椭圆及其标准方程(带gif动画))

1、第九章第九章 圆锥曲线圆锥曲线如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的物件呢？物件呢？生生活活中中的的椭椭圆圆仙女座星系星系中的椭圆星系中的椭圆“传说中的传说中的”飞碟飞碟 数学实验数学实验 (1)取一条细绳，取一条细绳， (2)把它的两端固定在板上的两个定点把它的两端固定在板上的两个定点F1、F2 (3)用铅笔尖（用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在板上慢慢移）把细绳拉紧，在板上慢慢移动看看画出的动看看画出的 图形图形思思考考数学实验数学实验 (1)取一条细绳，取一条细绳， (2)把它的两端固定在板上的两个定点把它的两端固定在板上的两个定点

2、F1、F2 (3)用铅笔尖（用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在板上慢慢移）把细绳拉紧，在板上慢慢移动看看画出的动看看画出的 图形图形1.1.在椭圆形成的过程中，细绳的两端的位置是固定的还是运动在椭圆形成的过程中，细绳的两端的位置是固定的还是运动的？的？2.2.在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？3.3.在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？系？请你归纳出椭圆的定义请你归纳出椭圆的定义? ?F2F1M(1)(1)由于绳长固定，所以点由于绳长固定，所以点M M到两到两个定

3、点的距离和是个定值个定点的距离和是个定值（2 2）点）点M M到两个定点的距离和要大到两个定点的距离和要大 于两个定点之间的距离于两个定点之间的距离根据上面的内容你更给根据上面的内容你更给出椭圆的定义吗？出椭圆的定义吗？（一）椭圆的定义（一）椭圆的定义 平面内到两个定点平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数的距离之和等于常数 （2a） （大于（大于|F1F2 |）的点的轨迹叫椭圆。）的点的轨迹叫椭圆。 定点定点F1、F2叫做椭圆的焦点。叫做椭圆的焦点。 两焦点之间的距离叫做焦距（两焦点之间的距离叫做焦距（2C）。）。椭圆定义的文字表述：椭圆定义的文字表述：椭圆定义的符号表述：椭圆定义的符

4、号表述：aMFMF221(2a2c)MF2F1yxO),(yxPr设圆上任意一点设圆上任意一点P(x，y) 以圆心以圆心O为原点，建立直角坐标系为原点，建立直角坐标系 rOP ryx 22两边平方，得两边平方，得 222ryx 回忆如何求圆的方程的？回忆如何求圆的方程的？ 探讨建立平面直角坐标系的方案探讨建立平面直角坐标系的方案建立平面直角坐标系通常遵循的原则：建立平面直角坐标系通常遵循的原则：对称、对称、“简洁简洁”OxyOxyOxyMF1F2方案一方案一F1F2方案二方案二OxyMOxy解：取过焦点解：取过焦点F1、F2的直线为的直线为x轴，线段轴，线段F1F2的垂直的垂直平分线为平分线为

5、y轴，轴，建建立平面直角坐标系立平面直角坐标系(如图如图). 设设M(x, y)是椭圆上任意一是椭圆上任意一点，椭圆的焦距点，椭圆的焦距2c(c0)，M与与F1和和F2的距离的和等于正的距离的和等于正常数常数2a (2a2c) ，则，则F1、F2的坐的坐标分别是标分别是( c,0)、(c,0) .xF1F2M0y（问题：下面怎样（问题：下面怎样化化简？）简？）122MFMFa222212(),()MFxcyMFx cyaycxycx2)()(2222 得方程由椭圆的定义得，由椭圆的定义得，限限制条件制条件：代代入坐标入坐标2.椭圆的标准方程的推导222222bayaxb 22ba两边除以两边除

6、以 得得).0(12222babyax设所以即,0,2222cacaca),0(222bbca由椭圆定义可知由椭圆定义可知整理得整理得2222222)()(44)(ycxycxaaycx 222)(ycxacxa 2222222222422yacacxaxaxccxaa 两边再平方，得两边再平方，得)()(22222222caayaxca移项，再平方移项，再平方) 0( 12222babxay012222babyax焦点在焦点在y轴：轴：焦点在焦点在x轴：轴：椭圆的标准方程1oFyx2FM1 12 2yoFFMx记忆方法：记忆方法： 在那个字母下面，焦点就在哪在那个字母下面，焦点就在哪个坐标轴

7、（哪个字母下面的数大，焦点就在个坐标轴（哪个字母下面的数大，焦点就在哪个轴上）哪个轴上）a0 12222babyax 0 12222babxay图图 形形方方 程程焦焦 点点F( (c，0)0)F(0(0，c) )a,b,c之间的关系之间的关系c2 2= =a2 2- -b2 2MF1+MF2=2a (2a2c0)定定 义义1 12 2yoFFMx1oFyx2FM两类标准方程的对照表注注: : 共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是1.2

8、x2y不同点：焦点在不同点：焦点在x轴的椭圆轴的椭圆 项分母较大项分母较大. 焦点在焦点在y轴的椭圆轴的椭圆 项分母较大项分母较大.11625)2(22yx11)3(2222mymx11616)1(22yx0225259)4(22yx123)5(22yx1.口答：下列方程哪些表示椭圆？口答：下列方程哪些表示椭圆？例例1、填空：、填空：(1)已知椭圆的方程为：已知椭圆的方程为： ，则，则a=_，b=_，c=_，焦点坐标，焦点坐标为：为：_焦距等于焦距等于_;若若CD为过为过左焦点左焦点F1的弦，则的弦，则 F2CD的周长为的周长为_例题例题1162522yx543(3,0)、(-3,0)60F1

9、F2CD判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则：准则： 焦点在分母大的那个轴上。焦点在分母大的那个轴上。|CF1|+|CF2|=2a 练习二：判定下列椭圆的焦点在哪个轴，并指 明a2、b2，写出焦点坐标2212516xy+=答：在答：在 X 轴（轴（-3，0）和（）和（3，0）221144169xy+=答：在答：在 y 轴（轴（0，-5）和（）和（0，5）222211xymm+=+答：在答：在y 轴。（轴。（0，-1）和（）和（0，1）判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则：判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则： 焦点在分母大的那个轴上。焦点在分母大的那个轴

10、上。2222xy1.1xa3a( )xy2.1yb9b( )方程表示焦点在 轴上的椭圆，则 的范围为。方程表示焦点在 轴上的椭圆，则 的范围为。0b3a33.3.已知方程已知方程 表示焦点在表示焦点在x x轴轴上的椭圆，则上的椭圆，则m的取值范围是的取值范围是 . .22xy+=14m变式：变式：已知方程已知方程 表示焦点在表示焦点在y y轴上的椭圆，则轴上的椭圆，则m的取值范的取值范围是围是 . .2222xyxy+= 1+= 1m - 13- mm - 13- m(0,4) (1,2)4、 已知椭圆的方程为：已知椭圆的方程为： ，请，请填空：填空：(1) a=_，b=_，c=_，焦点坐标为

11、，焦点坐标为_，焦距等于，焦距等于_.(2)若若C为椭圆上一点，为椭圆上一点，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，分别为椭圆的左、右焦点， 并且并且CF1=2,则则CF2=_. 1162522yx5436(-3,0)、(3,0)8例、写出适合下列条件的椭圆的标准方程例、写出适合下列条件的椭圆的标准方程的的椭椭圆圆的的标标准准方方程程为为）已已知知（1, 64 ca的的值值为为则则的的焦焦距距等等于于）椭椭圆圆（mymx, 214522 35或或2213635xy2213536xy12小结小结: :先定位先定位(焦点焦点)再定量再定量(a,b,c)椭圆的椭圆的焦点位置焦点位置不能确定时不能确定时,

12、 ,椭圆的标准方程一般有椭圆的标准方程一般有两种两种情形情形, ,必须必须分类求出分类求出例例3 3：平面内两个定点的距离是：平面内两个定点的距离是8 8，写出到这两个定点，写出到这两个定点距离之和是距离之和是1010的点的轨迹方程。的点的轨迹方程。解：这个轨迹是一个椭圆。两个定点是焦点，用解：这个轨迹是一个椭圆。两个定点是焦点，用F F1 1、F F2 2表示，取过点表示，取过点F F1 1、F F2 2的直线为的直线为x x轴，线段轴，线段F F1 1F F2 2的垂直平的垂直平分线为分线为y y 轴建立直角坐标系。轴建立直角坐标系。22a a=10 2=10 2c c=8 =8 a a=

13、5 =5 c c=4=4b b2 2= =a a2 2 c c2 2=9, =9, b b=3=3因此这个椭圆的标准方程是：因此这个椭圆的标准方程是： 1925 135222222 yxyx即即 0 12222 babyax 0 12222 baaybxyoBCAx定义法求轨迹方程。定义法求轨迹方程。习题习题:已知已知ABC的一边的一边BC固定，长为固定，长为8，周长为，周长为18，求顶点，求顶点A的轨迹方程。的轨迹方程。.解：以解：以BC的中点为原点，的中点为原点，BC所在的直线为所在的直线为x轴建立轴建立直角坐标系。直角坐标系。 根据椭圆的定义知所求轨迹方程是椭根据椭圆的定义知所求轨迹方程是椭圆，且焦点在轴上，所以可设椭圆的标准方程为圆，且焦点在轴上，所以可设椭圆的标准方程为 ：)0ba( 1=by+ax2222192522 yx)0y（ yoBCAx 2a=10, 2c=8 a=5, c=4 b2=a2c2=5242=9所求椭圆的标准方程为所求椭圆的标准方程为: 注意：求出曲线的方程后，要注意检查一下注意：求出曲线的方程后，要注意检查一下 方程的曲线方程的曲线上的点是否都是符合题意。上的点是否都是符合题意。练习：练习：求适合下列条件的椭圆的标准方程：求适合下列条件的椭圆的标准方程：(2)焦点为焦点为F1(0,3),F2(0,3),且且a=5.22(2) 1251 6