专题1集合的概念与运算解析版

1、第一篇集合与常用逻辑用语专题1.1集合的概念与运算【考纲要求】1 .了解集合的含义、元素与集合的属于关系.2 .能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.3 .理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.4 .在具体情境中，了解全集与空集的含义.5 .理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.6 .理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.7 .能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算.【命题趋势】1 .利用集合的含义与表示求集合的元素或元素的个数.2 .根据集合间的关系求集合子集的个数、参数的取值或范围.3 .考查数

2、集的交集、并集、补集的基本运算.4 .常运用数轴或韦恩图及数形结合思想来求解含未知参数的集合问题.5 .以集合为载体结合其他数学知识考查新概念、新性质、新法则的创新问题的应用.1.元素与集合【核心素养】本讲内容主要考查数学抽象和数学运算的核心素养【素养清单？基础知识】1.集合的有关概念(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性.元素互异性，即集合中不能出现相同的元素，此性质常用于求解含参数的集合问题中.(2)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.(3)元素与集合的两种关系：属于，记为C；不属于，记为?.(4)五个特定的集合及其关系图：N*或N+表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整

3、数集，Q表示有理数集，R表示实数集(1)子集：一般地，X于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，则称A是B的子集，记作A?B(或B?A).(2)真子集：如果集合A是集合B的子集，但集合B中至少有一个元素不属于A,则称A是B的真子集,记作A?B或BdA.A?B,A?B?既要说明A中任何一个元素都属于B,也要说明B中存在一个元素不属于A.A书.(3)集合相等：如果A?B,并且B?A,则A=B.v一八A?b,，、.两集合相等：A=B?1a?bA中任意一个元素都符合B中元素的特性，B中任意一个元素也符合A中元素的特性.(4)空集：不含任何元素的集合.空集是任何集合A的子集，是任何

4、非空集合B的真子集.记作?.?,?,0?,0?,00,?0.3.集合间的基本运算(1)交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作AAB,即AAB=x|xA,且xCB.(2)并集:一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的并集，记作AUB,即AUB=x|xA,或xCB.(3)补集：对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作?uA,即？uA=x|xCU,且x?A.求集合A的补集的前提是A是全集U的子集”，集合A其实是给定的条件.从全集U中取出集合A的全部元素，剩下的

5、元素构成的集合即为?uA.【素养清单？常用结论】(1)子集的性质：A?A,?A,AAB?A,APB?B.(2)交集的性质：AAA=A,AA?=?,AAB=BAA.(3)并集的性质：AUB=BUA,AUB?A,AUB?B,AUA=A,AU?=?UA=A.(4)补集的性质：AU?uA=U,AA?uA=?,?u(?uA)=A,?aA=?,?a?=A.(5)含有n个元素的集合共有2n个子集，其中有2n1个真子集，2n1个非空子集.(6)等价关系：AAB=A?A?B;AUB=A?A?B.【真题体验】1. (2019全国I卷理1)已知集合M=xM<x<2,N=xx2x_6<0,则MN=(

6、A.x-4<x<3B.x4<x<2C.x-2<x<2D.x2<x<3【答案】C【解析】M=xM<x<2,N=xx2-x-6<0=x-2<x<3,.AB=x-2<x<2.2. (2019全国l卷文2)已知集合U=1,2,3,4,5,6,7,A=2,3,4,5,B=2,3,6,7,则:-:-()A,1,6B,1,7C,6,7D,1,6,7【答案】C【解析】.:；2,3,6,7：，n；1,6,7；二16,7)3.(2019全国n卷理1)设集合A=kx2-5x+6>0),B=xx-1<0,贝uAnB=

7、()A.(-8,1)B.(-2,1)C.(-3,-1)D.(3,+8)【答案】A【解析】Ap|B=ixx2-5x60mxx-1：0)=(-二,2)U(3,二)(-二,1)=(-二，1)4. (2019全国卷n文1)已知集合A=x|x>-1,B=x|xc2,则AnB=()A.(T,+00)B.(-op2)C.(T,2)D.0【答案】C【解析】ApB=x|x-1Dx|x<2=(-1,：)0(-:,2)=(-1,2)5. (2019全国卷出文、理1)已知集合A=-1,0,1,2,B=xx2W1,则AlB=()A.-1,0,1B,0,1C.-1,1D.0,1,2【答案】A【解析】aAb=-

8、1,0,1,2)nxx2<1=-1,0,1,2门-1,1=-1,0,16. (2019天津卷文、理1)设集合A=1,1,2,3,5,B=2,3,4,C=xwR|1,x<3,则(A|C)UB=()A.i2)B.i2,3：>C.i-1,2,3)D.11,2,3,4)【答案】A【解析】AQB=-1,0,1,2Qxx2<1=一1,0,1,2门-1,1=-1,0,17. (2019浙江卷1)已知全集U=-1,0,1,2,3,集合A=0,1,2,B=1,0,1,则QAnB=()A.1B.0,1?C.1,2,3D.1,0,1,3【答案】A【解析】UApB=i-1,3S；-1,0,1：

9、'-；1：'【考法拓展？题型解码】考法一集合的含义与表示归纳总结：与集合中的元素有关问题的求解策略(1)确定集合的元素是什么，即集合是数集、点集还是其他类型的集合.(2)看这些元素满足什么限制条件.(3)根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性.【例1】已知集合A=0,1,2,则集合B=xy|xCA,yCA中元素的个数是()A.1B.3C.5【答案】C【解析】因为A=0,1,2,所以B=x-y|xA,yCA=0,1,2,1,2.故集合B中有5个元素.(2)若集合A=xCR|ax23x+2=0中只有一个元素，则a=()C.0【解析】当a=0

10、时，显然成立；当awo时，A=(3)28a=0,即a=9.故a的值为0或9.88考法二集合的基本关系归纳总结:判断集合间的关系，要注意先对集合进行化简，再进行判断，并且在描述关系时，要尽量精确.(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系(要注意区间端点的取舍)，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题.【例2】(1)已知集合A=x|y=ln(x+3),B=x|x>2,则下列结论正确的是()A.A=BC.A?BD.B?A【答案】D【解析】由x+3>0得x>3,所以A=x|x>3,所以B?A(2)已知集合A=x|

11、x2-2x<0,B=x|x念,若A?B,则实数a的取值范围是()A.2,+oo)B.(2,+8)C.(£0)D.(8,0【答案】A【解析】A=x|0wxw?由A?B知a*即可考法三集合的基本运算归纳总结：集合基本运算的求解规律(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借用Venn图求解.(2)集合中的元素若是连续的实数，常借助数轴求解，但是要注意端点值能否取到的情况.(3)根据集合运算求参数，先把符号语言译成文字语言，然后灵活应用数形结合求解.【例3】(1)已知集合A=lx正4<0r,B=y|y=2x,则AAB=(Iix1A.(0,4B.(0,1)C.(0,1D.-4,1【答

12、案】B【解析】因为A=x|-4<x<1,B=y|y>0,所以APB=(0,1).故选B.1(2)(2019黄冈调研)已知函数f(x)=12的定义域为M,g(x)=ln(1x)的定义域为N,则MU(?rN)=(中一xA.x|x>1B.x|x>1C.?D.x|-1<x<1【答案】A【解析】由1x>0得N=x|x<1,?rN=x|x>1而由1x2>0得M=x|1<x<1,所以MU(?rN)=x|x>1.(3)已知集合A=1,3,而,B=1,m,AUB=A,则m=()A.0或艰B.0或3C.1或5D.1或3【答案】B【

13、解析】因为AUB=A,所以B?A,所以mCA,所以m=3或m=4m,解得m=0或3.故选B考法四集合中的新定义问题解题技巧：集合中的新定义问题(1)紧扣新”定义：分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题的关键所在.(2)把握新”性质：用好集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质.(3)遵守新”法则：准确把握新定义的运算法则，将其转化为集合的交集、并集与补集的运算即可.【例4】(1)(2019武汉调研)设A,

14、B是两个非空集合，定义集合A-B=x|xCA,且x?B,A=xN|0qw5,B=x|x2-7x+10<0,则A-B=()A.0,1B.1,2C.0,1,2D.0,1,2,5【答案】D【解析】A=0,1,2,3,4,5,B=x|2<x<5,所以AB=0,1,2,5fa(2)若对任意的xCA,有工CA,则称A是伙伴关系集合”，则集合M='1,0,J1,2的所有非空子集xk2J中，具有伙伴关系的集合的个数为.【答案】71【解析】具有伙伴关系的元素组有-1;1;2和1共三组，它们中任一组、两组、三组均可组成非空伙伴关系集合，所以非空伙伴关系集合分别为1,1,2r,1,1,i1

15、,1,2r,“，2，2r,rr.1一.1,1,1,2:共7个.【易错警示】易错点在集合的关系中忽略空集【典例】已知集合A=x|1<ax<2,B=x|x|<1,满足A?B,则实数a的取值范围是.【错解】：a|aa<-2【错因分析】：空集是任何集合的子集，在本题中忽略了当a=0时，A=?也满足A?B的情况，从而造成漏解.【正解】：【答案】a|a*或aw2或a=0【解析】B=x|X|<1=x|-1<x<1.当a>0时，A=<x1<x<2aa因为A?B,所以22a、，解得a>2.a>0,因为A?B,所以11a、，解得aJ2.

16、a<0,当a=0时，A=?B.综上所述，a的取值范围是a|a>2或aw2或a=0.【误区防范】：由集合的关系求参数范围要注意的问题(1)根据集合间的关系求参数是高考的一个重点内容.解答此类问题的关键是抓住集合间的关系以及集合元素的特征.(2)空集是个特殊集合.在以下四种条件中不要忽略B是空集的情形：B?A;BA(A非空)；BC=B;BUA=A.【跟踪训练】已知集合A=x|3虫W4B=x|2m-1<x<m+1,且B?A,求实数m的取值范围.【答案】1,+8)"2m1<m+1,【解析】因为B?A,当B=?时，m+1<-1,解得m>2;当B君时，则

17、有2m1A3,解得一1用m+1<4<2.综上得mA1.所以实数m的取值范围是1,+8).【递进题组】1.设集合A=及gvxvZ>B=x|x2v1,则AUB=()A.x|1<x<2B.x|-1<x<21C."x2<x<1>D.x|-1<x<1【答案】B【解析】由x2<1得B=x|1<x<1,所以AUB=x|-1<x<2.32. (2019巴蜀中学月考)已知集合A=x|xCZ,且CZ,则集合A中的兀素个数为()A.2B.3C.4D.5【答案】C3【解析】由？一eZ知2x的值可为土，均，又

18、xCZ,所以由2-x=土得x=1或3,由2-x=不得x=2x1或5.故选C.3.已知集合A=x|x2-3x+2=0,xR,B=x|0<x<5,xN，则满足条件A?C?B的集合C的个数为()A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】A=1,2,B=1,2,3,4,因为A?C?B,所以满足条彳的集合C有1,2,1,2,3,1,2,4,1,2,3,4,共4个.故选D.4.设U=R,集合A=x|x2+3x+2=0,B=x|x2+(m+1)x+m=0,若(？uA)PB=?，则m的值是.【答案】1或2【解析】A=-1,-2,由x2+(m+1)x+m=0得x=1或x=m.因为(?UA)CB=?,

19、所以B?A,所以m=1或m=2,所以m=1或2.5 .设A,B是非空集合，定义A?B=x|xAUB且x?AAB.已知集合A=x|0<x<2,B=y|y>0则A?B【答案】0U2,+8)【解析】AUB=x|x>0,AAB=x|0<x<2,贝UA?B=0U2,+oo).b6 .设a,bCR,集合1,a+b,a=、0,b，则b-a=.【答案】2a+b=0,a+b=0,【解析】由1,a+b,a=i0,b可知awQ则只能a+b=0,则有-=a,或ba,Ia1a1.|b=1,b=1aa=11,由得无解，则b-a=2.b=1,【考卷送检】一、选择题1.设集合A=1,2,3

20、,B=2,3,4，则AUB=()A.1,2,3,4B.1,2,3C.2,3,4D.1,3,4【答案】A【解析】依题意得AUB=1,2,3,4.故选A.2. (2017全国卷I)已知集合A=x|x<2,B=x|3-2x>0,则(A.AAB=xx<|；B,AAB=?C.AUB=ixxv3:D.AUB=R【答案】A.3-3，【解析】由A=x|x<2,B=xx<2得AAB=xx<fAUB=x|x<2.故选A.3. (2018全国卷I)已知集合A=x|x2-x-2>0,则？rA=()A.x|-1<x<2B.x|1虫w2C.x|x<1Ux|

21、x>2D,x|x<-1Ux|x>2【答案】B【解析】由x2-x-2>0得A=x|x<-1或x>2,所以?rA=x|1aw2故选B.4. （2018天津卷）设全集为R,集合A=x|0<x<2,B=x|x>1）则AA?rB）=（）A.x|0<x<1B,x|0<x<1C.x|1买<2D.x|0<x<2【答案】B【解析】由B=x|x>1）导?rB=x|xv1,又A=x|0vx<2,故AA?rB）=x|0<x<1.5,若全集U=R,集合A=x|x2-5x-6<0,B=x|2x&l

22、t;1,则图中阴影部分表示的集合是（）A.x|2<x<3B.x|-1<x<0C.x|0买<6D.x|x<-1【答案】C【解析】A=x|-1<x<6,B=x|x<0,阴影表示数字集合AA?uB）,而？uB=x|x>0）所以AA?uB）=x|0买v6.故选C.6.（2019烟台调研）已知集合M='x|x=/+j,kCZ工集合N='x|x=j,kCZ3则（）A.MnN=?B.M?NC.N?MD.MUN=M【答案】B【解析】由题意可知，M=xx=（2呼兀一T，kCZxx=2n-5nCZ:N=84/84xx=2kjj；fex=（

23、2k；1）兀，keZr,所以M?N,故选B.8484二、填空题fr一.11一.2.一一7.设集合M=x-2<x<2",N=x|x叔）,则MnN=【答案】0,2）【解析】因为N=0,1,所以MAN=0,2）8,若3,4,m2-3m-1A2m,-3=-3,则m=.【答案】12m3m1=-3,2m3)【解析】由集合中元素的互异性可得所以m=1.2mw3,l2m餐9,已知集合A=xN|x22x3W0,B=1,3,定义集合A,B之间的运算A*B=x|x=X1+X2,xCA,x2B,则A*B中的所有元素数字之和为.【答案】21【解析】由x22x3W0得一1aW3,xCN,所以A=0,

24、1,2,3,而A*B=x|x=x+x2,x1CA,x2cB=1,2,3,4,5,6,所以数字之和为21.三、解答题10 .已知全集为R,集合A=x|x>2或xv0,B=x|1<x<3求APB,AUB,?rA.【答案】见解析【解析】根据交集的定义可得AAB=x|2WW3,根据并集的定义可求得AUB=x|x<0或x>1,因为全集为R,所以根据补集的定义可求得？rA=x|0东2.11 .已知集合P=x|a+1aw2+1,集合Q=x|-2<5若a=3,求集合(?rP)0;(2)若P?Q,求实数a的取值范围.【答案】见解析【解析】(1)当a=3时,P=x|4WW7所以？rP=x|x<4或x>7,所以(?rP)AQ=x|x<4或x>7n|-2<5=x|2虫<4.(2)当P=?时，满足P?Q,有2a