专题12平面向量-三年高考2012018数学理试题分项版解析解析版

1、专题12平面向量考纲解读明方向考点内容解读要求高考不例常考题型预测热度1.平面向量的基本概念与线性运算了解向量的实际背景；理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；理解向量的几何表示；掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义掌握2015课标I,7;2015陕西,7;2013四川，12选择题填空题2.向量的共线问题掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；了解向量线性运算的性质及其几何意义掌握2015课标n,13；2013陕西,3选择题填空题分析解读1.从T向I与会小I两个方面理解平面向量的概念.2.结合图形理解向量的线性运算，熟练掌握平行四边形法则与三角形法则.3.向量共线的

2、条件要结合向量数乘的意义去理解，并能灵活应用.4.向量的概念与运算是必考内容.5.本节在高考中主要考查平面向量的线性运算及其几何意义，分值约为5分，属中低档题.考点内容解读要求高考不例常考题型预测热度1.平面向量基本定理了解平面向量的基本定埋及其意义了解2017江苏,12；2015北京，13；2013北京，13选择题填空题2.平面向量的坐标运算掌握平向向量的正交分解及其坐标表小；会用坐标表示平向向量的加法、减法与数乘运算；理解用坐标表示的平面向量共线的条件掌握2016课标全国n,3；2015江苏,6；2014陕西,13；2013重庆，10选择题填空题分析解读1.理解平面向量基本定理的实质，理解

3、基底的概念，会用给定的基底表示向量.2.掌握求向量坐标的方法，掌握平面向量的坐标运算.3.能够根据平面向量的坐标运算解决向量的共线、解三角形等有关问题.4.用坐标表示的平面向量共线的条件是高考考查的重点，分值约为5分属中低档题.考点内容解读要求高考不例常考题型预测热度1.数量积的定义(1)平向向量的数量积理解平面向量数量积的含义及其物理意义；了解平面向量的数量积与向量投影的关系；掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算；能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.(2)向量的应用理解2017浙江,10；2016天津,7；2015湖北,11；2014课标n,3

4、选择题填空题2.平面向量的长度问题掌握2017课标全国I,13；2017浙江,15；2016北京,4；2014浙江,8选择题填空题3.平向向量的夹角、掌握2017课标全国n,12；选择题填空题两向量垂直及数里积的应用会用向量方法解决某些简单的平面几何问题；会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题2017山东,12;2016山东,8;2015重庆,6;2014重庆,4分析解读1.理解数量积的定义、几何意义及其应用.2.掌握向量数量积的性质及运算律；掌握求向量长度的方法.3.会用向量数量积的运算求向量夹角，判断或证明向量垂直.4.利用数形结合的方法和函数的思想解决最值等综合问题.L掌枷回的

5、参瓢方程在最值同即中的应用2.理解数擢结合思想的本班.能用代数的N怯解题几何同盟1.T面向盘的坐标运算之木蜷口四的位置美姿3二知函数的性质2里用才知,1建立而近角坐标系2求旺剧的标看方一程，并设由点产的坐标3 .由.正人砾日福求出人4 .根留了瓶而秋的性成雕可求得加值解决此类何留的关部上地E参数方程中的移效将,，而拊值同融转化为最俏何厩、这委稻江策略是鼾决二元最优间苞的一个垂要患典馍017季梅全国Iff,12,S分)在矩形4武力中1G=】，AD=2.动点尸在以点C为眦心旦与6D相切的阀上.苕/=A港卢而，则人+六的最大值为()1 .必考内容：平曲向坡的基本定理与坐播这齐之身靠形式：以选择密或填

6、空题的腾式呈现，鸟考中需有以下JL种命翦方式：小平新向址的基本定挥及其堂史；用坐标忐示平面向讨的加法.戒医触乘遥算A,31 .平面同址的基本定理与坐标近算2胤,-寸+旧壁匕的一点可设为：:ms?(0为参幽y=o-krflin01.没有也正荏他中标系，误认为力工b加C的延性缈制四交点时人+田即鼾址大值，导致失分二批系不当.导致园中1参题方程比较慨琐，增加了土演靖，同比甘2018年高考全景展示1.【2018年浙江卷】已知a,b,e是平面向量，e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2-4eb+3=0,则|a-b|的最小值是A.-1B.+1C.2D.2-【解析】分析：先确定向量口总所表示

7、的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值.Hecos-fx=-7r2+yl，尸=导n一,、佃了二三ape详解：设口=(I，。)/=(m.n),则由3得由/-4e，b十3=0得m*十M-4m十3二仇（m-2y+n2=L因此佃-句的最小值为圆心（，0）到直线尸=飞,行*2.=信的距离2-减去半径1,为阴-1选a.点睛：以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程、解不等式、求函数值域或直线与曲线的位置关系，是解决这类问题的一般方法.2 .【2018年理数天津卷】如图，在平面四边形A

8、BCD中，乂81日生ADLCDiAD=120AR=AD=I若点E为边CD上的动点，则才E-的的最小值为21325A.11B.C.11D.【答案】A口争工-E。工）喈详解：建立如图所本的平囿直角坐标系，则刃，12一一2点丹在“上，则DE=息欧0G玉工），设,则：1，爵翁），伊都冲件、旗/惨-郛头加赤伊+:）22八2j212%整理可得：口一一?结合二次函数的性质可知，当4时，百品日日取得最小值11伺中判?1+弓=当射句率）y=h?）2次即2，据此可得:5）,由数量积的坐标运算法则可得：AEBE-21+2）COA1）4,1E.本题选择A选项.【解析】分析：由题意建立平面直角坐标系，然后结合点的坐标得

9、到数量积的坐标表示，最后结合二次函数的性质整理计算即可求得最终结果.点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义.具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用.3 .【2018年理新课标I卷】设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点(0)且斜率为？的直线与C交于M,N两点，则A.5B.6C.7D.8【答案】D【解析】分析：首先根据题中的条件，利用点斜式写出直线的方程，涉及到直线与抛物线相交j联立方程组，消元化简,求得两点M(L2)万(4.4),再利用所给的抛物线的方程，写出其焦点坐标，之后应用向量坐标公式，求得丽=(。2),前=(3

10、.4),最后应用向量数量积坐标公式求得结果.22y卞+2)y=-(x+2)/详解：根据题意，过点(2,0)且斜率为3的直线方程为3,与抛物线方程联立=2上在第一象限内的点，见5以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若曲前二。,则点A的横坐标为.【答案】3【解析】分析：先根据条件确定圆方程，再利用方程组解出交点坐标，最后根据平面向量的数量积求结果.详解：设出处2q)S0),则由圆心C为助中点得2匹易得研+Xy-2n)=a,与=2x力,、-口+5、.XT”AB=(5-a2a)rCD=(l2硝联立解得点D的横坐标口T，所以见1.所以2,Q+511(5-a)(l)+(L2G(2-a)=0,a2-2a

11、3=0,a=3由48-。=。得工或口二1,因为&0,所以*=M点睛：以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.7 .【2018年全国卷出理】已知向量a=C2)b=(2,-21c=(D)若c|Q+b),则4=1【答案】【解析】分析：由两向量共线的坐标关系计算即可。TT+f详解：由题可得2&+B=(4,2),-c/(2a+i?)fc=(lj),二4%-2=。，即2,故答案为2点睛：本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题。2017

12、年高考全景展示.若AP=，1. 2017课标3,理12】在矩形ABCD中，AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上AB+NAD,则K+口的最大值为C.5D.2A.3B.2也【答案】A【解析】试题分析：如图所示，建立平面直角坐标系设A0.1,B0,0,C2,0,D2,1,Px,y,根据等面积公式可得圆的半径r=-2-,即圆C的方程是(x-2(+y2AP=(x,y1JAB=(0,-1),AD=(2,0),若满足AP=AAB+AD,x=2xx即4,N=,九=1_y，所以九+N=y+1,Jy-1-,22x，x224设2=y+1,即y+1z=0,点P(x,y)在圆(x2)+y=上,2-

13、z-=112一，解得1MzM3,5225所以圆心到直线的距离dr,即4所以z的最大值是3,即九十N的最大值是3,故选A.【考点】平面向量的坐标运算；平面向量基本定理【名师点睛】（1）应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.2.12017北京，理6】设m,n为非零向量，则毋在负数九，使得m=mIM-mn0的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：

14、若三九0,使m=7m,即两向量反向，夹角是180。，那么mn=同耳cos1800=|同何0T,00若mnp,那么p是q的充分不必要，同时q是p的必要不充分条件，若puq,那互为充要条件，若pOq，那就是既不充分也不必要条件，2.当命题是以集合形式给出时，那就看包含关系，若p:xwA,q:xwB,若A/B,那么p是q的充分必要条件，同时q是p的必要不充分条件，若A=B,互为充要条件，若没有包含关系，就是既不充分也不必要条彳3.命题的等价性，根据互为逆否命题的两个命题等价，将p是q条件的判断，转化为q是p条件的判断.3.12017浙江，10】如图，已知平面四边形ABCD,ABXBC,AB=BC=A

15、D=2,CD=3,AC与BD交于点O,，己I1=OAOB,I2=OBOC,13=OCOD,则B.I1：:I3D.12tli：I3【答案】C【解析】试题分析：因为/AOB=/COD901所以OBOCa0OAOBOCQD(；OAOC,OB90：由AB=BC=AD=2,CD=3,可求OAOC,OBOD,进而解得I311I2.3I24.12017课标1,理13】已知向量a,b的夹角为60,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=【答案】2、.3【解析】试题分析：|a2b|2=|a|24ab4|b|2=4421cos604=12所以|a+2b|=照=2*.秒杀解析：利用如下图形，可以判断出a十2b的模长

16、是以2为边长的菱形对角线的长度，则为23.【考点】平面向量的运算.【名师点睛】平面向量中涉及到有关模长的问题，用到的通法是将模长进行平方，利用向量数量积的知识进行解答，很快就能得出答案；另外，向量是一个工具型的知识，具备代数和几何特征，在做这类问题时可以使用数形结合的思想，会加快解题速度.5.12017浙江，15】已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,则|a+b|+|ab|的最小值是，最大值是【答案】4,2、,5【解析】试题分析：设向量2巾的夹角为0,由余弦定理有：a-b=y/1+22-2m1m2Mcos8=j5-4cos,a+b=yj12+222父1父2Mcos(n日)=N5十4cos8

17、,则：a+b+a-b=55+4cos日+J5-4cos日,令y=、5+4cos日十、54cos9,则y2=10+2。2516cos2日w16,20，据此可得：(a+b+ab)=V20=2V5,(|a+b+ab)=V16=4,maxImin即a+b|+a-b的最小值是4,最大值是2君.【考点】平面向量模长运算【名师点睛】本题通过设入向量a,b的夹角9,结合模长公式，解得a+b|+|a-b|=J5+4cos8+a-4cos日,再利用三角有界性求出最大、最小值，属中档题，对学生的转化能力和最值处理能力有一定的要求.6.12017江苏，12如图，在同一个平面内，向量OA,OB,OC的模分别为1,1,J

18、2,OA与OC的夹角为a,且tana=7,OB与OC的夹角为45.若OC=mOA+nOB(m,n=R),则m+n=(第12题)【答案】3【解析】由13n四叫得如”及8立=*根据向翱分解,所以.阳+丹=3【考点】向量表示【名师点睛】(1)向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数、方程、不等式的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数、方程、不等式问题(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法(3)向量的两个作用：载体作用：关键是利用向量的意义

19、、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题7.12017天津，理13】在4ABC中，/A=60,AB=3,AC=2.若BD=2DC,AE=KACAB(九wR),且AD，AE=T,则九的值为.,3【答案】3111一2【解析】ABAC=3M2Mcos60=3,AD=AB+2AC，则33122123ADAE=(ABAC)(AC-AB)二3一4一9一3=-4=33333311【考点】向量的数量积【名师点睛】根据平面向量的基本定理，利用表示平面向量的一组基地可以表示平面内的任一向量，利用向量的定比分点公式表示向量，计算数量积，选取基地很重要，

20、本题的AB,AC已知模和夹角，选作基地易于计算数量积.8.12017山东，理12】已知e,e2是互相垂直的单位向量，若q,30e2与e+九e2的夹角为60则实数九的值是【答案】史3r二百一丸=2乂&+笳X8960；二小了解得:上二3-3【考点】1.平面向量的数量积.2.平行向量的夹角.3.单位向量.【名师点睛】1.平面向量a与b的数量积为ab=WWcosH,其中日是a与b的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围:0-180.2.由向量的数量积的性质有|a|=Jaa,cosUpab,1abab=0ua_1_b,因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题.3.本题主要利用向量的

21、模与向量运算的灵活转换，应用平面向量的夹角公式，建立人的方程9.【2017江苏，16】已知向量a=(cosx,sinx),b=(3,73),xW0,R.(1)若a/b,求x的值；(2)记f(x)=ab，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.【答案】(1)x=W(2)x=0时，/取得最大值，为3;x=2时几初取得最小值，为2J3.66【解析】解：(1)因为a=(cosx,sinx),b=(3,-3),allb,所以-.3cosx=3sinx.若cosx=0,则sinx=0,与sin2x+cos2x=1矛盾，故cosx#0.于是tanx=又用W0.川，所以x=.6(2) f(x)=ab=(c

22、osx,sinx)(3,-囱)=3cosx-13sinx=2v3cos(x+).6._一冗冗77t因为x0用，所以x+包-,666从而-1_cos(x-一)_3.62于是，当x+=,即x=0时，f)取到最大值3;66.55冗、L当x十一=兀，即x=时，取到最小值_2,3.66【考点】向量共线，数量积【名师点睛】(1)向量平行：a/b=x1y2=x2y1,-I-I一一一1一.一a/b,b=0二,R,a-b,BA=AC=OAOBOC,11(2)向量垂直：a_Lbuab=0ux1x2+y1y2=0,1 12c(3)向量加减乘：a士b=(x1士x2,y1y2),a=|a|,ab=|a|b|cosa,b

23、a2016年高考全景展示1.12016 高考新课标1卷】设向量a=(m,1),b=(1,2)，且a+b|2=|a|2+同2,则m=.【答案】-2【解析】试题分析：由|a+b|2=|a|2+|b|2相a_Lb,所以mM1+1M2=0,解得m=2.考点：向量的数量积及坐标运算【名师点睛】全国卷中向量大多以客观题形式出现，属于基础题.解决此类问题既要准确记忆公式，又要注意运算的准确性.本题所用到的主要公式是：若a=x1,y1,b=x2,y2，则ab=y1x2y2.量的坐标，利用向量相等，列方程组，解出未知数的值1.12017 高考山东理数】已知非零向量m,n满足41ml=3n1,cos=.若n,(t

24、m+n),则实数3t的值为()_99(A)4(B)W(C)(D)-44【解析】试题分析：由41m=3n,可设|m|=3k,n=4k(k0),又nj_(tm+n),所以2,、_.一I、22，4.2一一一一n(tm+n)=ntm+nn=tmncos+n=tx3kx4k父一+(4k)=4tk+16k=0所以III3t=-4,故选B.考点：平面向量的数量积【名师点睛】本题主要考查平面向量的数量积、平面向量的坐标运算.解答本题，关键在于能从n_L(tm+n)出发，转化成为平面向量的数量积的计算.本题能较好的考查考生转化与化归思想、基本运算能力等3.12016高考新课标2理数】已知向量a=(1,m),a=

25、(3,2),且(5+b)_lb,则m=()(A)-8(B)6(C)6(D)8【答案】D【解析】试题分析：向量a+b=(4,m2),由(a+b)_Lb得4x3+(m2)x(2)=0,解得m=8,故选D.考点：平面向量的坐标运算、数量积【名师点睛】已知非零向量a=(x1,y),b=(x2,y2)：结论几何表小坐标表小模|a|=、aa|a|=x2+y2夹角cos0-ab|a|b|X1X2+y1y2cos912,2；-2.2xi+y14x2+y2ab的充要条件ab=0XiX2+y1y2=0uuv1.3uuv.31一一4.12016高考新课标3理数】已知向量BA=(2,),BC=(,1)，则NABC=(

26、)2222(A)30(B)45(C)60(D)120【答案】A【解析】1、,3、31_试题分析：由题意，得cos/ABC=更1-=2222=,所以2ABC=301故选A.|BA|BC|112考点：向量夹角公式.【思维拓展】(1)平面向量a与b的数量积为ab=HWcose,其中是a与b的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：0we180S；(2)由向量的数量积的性质有|a|=Jaa,cose二ab,ab=0=因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题.5.【2016年高考北京理数】设a,b是向量，则|a|=|b|是“|a+b|=|ab|”的()A.充分而不必要条件B.必要而

27、不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】试题分析：由|a+b|=|a-bg(a+b)2=(a-b)2=ab=0ua_Lb,故是既不充分也不必要条件，故选D.考点：1.充分必要条件；2.平面向量数量积.【名师点睛】由向量数量积的定义a6=|a|b|cose(日为a,b的夹角)可知，数量积的值、模的乘积、夹角知二可求一，再考虑到数量积还可以用坐标表示，因此又可以借助坐标进行运算.当然，无论怎样变化,其本质都是对数量积定义的考查.求解夹角与模的题目在近年高考中出现的频率很高，应熟练掌握其解法.6.12016高考天津理数】已知那BC是边长为1的等边三角形，点D,E分别是边A

28、B,BC的中点，连接DE并延长到点F,使得DE=2EF，则AF，BC的值为()(A)-(B)1(C)1(D)118848【答案】B【解析】1 一一1-3一一3试题分析：仅BA=a,BCb,DE=AC=(ba)，DF=DE=(ba),2 2241353-532531AF=AD+DF=-a+(ba)=-a+-b,AFBC=-ab+-b=十=一,故选B.244444848考点：向量数量积【名师点睛】研究向量数量积，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简.平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言坐标语言II,实质是无I化为贽II.向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来.运用两向量的数量积可解决长度、夹角、垂直等问题，解题时应灵活选择相应公式求解.7.【2016年高考四川理数】在平面内，定点A,B,C,D满足DA=1,PM=MC,则BM的最=DB=DC,DADB=DBDC=DC.DA=-2,动点P,M满足|aP|大值是（）376.3(C(D)37233【解析】试题分析：由已知