表标定值。（2）对于图）对于图1所示的所示的实际储油罐实际储油罐，试，试建立罐体变位后标定罐建立罐体变位后标定罐容表的数学模型容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度向倾斜角度 和横向偏转角度和横向偏转角度 ）之间的一般

5、关系。请）之间的一般关系。请利用罐利用罐体变位后在进体变位后在进/出油过程中的实际检测数据出油过程中的实际检测数据（附件（附件2），根据），根据你们所建立的数学模型你们所建立的数学模型确定变位参数确定变位参数，并给出罐体变位后油，并给出罐体变位后油位高度间隔为位高度间隔为10cm的的罐容表标定值罐容表标定值。进一步利用附件。进一步利用附件2中的中的实际检测数据来分析检验你们实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性模型的正确性与方法的可靠性。第3页/共28页图图3 储油罐截面示意图储油罐截面示意图（b）横向偏转倾斜后正截面图地平线垂直线油位探针（a）无偏转倾斜的正截面图油位探针油位探

6、测装置3m(b) 小椭圆油罐截面示意图 油油浮子出油管油位探针注油口水平线2.05mcm0 . 4m1.2m1.2m1.78m(a) 小椭圆油罐正面示意图图图4 小椭圆型油罐形状及尺寸示意图小椭圆型油罐形状及尺寸示意图第4页/共28页流水号C进油量/LD油位高度/mm采集时间说明1150159.022010-08-20 10:32:18(1)罐体无变位进油，罐内油量初值262L；12100176.142010-08-20 10:33:18(2)C列进油量是每次加入50L油后的累加值13150192.592010-08-20 10:34:18(3)D列是原罐内初始油量加入相应油量后油位高度值。流

7、水号C进油量/LD油位高度/mm采集时间说明11747.86411.292010-08-19 15:10:2712797.86423.452010-08-19 15:11:2713847.86438.332010-08-19 15:12:3714897.86450.542010-08-19 15:13:27(1)罐体纵向倾斜变位进油，纵向倾斜角4.10,罐内油量初值215L；(2)C列进油量是每次加入50L油后的累加值，个别的有小数零头；(3)D列是原罐内油量加入相应油量后油位高度值。附件附件1 实验数据实验数据第5页/共28页流水号C进油量/LD出油量/LE显示油高/mm显示油量容积/L采集

8、时间备注说明201060.0060.002632.23 60448.88 2010-08-01 08:00:49 开始采集2020149.09149.092624.30 60311.43 2010-08-01 08:15:421)C列进油量,通常进油是一次性连续完成203068.4568.452620.67 60248.03 2010-08-01 08:23:412)D列出油量是加油机不同时段的出油量vi2040199.27199.272610.29 60065.11 2010-08-01 08:38:143)E列显示油高是进/出油vi后对应的罐内油位显示高度hi；205070.0570.05

9、2606.61 59999.69 2010-08-01 08:53:084)F列显示油量容积是进/出油vi后,罐内油位5020显示高度为hi时的罐容表显示储油量i。 50360.8160.81469.74 6086.74 51124511242486.21 57704.79 2010-08-08 11:43:402010-08-08 12:52:52一次性补充进油附件附件2 检测数据检测数据第6页/共28页来自于加油站设备研究与生产企业的一个实际课题来自于加油站设备研究与生产企业的一个实际课题. （2）根据实际检测数据，正确识别罐体是如何变位）根据实际检测数据，正确识别罐体是如何变位的，具体变

10、了多少？同时要给出罐容表的修正标定方的，具体变了多少？同时要给出罐容表的修正标定方法和结果，属于法和结果，属于“反问题反问题”。题目背景题目背景问题分析问题分析问题由两部分组成：问题由两部分组成：（1）为了观察检验罐体变位对罐容表的影响，在已）为了观察检验罐体变位对罐容表的影响，在已知变位参数的情况下，检测出油位高度和油量的对应知变位参数的情况下，检测出油位高度和油量的对应数值，建模分析罐容表的变化规律，并给出修正的罐数值，建模分析罐容表的变化规律，并给出修正的罐容表，属于容表，属于“正问题正问题”。第7页/共28页020040060080010001200050010001500200025

11、00300035004000hvalpha=0alpha=4.1问题（问题（1）的通常做法）的通常做法 根据附件根据附件1 的实验数据画出罐体不变位（的实验数据画出罐体不变位（=0）和）和罐体变位（罐体变位（=4.10）时油位高度）时油位高度h和储油量和储油量V的曲线的曲线.实验数据实验数据表表明，在同样明，在同样的油位高度的油位高度h下，下，罐体罐体变位时储油变位时储油量量V减少减少.第8页/共28页zx0z=HabS(H)12222bzaxz=H下的面积下的面积 bHbbHabHbbaHabHS,sin2)(122油位高度油位高度h时时坐标坐标y处处z=H LybhLybhH0,20,ta

12、n)(1LybhhyS0,20),(油位高度油位高度h时坐标时坐标y处的截面面积处的截面面积 罐体变位罐体变位时油位高度时油位高度h和储油量和储油量(体积体积)V的数学模型的数学模型化重积分为定积分化重积分为定积分zyxhyH0L1L油位计油位计L2V(h,)z=H第9页/共28页tan0:211LhhD,tan/,),()(1101hLydyhyShVytan2:1212LbhhhDLdyhyShV0),()(bhhD2:23tan/ )2(,),()(1222hbLydyhySabyhVLy),(, 0)0(10LdyhySV,),()2(11abLdyhySabLbVLLLybhhyS0

13、,20),(高度高度h与储油量与储油量V的模的模型型D3D2D1yh10L1L2h2y1y2油位计第10页/共28页02040608010012000.511.522.533.544.5hvalpha=0alpha=4.1高度高度h与储油量与储油量V的模型的模型 V(h,)h/cmV/Lh/cmV/Lh/cmV/Lh/cmV/L1070.1340965.66702232.501003450.7220281.86501371.88802661.421103776.6430595.25601798.52903072.431204012.74 =4.10的罐容表的罐容表(部部分分)按照模型讨论变位对

14、罐容表的影响按照模型讨论变位对罐容表的影响与实验数据表与实验数据表示的影响一致示的影响一致.变位后储油量变位后储油量平均约小平均约小200L.第11页/共28页00.20.40.60.811.21.4012345hv模 型实 验0.40.50.60.70.80.911.10.511.522.533.54hv模 型实 验模型结果与实验数据的比较模型结果与实验数据的比较 =4.10 =0模型结果与实验数据基本吻合，而在同样的油位模型结果与实验数据基本吻合，而在同样的油位高度高度h下，下，储油量储油量v的实验数据均比模型结果小的实验数据均比模型结果小.可以有各种解释可以有各种解释.是否要修正、怎样修

15、正模型？是否要修正、怎样修正模型？第12页/共28页问题（问题（2）的通常做法）的通常做法1. 罐体变位罐体变位,时油位高度时油位高度h和储油量和储油量V的数学模型的数学模型hD1D2D3整体整体考虑考虑hVxy0z 写出左右球面、圆柱面及油位高度写出左右球面、圆柱面及油位高度h的油平面方程的油平面方程. 将罐体分为将罐体分为3个区域：个区域：D1,D2,D3 在在3个区域中分别写出体积的重积分，个区域中分别写出体积的重积分，并化为（对并化为（对z的）定积分的）定积分.第13页/共28页rhLyrhH20,tan)(1222rzxrhrhh20),cos1 (cos将罐体分为圆柱体和球缺，圆柱

16、体按照问题（将罐体分为圆柱体和球缺，圆柱体按照问题（1）考虑）考虑z=H下的面积下的面积 rHrrHrHrHrHS,sin2)(12222zx0rhhz=H截面面积截面面积S (y,h,) 圆柱体体积圆柱体体积V1 (h,) 0 xzyD1D2D3h第14页/共28页将罐体分为圆柱体和球缺，球缺部分单独考虑将罐体分为圆柱体和球缺，球缺部分单独考虑 精确计算球缺部分体积精确计算球缺部分体积V2 将倾斜角将倾斜角的油平面的油平面近近似为水平面（似为水平面（=0）计）计算球缺部分体积算球缺部分体积V2.直接将罐体的球缺部分按照体积不变条件折合直接将罐体的球缺部分按照体积不变条件折合成圆柱，一起计算成

17、圆柱，一起计算.用各种方法得到罐体体积用各种方法得到罐体体积V (h,) ,一般是积分表达一般是积分表达式式, 给定给定, 可以数值计算可以数值计算油位高度油位高度h时的储油量时的储油量V.第15页/共28页问题（问题（2）的通常做法）的通常做法2. 根据储油量的数学模型根据储油量的数学模型V (h,)和实测数据和实测数据（附件（附件2）辨识罐体变位参数）辨识罐体变位参数,流水号C进油量/LD出油量/LE显示油高/mm显示油量容积/L采集时间备注说明201060.0060.002632.23 60448.88 2010-08-01 08:00:49 开始采集（i =0=0）2020149.09

18、149.092624.30 60311.43 2010-08-01 08:15:42 i =1=1hiViuiVi =Vi (hi, 0,0)不能用！不能用！应该用数据应该用数据ui , hi与模型与模型V (h,) 辨识参数辨识参数,确定确定,应应使使储油量的改变储油量的改变Vi 与与出油量出油量ui 相吻合！相吻合！),(),(),(1iiihVhVV第16页/共28页辨识准则辨识准则niiiuVQ12),(),(),(),(),(1iiihVhVViiiniiiiihhhhuhVQ112,),(),(确定确定,使使Q最小最小 搜索法：按照搜索法：按照, 的可能范围划分区间，逐步搜索的可能

19、范围划分区间，逐步搜索. 直接利用直接利用MATLAB的非线性曲线拟合程序的非线性曲线拟合程序 lsqcurvefit辨识方法辨识方法辨识结果辨识结果ui , hi取进油前的取进油前的300组数组数据据)(3 . 4),1 . 0(1 . 2000第17页/共28页h/cm20406080100V/L1065.803702.657371.3811756.6116664.62h/cm120140160180200V/L21941.1827450.7733066.9938667.2744128.48h/cm220240260280300V/L49322.4454109.9358329.276176

20、8.9064026.17 =2.110, =4.310的修正罐容表的修正罐容表(部部分分)00.511.522.5301234567x 104油 位 高 度 值 h储油量值显 示 的 储 油 量 曲 线实 际 的 储 油 量 曲 线罐体变位后罐体变位后显示显示储油量储油量与与实际储实际储油量油量的比较的比较第18页/共28页模型及结果检验模型及结果检验 取进油后的取进油后的300组数据检验辨识结果组数据检验辨识结果, , 的灵敏性检验的灵敏性检验020406的灵敏度的灵敏度00 . 201 . 202 . 2的灵敏度的灵敏度纵向倾斜角纵向倾斜角比比横向偏转角横向偏转角 对罐容量的影响显著得多！

21、对罐容量的影响显著得多！ 第19页/共28页一种建立模型一种建立模型V (h,) 的新方法的新方法xy0zhhYZX0绕绕x轴转动轴转动绕绕z轴转动轴转动cossin0sincos0001,11TzyxTZYX1000cossin0sincos,22TzyxTZYXcoscossinsinsinsincoscossincos0sincos,21TTTzyxTZYXT2T1= T1T2 ?第20页/共28页hYZX0VVcoscossinsinsinsincoscossincos0sincos,TzyxTZYXxy0zhLdh-r油浮子坐标油浮子坐标 (0, h-r, L/2-d)过油浮子的油平

22、面方程过油浮子的油平面方程sin)2/(coscos)(sincoscossincosdLrhzyxCY 坐标坐标变换变换第21页/共28页xy0zhrsRV222222222sin)2/(coscos)(sincoscossincos:ryxyxRszyxRsdLrhzyxD油位高度油位高度h的的储油区域为储油区域为DDzyxDzyxhzyxI),( , 0),( , 1),(EdxdydzhzyxIhV),(),(RszRsryrrxrE,:油位高度油位高度h时的储油量时的储油量V定义示性函数定义示性函数第22页/共28页利用利用MATLAB的三重积分程序计算储油量的三重积分程序计算储油量

23、triplequad(x,y,z)(-x*cos(a)*sin(b)+y*cos(a)* cos(b)+z*sin(a)=cos(a)*cos(b)*(h-r)+sin(a)* (L/2-d).*(x.2+ y.2 =-s-sqrt(R2-x.2-y.2).*(z=s+sqrt(R2-x.2-y.2),-r,r,-r, r,-(s+R),s+R) triplequad (function, x1,x2, y1,y2, z1,z2)被积函数被积函数 function 在长方体中的三重积在长方体中的三重积分分:用于用于function 是示性函数是示性函数 I(x,y,z)的情况的情况: 计算时间

24、较长；计算精度受积分域大小的影响计算时间较长；计算精度受积分域大小的影响. 在上述坐标旋转下罐体纵向倾斜角在上述坐标旋转下罐体纵向倾斜角为负为负(正负无关正负无关).第23页/共28页 1）罐体变位后储油量的计算（重积分）：）罐体变位后储油量的计算（重积分）： 两端有油和一端有油区域的划分；两端有油和一端有油区域的划分； 积分限的确定；积分限的确定； 积分顺序的选择。积分顺序的选择。对学生论文缺陷的评述对学生论文缺陷的评述2）用所谓）用所谓“等效高度等效高度”：得出不变位时高度与体积：得出不变位时高度与体积的关系的关系V(h)；变位后根据；变位后根据(主主)截面面积不变得到等效截面面积不变得到等效高度与原高度的关系高度与原高度的关系h =f(h)；将它代入原式；将它代入原式V(h) 得得到变位后高度与体积