黎曼积分概念与性质

1、Ch19 Ch19 黎曼积分的概念和性质黎曼积分的概念和性质数学分析数学分析(2)华北科技学院基础部华北科技学院基础部120222022年年5 5月月1313日星期五日星期五第四部分 多变量积分学CH19 黎曼积分的定义和性质1. 黎曼积分的概念黎曼积分的概念 2. 黎曼积分的性质黎曼积分的性质 Ch19 Ch19 黎曼积分的概念和性质黎曼积分的概念和性质数学分析数学分析(2)华北科技学院基础部华北科技学院基础部220222022年年5 5月月1313日星期五日星期五在一元函数积分学中在一元函数积分学中, , 我们知道定积我们知道定积分是某种确定形式的和的极限分是某种确定形式的和的极限. .极

2、限的概念推广到定义在区域、曲线及极限的概念推广到定义在区域、曲线及曲面上多元函数的情形，便得到重积分、曲面上多元函数的情形，便得到重积分、曲线积分及曲面积分的概念曲线积分及曲面积分的概念. .这种和的这种和的将函数在这些区域、曲线及曲面上将函数在这些区域、曲线及曲面上的积分统称为的积分统称为黎曼积分黎曼积分. .Ch19 Ch19 黎曼积分的概念和性质黎曼积分的概念和性质数学分析数学分析(2)华北科技学院基础部华北科技学院基础部320222022年年5 5月月1313日星期五日星期五1. 物体质量的计算物体质量的计算设有一质量非均匀分布的物体，其密度设有一质量非均匀分布的物体，其密度是点是点M

3、的函数的函数如果函数如果函数 f 已知，怎样求物体的质量呢？已知，怎样求物体的质量呢？).(Mf Ch19 Ch19 黎曼积分的概念和性质黎曼积分的概念和性质数学分析数学分析(2)华北科技学院基础部华北科技学院基础部420222022年年5 5月月1313日星期五日星期五在定积分中，在定积分中，一根线密度为一根线密度为()( )f Mf x 的细直棒的细直棒AB， 它的质量可通过它的质量可通过分割分割、近似近似、求和求和、取极限取极限 四个步骤化为定积分四个步骤化为定积分 01=limniiimfx bafx dx 1 ixixi 0 xa nxb ABoxCh19 Ch19 黎曼积分的概念和

4、性质黎曼积分的概念和性质数学分析数学分析(2)华北科技学院基础部华北科技学院基础部520222022年年5 5月月1313日星期五日星期五平面薄板的质量平面薄板的质量 设它所占的平面区域为设它所占的平面区域为D，其密度为，其密度为()( . )f Mf x y 在在D上连续，上连续，D类似于对直棒的处理类似于对直棒的处理-“化整为零化整为零”可按如下步骤计算它的质量可按如下步骤计算它的质量.Ch19 Ch19 黎曼积分的概念和性质黎曼积分的概念和性质数学分析数学分析(2)华北科技学院基础部华北科技学院基础部620222022年年5 5月月1313日星期五日星期五【分割【分割】【近似【近似】把把

5、D任意划分为任意划分为n个子域个子域i 1,2,in 示面积）示面积）,iiM iiiMfm )(【求和【求和】【取极限【取极限】 niiiniiMfmm11)( 01lim()niiimf M maxi的的直直径径xyoDi iM（也表（也表.离的最大者离的最大者意两点间距意两点间距为其上任为其上任的直径的直径i Ch19 Ch19 黎曼积分的概念和性质黎曼积分的概念和性质数学分析数学分析(2)华北科技学院基础部华北科技学院基础部720222022年年5 5月月1313日星期五日星期五薄板的质量薄板的质量细棒的质量细棒的质量 01=limniiimfx 01lim()niiimf M 均可由

6、相同形式的和式极限来确定均可由相同形式的和式极限来确定. .一般地一般地，设有一质量非均匀分布在某一，设有一质量非均匀分布在某一几何形体几何形体上的物体上的物体 (可以是直线段、可以是直线段、平面或空间区域、一片曲面或一段曲线平面或空间区域、一片曲面或一段曲线),其质量可以按照以上四个步骤来计算：其质量可以按照以上四个步骤来计算：Ch19 Ch19 黎曼积分的概念和性质黎曼积分的概念和性质数学分析数学分析(2)华北科技学院基础部华北科技学院基础部820222022年年5 5月月1313日星期五日星期五把把任意划分为任意划分为n个子域个子域1,2,in 示度量）示度量）（也表（也表【分割【分割】

7、【近似【近似】【求和【求和】【取极限【取极限】 上质量分布近似看作均匀上质量分布近似看作均匀ii,iiM iiiMfm )( niiiniiMfmm11)(max的直径的直径i niiiMfm10)(lim Ch19 Ch19 黎曼积分的概念和性质黎曼积分的概念和性质数学分析数学分析(2)华北科技学院基础部华北科技学院基础部920222022年年5 5月月1313日星期五日星期五定义定义设设表示一个有界的可度量几何形体，表示一个有界的可度量几何形体，1,2,.in .)(上有界上有界在在函数函数 Mf个个任意划分为任意划分为将将n ., 2 , 1,nii 小部分小部分.也表示其度量也表示其度

8、量i,iiM 任取任取,)(iiMf作乘积作乘积.)(1iniiMf 作和式作和式2. 黎曼积分的概念黎曼积分的概念Ch19 Ch19 黎曼积分的概念和性质黎曼积分的概念和性质数学分析数学分析(2)华北科技学院基础部华北科技学院基础部1020222022年年5 5月月1313日星期五日星期五都都趋趋于于同同一一常常数数，,中怎样选取中怎样选取在在怎样划分，点怎样划分，点不论不论iiM 时，和式时，和式的直径的最大值的直径的最大值当所有当所有0 iiiniMf )(1且此常数且此常数上可积上可积在在那么，称函数那么，称函数, f. 上的黎曼积分上的黎曼积分在在为函数为函数 f记作记作iniiMf

9、dMf 10)(lim)( Ch19 Ch19 黎曼积分的概念和性质黎曼积分的概念和性质数学分析数学分析(2)华北科技学院基础部华北科技学院基础部1120222022年年5 5月月1313日星期五日星期五被积函数被积函数元素元素积分域积分域被积式或被积式或积分微元积分微元积分号积分号积分和积分和 (黎曼和黎曼和)上的积分上的积分在几何体在几何体函数函数 )(MfiniiMfdMf 10)(lim)( dMf)(Ch19 Ch19 黎曼积分的概念和性质黎曼积分的概念和性质数学分析数学分析(2)华北科技学院基础部华北科技学院基础部1220222022年年5 5月月1313日星期五日星期五 当当 为

10、不同的几何形体时，对应的积为不同的几何形体时，对应的积分有不同的名称和表达式：分有不同的名称和表达式：（1）当）当 是是 x 轴上的闭区间轴上的闭区间a,b,),()(baxxfMf 01limniiifx 称为称为定积分定积分 bafx dx iniiMfdMf 10)(lim)( dMf)(Ch19 Ch19 黎曼积分的概念和性质黎曼积分的概念和性质数学分析数学分析(2)华北科技学院基础部华北科技学院基础部1320222022年年5 5月月1313日星期五日星期五（2）当）当 为平面有界闭区域（常记为为平面有界闭区域（常记为D）时，时，( , )Df x y d （3）当）当 为空间有界闭

11、区域（常记为为空间有界闭区域（常记为V）时，）时，称为称为二重积分二重积分01lim(,)niiiif 称为称为三重积分三重积分01lim(,)niiiiifv .Dd 就就是是积积分分域域，称称为为面面积积元元素素,),(),()(DyxyxfMf ,),(),()(VzyxzyxfMf dMf)( dMf)(Vdvzyxf),(.为体积元素为体积元素就是积分区域，就是积分区域，dvVCh19 Ch19 黎曼积分的概念和性质黎曼积分的概念和性质数学分析数学分析(2)华北科技学院基础部华北科技学院基础部1420222022年年5 5月月1313日星期五日星期五( , )Lf x y ds （4

12、）当）当 为平面有限曲线段（常记为为平面有限曲线段（常记为L）或空间有限曲线段（常记为或空间有限曲线段（常记为 ）时，）时，称为称为第一类（对弧长的）的曲线积分第一类（对弧长的）的曲线积分( , , )f x y z ds 01lim(,)niiiifs 01lim(,)niiiiifs ()L 或或称为称为积分路径积分路径，ds称为称为弧长元素弧长元素.LyxyxfMf ),(),()(,),(),()( zyxzyxfMf，或或 dMf)(Ch19 Ch19 黎曼积分的概念和性质黎曼积分的概念和性质数学分析数学分析(2)华北科技学院基础部华北科技学院基础部1520222022年年5 5月月

13、1313日星期五日星期五（5）当）当 为空间有限曲面片（常记为为空间有限曲面片（常记为S）时，）时，称为称为第一类（对面积的）曲面积分第一类（对面积的）曲面积分01lim(,)niiiiifS S称为称为积分曲面积分曲面，dS称为称为曲面面积元素曲面面积元素.,),(),()(SzyxzyxfMf ， dMf)( SdSzyxf),(Ch19 Ch19 黎曼积分的概念和性质黎曼积分的概念和性质数学分析数学分析(2)华北科技学院基础部华北科技学院基础部1620222022年年5 5月月1313日星期五日星期五例例1( , )zf x yD 设设在在有有界界闭闭区区域域连连续续，讨论二重积分讨论二

14、重积分的几何意义的几何意义. Ddyxf ),(解解 Ddyxf ),(01lim(,)niiiif i D任意划分为任意划分为n个子域个子域i xzy( ,)ii (,)iii 点点),(yxfz oxzyD曲顶柱体曲顶柱体Ch19 Ch19 黎曼积分的概念和性质黎曼积分的概念和性质数学分析数学分析(2)华北科技学院基础部华北科技学院基础部1720222022年年5 5月月1313日星期五日星期五xzyoD( , )zf x y i ( ,)ii =,iiif 小平顶柱体体积小平顶柱体体积高高底面积底面积小柱体体积无限累加小柱体体积无限累加 Ddyxf ),(01lim(,)niiiif V

15、 得到以曲面为顶，得到以曲面为顶，区域区域D为底的为底的曲顶曲顶柱体柱体的体积的体积V. ,iif Ch19 Ch19 黎曼积分的概念和性质黎曼积分的概念和性质数学分析数学分析(2)华北科技学院基础部华北科技学院基础部1820222022年年5 5月月1313日星期五日星期五二重积分的几何意义二重积分是曲顶柱体的体积的负值二重积分是曲顶柱体的体积的负值. .当被积函数当被积函数时，时，0),( yxf当被积函数当被积函数( , )0f x y 时时，( , )Df x y dV ( , )Df x y dV D),(yxfz yzxoV其投影其投影D为底曲顶柱体的体积为底曲顶柱体的体积. .二

16、重积分是曲面二重积分是曲面( , )zf x y 为为顶顶，Ch19 Ch19 黎曼积分的概念和性质黎曼积分的概念和性质数学分析数学分析(2)华北科技学院基础部华北科技学院基础部1920222022年年5 5月月1313日星期五日星期五3.黎曼积分的性质黎曼积分的性质fG若若函函数数在在有有界界闭闭集集 上上连连续续，.fG则则在在 上上可可积积多元积分的存在性与定积分类似：多元积分的存在性与定积分类似：积积分分有有与与定定积积分分类类似似的的性性质质. .可积时，多元函数可积时，多元函数当函数当函数)(),(MgMfCh19 Ch19 黎曼积分的概念和性质黎曼积分的概念和性质数学分析数学分析

17、(2)华北科技学院基础部华北科技学院基础部2020222022年年5 5月月1313日星期五日星期五性质性质1 1 （线性性质）（线性性质） k为为常常数数 ( )( )bbbaaaf xg x dxf x dxg x dx ( , )( , )( , )( , )DDDf x yg x y df x y dg x y d )()()1( dMfkdMkf )()( )()()2( dMgdMfdMgMfCh19 Ch19 黎曼积分的概念和性质黎曼积分的概念和性质数学分析数学分析(2)华北科技学院基础部华北科技学院基础部2120222022年年5 5月月1313日星期五日星期五性质性质2（区域

18、可加性）（区域可加性）1D2D bcbaacf x dxf x dxf x dx 12( , )( , )( , )DDDf x y df x y df x y d 则则定积分定积分二重积分二重积分 )( )()( 21 dMfdMfdMf,2121 ，分为两部分，分为两部分，若若Ch19 Ch19 黎曼积分的概念和性质黎曼积分的概念和性质数学分析数学分析(2)华北科技学院基础部华北科技学院基础部2220222022年年5 5月月1313日星期五日星期五性质性质3( , )1DDf x ydD 若若在在 上上，则则有有 的的面面积积对于二重积分来说对于二重积分来说（比比如如面面积积，体体积积，

19、弧弧长长等等）badxba （积分区间的长度）（积分区间的长度）定积分定积分 的度量的度量 dCh19 Ch19 黎曼积分的概念和性质黎曼积分的概念和性质数学分析数学分析(2)华北科技学院基础部华北科技学院基础部2320222022年年5 5月月1313日星期五日星期五性质性质4（比较性）（比较性）( , )( , )DDf x y dh x y d 二重积分：二重积分： bbaaf x dxh x dx 定积分定积分，则有，则有上，上，如果在如果在)( )( MhMf )d( )d(MhMf特别地，有特别地，有 d)( )d(MfMfCh19 Ch19 黎曼积分的概念和性质黎曼积分的概念和性

20、质数学分析数学分析(2)华北科技学院基础部华北科技学院基础部2420222022年年5 5月月1313日星期五日星期五性质性质5 (估值性）估值性）定积分定积分 ()()bam b af x dxM b a ( , )Dmf x y dM 二重积分：二重积分：利利用用性性质质3 3和和性性质质4 4推推出出. .和和最最小小值值，则则 )(上的最大值上的最大值在在分别是分别是，若若 MfmM MMfm )d(Ch19 Ch19 黎曼积分的概念和性质黎曼积分的概念和性质数学分析数学分析(2)华北科技学院基础部华北科技学院基础部2520222022年年5 5月月1313日星期五日星期五性质性质6（

21、积分中值定理）（积分中值定理）( , )( , ),( , )Df x y df 二重积分：二重积分： ( )(), , baf x dxfb aa b 定积分定积分 )( )d(*MfMf )(上连续，上连续，在有界连通闭集在有界连通闭集设设 Mf，使得，使得则则 *MCh19 Ch19 黎曼积分的概念和性质黎曼积分的概念和性质数学分析数学分析(2)华北科技学院基础部华北科技学院基础部2620222022年年5 5月月1313日星期五日星期五 多元函数积分可看作定积分推广为多元函数积分可看作定积分推广为多元函数在不同多元函数在不同几何形体几何形体上的积分上的积分. .n重积分重积分 (多元函

22、数多元函数在在n维空间中的维空间中的 有界闭区域有界闭区域上的积分上的积分)曲面积分曲面积分（多元函数在（多元函数在有限曲面片有限曲面片上的积分）上的积分）曲线积分曲线积分（多元函数在多元函数在有限曲线段有限曲线段上的积分上的积分）小小 结结Ch19 Ch19 黎曼积分的概念和性质黎曼积分的概念和性质数学分析数学分析(2)华北科技学院基础部华北科技学院基础部2720222022年年5 5月月1313日星期五日星期五1.多元函数积分的定义多元函数积分的定义 01limniiifx baf x dx 01lim(,)niiiif Ddyxf ),( , , )f x y z dv 01lim(,)

23、niiiiifv 定积分定积分重积分重积分iniiMfdMf 10)(lim)( Ch19 Ch19 黎曼积分的概念和性质黎曼积分的概念和性质数学分析数学分析(2)华北科技学院基础部华北科技学院基础部2820222022年年5 5月月1313日星期五日星期五( , , )f x y z ds 01lim(,)niiiifs 01lim(,)niiiiifs ( , , )f x y z dS 01lim(,)niiiiifS 对弧长的曲线积分：对弧长的曲线积分：对面积的曲面积分：对面积的曲面积分：( , )Lf x y ds Ch19 Ch19 黎曼积分的概念和性质黎曼积分的概念和性质数学分析数学分析(2)华北科技学院基础部华北科技学院基础部2920222022年年5 5月月1313日星期五日星期五几种几种几何形体上的积分几何形体上的积分：D闭区间闭区间a,bL(平面有界平面有界 闭区域闭区域)（平面有限平面有限 曲线段）曲线段）（有限曲面片）（有限曲面片）( (空间有界空间有界 闭区域闭区域) )( (空间有限空间有限 曲线段曲线段) )二重积分二重积分三重积分三重积分对弧长的对弧长的曲线积分曲线积分对面积的对面积的曲面积分曲面积分Ch19 Ch19 黎曼积分的概念和性质黎曼积分的概念和性质数学分析数学分析(2)华北科技学院基础部华北科技学院基础部3020222022年年