材料力学第06章弯曲变形

1、61 工程中的弯曲变形问题工程中的弯曲变形问题62 挠曲线的微分方程挠曲线的微分方程63 用积分法求用积分法求弯曲变形弯曲变形64 用叠加用叠加法求法求弯曲变形弯曲变形65 简单超静定简单超静定梁梁66 提高弯曲刚度的一些措施提高弯曲刚度的一些措施第六章第六章 弯曲变形弯曲变形61 工程中的弯曲变形问题工程中的弯曲变形问题PlF横截面相对原来横截面相对原来位置转过的角度。位置转过的角度。1.挠度挠度w ：2.转角转角 ：二、挠曲线：变形后，轴线由直线变为光滑曲线，该曲线称为挠二、挠曲线：变形后，轴线由直线变为光滑曲线，该曲线称为挠 曲线。其方程为：曲线。其方程为：w =f (x)三、转角与挠曲

2、线的关系：三、转角与挠曲线的关系：一、度量梁变形的两个基本位移量一、度量梁变形的两个基本位移量 tan 条件：小变形条件：小变形F xwwCC1 与与w坐标同向为正，反之为负。坐标同向为正，反之为负。 ddxw 横截面形心在垂直于横截面形心在垂直于x轴方向的线位移。轴方向的线位移。反时针转动为正。反时针转动为正。62 挠曲线的微分方程挠曲线的微分方程zEIM 1 在纯弯曲时在纯弯曲时EIz 梁的抗弯刚度。梁的抗弯刚度。MM d232)1 (1ww 由由62 挠曲线的微分方程挠曲线的微分方程zEIxM)(1 在横力弯曲时，在横力弯曲时， 忽略剪力对梁位移的影响忽略剪力对梁位移的影响或：或：232

3、)1( 1ww zEIM 1 在纯弯曲时在纯弯曲时Fx xwwx0 w挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程112 wzEIxMw)( zEIxMww)()1 (232 在小变形的条件下，在小变形的条件下，zEIxMw)( 0 w取取“+”取取“+”wx0 M0 MMMMM)(xMwEI 对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下形式：对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下形式： xxMwEId)( EIw63 用积分法求用积分法求弯曲变形弯曲变形积分常数积分常数C、D由边界条件确定。由边界条件确定。C Cx D xxxMd)d)(挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程zEIxMw)( 求

4、梁的挠曲线方程和转角方程、最大挠度求梁的挠曲线方程和转角方程、最大挠度及最大转角。及最大转角。（1 1）建立坐标系并写出弯矩方程建立坐标系并写出弯矩方程)()(xlFxM （2 2）写出写出微分方程并积分微分方程并积分（3 3）应用位移边界条件应用位移边界条件求积分常数求积分常数)(xMwEI wEI361Fx ，0 D0 C解：解：例例6-1P178 当当x =0时，时，wA=0，xwxFlAB A=FxFl FxFl 221Fx Flx C EIwCx D 221Flx (4)(4)写出挠曲线方程并画出曲线写出挠曲线方程并画出曲线)3(632xlxEIFw )2(22xlxEIF Aw0)

5、3(632xlxEIFw )( 33max EIFlw(5)(5)最大挠度及最大转角最大挠度及最大转角xwFl)2(22xlxEIF AB maxwmaxx=l 时，时，) ( 22maxEIFl 例例6-2P180222)(xqxqlxM 解：解：)(xMwEI 24 xqlwEI 312 xqlEIw 边界条件边界条件: :当当x=0 时，时，wA= 0(1)当当x=l 时，时，wB= 0(2)由（由（1）得）得 D= 0由（由（2）得）得Cllqql 4424120243qlC 求梁的挠曲线方程和转角方程、最大挠度求梁的挠曲线方程和转角方程、最大挠度及最大转角。及最大转角。qABxxw2

6、qlFFBA FAFB222 xqxql 36xq C 424xq Cx D l 24641332qlxqxqlEI xqlxqxqlEIw2424121343时时，和和当当lxx 0时时，当当2lx )( 38454max EIqlwEIql243max 最大挠度及最大转角最大挠度及最大转角xqABw B Awmaxl例例6-3（P181）11)(xFxMA 解：解：)(11xMwEI 2112 xFwEIA 113116 xCxFEIwA 22)(xFxMA)(22xMwEI 2222 xFwEIA 22232322)(66 DxCaxFxFEIwA FlbFA lFABDabFAFBxx

7、1x2讨论梁的弯曲变形。讨论梁的弯曲变形。1xFA )(22axFxFA 22)(2axF 2C w)(2axF 1C 1D lFABDabwxx1x2边界条件边界条件: :当当x1=x2=a 时，时，w1=w2(3)当当x2=l时，时，w2=0(2)连续条件连续条件: :当当x1=0时，时，w1=0(1)光滑条件光滑条件: :当当x1=x2=a 时，时，w1=w2(4)ABDabDABabFF2112 xFwEIA 113116 xCxFEIwA 2222 xFwEIA 22232322)(66 DxCaxFxFEIwA 22)(2axF 2C 1C 1D lFABDabwxx1x2当当x1

8、=x2=a 时，时，w1=w2(3)连续条件连续条件: :光滑条件光滑条件: :当当x1=x2=a 时，时，w1=w2(4)由（由（4）得：）得：C1=C2由（由（3）得：）得：D1=D2lFABDabwxx1x2由（由（4）得：）得：C1=C2由（由（3）得：）得：D1=D2边界条件边界条件: :当当x2=l时，时，w2=0(2)当当x1=0时，时，w1=0(1)由（由（1）得：）得：D1=0，由（由（2）得：）得：0)(662332 lCalFlFEIwA)(62212bllFbCC D2=D1=02112 xFwEIA 113116 xCxFEIwA 2222 xFwEIA 222323

9、22)(66 DxCaxFxFEIwA 22)(2axF 2C 1C 1D 确定确定最大转角最大转角当当x1=0 时，时，A=)(6 blEIlFba 当当x2=l 时，时，B=)(6alEIlFab Bba max lFABDabwxx1x2 0, 0 BA )(3baEIlFbaD 最大挠度发生在最大挠度发生在AD段。段。确定确定最大挠度最大挠度0 , 01 w令令3220blx 得得322max)(39 blEIlFbw 得得)43(48 222 blEIFbwl 确定确定最大转角最大转角Bba max lFABDabwxx1x2 0, 0 BA )(3baEIlFbaD 最大挠度发生在

10、最大挠度发生在AD段。段。确定确定最大挠度最大挠度0 , 01 w令令3220blx 得得322max)(39 blEIlFbw 得得)43(48 222 blEIFbwl 当当x1=0 时，时，A=)(6 blEIlFba 当当x2=l 时，时，B=)(6alEIlFab lFABDabwxx1x2llxb577.03 , 00 EIFblw39 2max EIFblwl483 22 %65. 2 22max llwww, 01 w令令3220blx 得得322max)(39 blEIlFbw 得得)43(48 222 blEIFbwl ABFl/2wxl/2, 时时当当ba EIFl w

11、wl/4832max EIFl16 2max maxwwmax Fl其中其中 称为许可转角；称为许可转角； 称为许可挠度。称为许可挠度。wF梁的刚度条件梁的刚度条件FABl桥桥梁梁)1000250( llw l)750500(llw 桥式起重机桥式起重机一一般般用用途途的的轴轴)100005100003( llw 齿齿轮轮或或轴轴承承处处rad 001.0 qAB64 用叠加用叠加法求法求弯曲变形弯曲变形叠加原理叠加原理: :多个载荷同时多个载荷同时作用于结构而引起的变形作用于结构而引起的变形等于每个载荷单独作用于等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数结构而引起的变形的代数和。和。叠加原

12、理的使用条件：叠加原理的使用条件：小变形、材料在线弹性范小变形、材料在线弹性范围内工作。围内工作。=qFACB+FAB按叠加原理求按叠加原理求C点挠度点挠度和和A点转角。点转角。解、解、(1)(1)载荷分解如图载荷分解如图(2)(2)查表计算简单载荷引查表计算简单载荷引起的变形。起的变形。EIaFwFC48)2()(3 EIaqwqC384)2(5)(4 +=EIFa63 EIqa2454 qCFCCwww)()( EIFa63 )( 例例1 1 EIqa2454 BqFACaa(wC)qABq(wC)FFBA qAFAA)()( )43(122 qaFEIa EIFa42 EIqa33 EI

13、aFFA16)2( )(2 EIaqqA24)2( )(3 +ABqFBA( A)q( A)F利用利用变形表变形表求求B点挠度。点挠度。 例例2 2 BFFACaa变形表：变形表：EIFlwB33 EIFlB22 BFAlwB BBFACBFACaaw1w2 C 1变形表：变形表：BFAlwB BBFFACaaEIFlwB33 EIFlB22 解解: : 1wEIaFw3)2( 32 EIFa653 EIFa65 3 21wwwB EIFa6113 )(EIFa38 3 EIFa33 awCC 11 21wwwB EIFa383 aEIFa 2 2BFACBFACaaw1w2 C 1变形表：变

14、形表：EIFlwB33 EIFlB22 BFAlwB BABCla Cw2FABCla 用用逐段刚化法逐段刚化法求求B点挠度。点挠度。=+FlaABC等价等价等价等价21wwwB FBlaAC刚化刚化AC段段刚化刚化BC 段段FM=Fa例例4w1BCFaw1w2EIFaw3 31 awC 2aEIMl 3 EIFla3 2 21wwwB EIFa3 3 EIFla3 2 aEIlFa 3)( )( 解：解：FlaABCBCFaw1M=Fa CABClaw2AqlB65 简单超静定简单超静定梁梁AlB静定静定梁梁超静定超静定梁梁一次静不定一次静不定静定静定梁梁超静定超静定梁梁一次静不定一次静不定

15、AAqAl解题步骤：解题步骤：(4)(4)比较原系统和相当系统的变比较原系统和相当系统的变形，解出多余约束反力。形，解出多余约束反力。FB用用比较变形法比较变形法解超静定解超静定梁梁（1 1）去掉）去掉多余约束得到静定基。多余约束得到静定基。AB（2）加上原载荷。）加上原载荷。（3 3）加上多余约束反力，得）加上多余约束反力，得到相当系统。到相当系统。（5）在相当系统上求其他量。）在相当系统上求其他量。已知：已知：q、EI、l试画出梁的弯矩图试画出梁的弯矩图qB0 Bw=比较变形法比较变形法EIlFwBFB33 03 834 EIlFEIqlBqlFB83 qABqw+FBABBFwEIqlw

16、q8 4 方向假设正确，向上方向假设正确，向上解：解：BFqBwww 0 变形协调方程：变形协调方程：FBABqABq85qlFA 8 2qlMA 85qlFS图图83ql+M图图82ql12892ql+画剪力图和弯矩图画剪力图和弯矩图FAMAFBql83 ABqFAMAFBql83 lABqM图图22qlqlFS图图+85qlFS图图83ql+M图图82ql12892ql+最大弯矩将增加最大弯矩将增加3倍倍3 88 2222 qlqlql若没有支座若没有支座B，则梁内最大弯矩将增加：，则梁内最大弯矩将增加：lABqAlqM图图82ql12892ql+M图图22qlBlwB 结构如图，求结构如

17、图，求BC 杆拉力。杆拉力。=+l1EAqlABCEIlB解：解：NFqBwww EIlFEIql3 83N4 变形协调方程变形协调方程qABwBEAlFEIlFEIql1N3N43 8 例例10 EAlFl1N qABFNAB)3(8314NEIlAlIqlF 解解得得：FNEIlFw48 3max ABFl/2l/2 max wEI max wl减小梁的跨度减小梁的跨度l、增大梁的抗弯刚度、增大梁的抗弯刚度EI、改变梁的结构改变梁的结构。66 提高弯曲刚度的一些措施提高弯曲刚度的一些措施zy在面积相等的情况下，选择惯性矩大的截面在面积相等的情况下，选择惯性矩大的截面（1 1）合理选取截面形状）合理选取截面形状zDyzhbzhb工字形、箱形截面比较好工字形、箱形截面比较好 对于钢材，采用高强度钢可以大大提高梁的强度，但对于钢材，采用高强度钢可以大大提高梁的强度，但却不能提高梁的刚度，因为高强度钢和普通钢的弹性模量却不能提高梁的刚度，因为高强度钢和普通钢的弹性模量E 值是相近的。值是相近的。EIFlw483max ABFl/2l/2不同类材料，不同类材料，E值相差很多（钢值相差很多（钢E= =200GPa , , 铜铜E= =100GPa），故可选用不同的材料以达到提高刚度的目），故可选用不同的材料